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安徽省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題五 立體幾何第1講 空間幾何體的三視圖、表面積及體積 文

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安徽省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題五 立體幾何第1講 空間幾何體的三視圖、表面積及體積 文

專題五立體幾何第1講空間幾何體的三視圖、表面積及體積真題試做1(2020·北京高考,文7)某三棱錐的三視圖如圖所示,該三棱錐的表面積是()A286 B306C5612 D60122(2020·安徽高考,文12)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積等于_3(2020·湖北高考,文15)已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為_4(2020·湖北高考,文19)某個(gè)實(shí)心零部件的形狀是如圖所示的幾何體,其下部是底面均是正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺(tái)A1B1C1D1­ABCD,上部是一個(gè)底面與四棱臺(tái)的上底面重合,側(cè)面是全等的矩形的四棱柱ABCD­A2B2C2D2.(1)證明:直線B1D1平面ACC2A2;(2)現(xiàn)需要對(duì)該零部件表面進(jìn)行防腐處理已知AB10,A1B120,AA230,AA113(單位:厘米),每平方厘米的加工處理費(fèi)為0.20元,需加工處理費(fèi)多少元?考向分析通過對(duì)近幾年高考試題的分析可看出,空間幾何體的命題形式比較穩(wěn)定,多為選擇題或填空題,有時(shí)也出現(xiàn)在解答題的某一問中,題目常為中、低檔題考查的重點(diǎn)是直觀圖、三視圖、面積與體積等知識(shí),此類問題多為考查三視圖的還原問題,且常與空間幾何體的表面積、體積等問題交會(huì),是每年的必考內(nèi)容預(yù)計(jì)在2020年高考中:對(duì)空間幾何體的三視圖的考查有難度加大的趨勢,通過此類題考查考生的空間想象能力;對(duì)表面積和體積的考查,常見形式為蘊(yùn)涵在兩幾何體的“切”或“接”形態(tài)中,或以三視圖為載體進(jìn)行交會(huì)考查,此塊內(nèi)容還要注意強(qiáng)化幾何體的核心截面以及補(bǔ)形、切割等數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練熱點(diǎn)例析熱點(diǎn)一空間幾何體的三視圖與直觀圖【例1】(1)將長方體截去一個(gè)四棱錐,得到的幾何體如下圖所示,則該幾何體的側(cè)視圖為()(2)若某幾何體的三視圖如下圖所示,則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()規(guī)律方法 (1)三視圖的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廓線的正投影圍成的平面圖形,反映了一個(gè)幾何體各個(gè)側(cè)面的特點(diǎn)正(主)視圖反映物體的主要形狀特征,是三視圖中最重要的視圖;俯視圖要和正(主)視圖對(duì)正,畫在正(主)視圖的正下方;側(cè)(左)視圖要畫在正(主)視圖的正右方,高度要與正(主)視圖平齊;(2)要注意到在畫三視圖時(shí),能看到的輪廓線畫成實(shí)線,看不到的輪廓線畫成虛線;(3)平面圖形與立體圖形的實(shí)物圖與直觀圖之間的關(guān)系如下表:圖形實(shí)物圖直觀圖平面圖形水平放置的平面圖形直觀圖(斜二測畫法,即平行于x軸的線段長度不變,而平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉黹L度的一半)設(shè)其面積S直觀圖面積為S由直觀圖求原圖形元素間的關(guān)系,利用逆向思維,尋求突破口立體圖形空間幾何體直觀圖(只比平面圖形的直觀圖多畫了一個(gè)z軸且其長度不變)變式訓(xùn)練1 (1)(2020·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考,文9)已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖(俯視圖中的弧線是半圓),根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位:cm),可得這個(gè)幾何體的表面積是()cm2.A42 B43 C44 D16(2)一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)底角為45°,腰和上底長均為1的等腰梯形,則這個(gè)平面圖形的面積是()A. B1C1 D2熱點(diǎn)二空間幾何體的表面積與體積【例2】(2020·福建高考,文20)如圖,在四棱錐P­ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,點(diǎn)E在線段AD上,且CEAB.(1)求證:CE平面PAD;(2)若PAAB1,AD3,CD,CDA45°,求四棱錐P­ABCD的體積規(guī)律方法 (1)求幾何體的體積問題,可以多角度、多方位地考慮對(duì)于規(guī)則的幾何體的體積,如求三棱錐的體積,采用等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法,轉(zhuǎn)化的原則是其高與底面積易求;對(duì)于不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)法求解,即將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體,以易于求解(2)求解幾何體的表面積時(shí)要注意S表S側(cè)S底(3)對(duì)于給出幾何體的三視圖,求其體積或表面積的題目關(guān)鍵在于要還原出空間幾何體,并能根據(jù)三視圖的有關(guān)數(shù)據(jù)和形狀推斷出空間幾何體的線面關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù),至于體積或表面積的求解套用對(duì)應(yīng)公式即可變式訓(xùn)練2 已知某幾何體的三視圖如下圖所示,其中正(主)視圖中半圓的半徑為1,則該幾何體的體積為()A24 B24C24 D24熱點(diǎn)三多面體與球【例3】已知正四棱錐的底面邊長為a,側(cè)棱長為a.(1)求它的外接球的體積;(2)求它的內(nèi)切球的表面積規(guī)律方法 (1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí),一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面,把空間問題化歸為平面問題,再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系(2)若球面四點(diǎn)P,A,B,C構(gòu)成的線段PA,PB,PC兩兩垂直,且PAa,PBb,PCc,則4R2a2b2c2,把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接正方體(或其他圖形),從而顯示出球的數(shù)量特征,這種方法是一種常用的好方法變式訓(xùn)練3 如圖所示,在四棱錐P­ABCD中,底面ABCD是邊長為a的正方形,PD底面ABCD,且PDa,PAPCa.若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一球,則此球的最大半徑是_思想滲透立體幾何中的轉(zhuǎn)化與化歸思想求空間幾何體的體積時(shí),常常需要對(duì)圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)臉?gòu)造和處理,使復(fù)雜圖形簡單化,非標(biāo)準(zhǔn)圖形標(biāo)準(zhǔn)化,此時(shí)轉(zhuǎn)化與化歸思想就起到了至關(guān)重要的作用利用轉(zhuǎn)化與化歸思想求空間幾何體的體積主要包括割補(bǔ)法和等體積法,具體運(yùn)用如下:(1)補(bǔ)法是指把不規(guī)則的(不熟悉或復(fù)雜的)幾何體延伸或補(bǔ)成規(guī)則(熟悉的或簡單的)的幾何體,把不完整的圖形補(bǔ)成完整的圖形;(2)割法是指把復(fù)雜的(不規(guī)則的)幾何體切割成簡單的(規(guī)則的)幾何體;(3)等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件轉(zhuǎn)化為易求的面積(體積)問題【典型例題】如圖,在直三棱柱ABC­A1B1C1中,ABAC5,BB1BC6,D,E分別是AA1和B1C的中點(diǎn)(1)求證:DE平面ABC;(2)求三棱錐E­BCD的體積(1)證明:取BC中點(diǎn)G,連接AG,EG.因?yàn)镋是B1C的中點(diǎn),所以EGBB1,且EG=BB1.由直棱柱知,AA1BB1.而D是AA1的中點(diǎn),所以EGAD,所以四邊形EGAD是平行四邊形,所以EDAG.又DE平面ABC,AG平面ABC,所以DE平面ABC.(2)解:因?yàn)锳DBB1,所以AD平面BCE,所以VE­BCDVD­BCEVA­BCEVE­ABC.由(1)知,DE平面ABC,所以VE­ABCVD­ABCAD·BC·AG×3×6×412.1(2020·山東濟(jì)南三月模擬,4)如圖,正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱長均為2,其正(主)視圖如圖所示,則此三棱柱側(cè)(左)視圖的面積為()A2 B4 C. D22(2020·安徽安慶二模,7)一空間幾何體的三視圖如圖所示(正(主)、側(cè)(左)視圖是兩全等圖形,俯視圖是圓及圓的內(nèi)接正方形),則該幾何體的表面積是()A7 cm2 B(54) cm2C(52) cm2 D(622) cm23(2020·北京豐臺(tái)區(qū)三月月考,4)若某空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是()A202 B20C40 D404(2020·湖南株洲下學(xué)期質(zhì)檢,14)一個(gè)三棱錐的正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖如下,則這個(gè)三棱錐的體積為_,其外接球的表面積為_5已知正四面體的外接球半徑為1,則此正四面體的體積為_6在正六棱錐P­ABCDEF中,G為PB的中點(diǎn),則三棱錐D­GAC與三棱錐P­GAC體積之比為_7如圖,在等腰梯形ABCD中,AB2DC2,DAB60°,E為AB的中點(diǎn),將ADE與BEC分別沿ED,EC向上折起,使A,B重合,求形成三棱錐的外接球的體積參考答案命題調(diào)研·明晰考向真題試做1B解析:根據(jù)三棱錐的三視圖可還原此幾何體的直觀圖(如圖所示)此幾何體為一個(gè)底面為直角三角形,高為4的三棱錐,因此表面積為S×(23)×4×4×5×4×(23)×2×306.256解析:由三視圖可知,該幾何體為底面是直角梯形,且側(cè)棱垂直于底面的棱柱,V柱×(25)×4×456.312解析:該幾何體是由3個(gè)圓柱構(gòu)成的幾何體,故體積V2××22×1×12×412.4(1)證明:因?yàn)樗睦庵鵄BCD­A2B2C2D2的側(cè)面是全等的矩形,所以AA2AB,AA2AD.又因?yàn)锳BADA,所以AA2平面ABCD.連接BD,因?yàn)锽D平面ABCD,所以AA2BD.因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形,所以ACBD.又已知平面ABCD平面A1B1C1D1,且平面BB1D1D平面ABCDBD,平面BB1D1D平面A1B1C1D1B1D1,所以B1D1BD.于是由AA2BD,ACBD,B1D1BD,可得AA2B1D1,ACB1D1.又因?yàn)锳A2ACA,所以直線B1D1平面ACC2A2.(2)解:因?yàn)樗睦庵鵄BCD­A2B2C2D2的底面是正方形,側(cè)面是全等的矩形,所以S1S四棱柱上底面S四棱柱側(cè)面(A2B2)24AB·AA21024×10×301 300(cm2)又因?yàn)樗睦馀_(tái)A1B1C1D1­ABCD的上、下底面均是正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形(其高為h),所以S2S四棱臺(tái)下底面S四棱臺(tái)側(cè)面(A1B1)24×(ABA1B1)h2024××(1020)1 120(cm2)于是該實(shí)心零部件的表面積為SS1S21 3001 1202 420(cm2),故所需加工處理費(fèi)為0.2S0.2×2 420484(元)精要例析·聚焦熱點(diǎn)熱點(diǎn)例析【例1】 (1)D(2)B解析:(1)被截去的四棱錐的三條可見側(cè)棱中有兩條為正方體的面對(duì)角線,它們在右側(cè)面上的投影與右側(cè)面(正方形)的兩條邊重合,另一條為正方體的對(duì)角線,它在右側(cè)面上的投影與右側(cè)面的對(duì)角線重合,對(duì)照各圖及對(duì)角線方向,只有選項(xiàng)D符合(2)由正視圖可排除A,C;由側(cè)視圖可判斷該幾何體的直觀圖是B.【變式訓(xùn)練1】 (1)B(2)D解析:(1)該幾何體是一個(gè)半圓柱,所以S2×2×12×2×2×243.(2)如圖,設(shè)直觀圖為OABC,建立如圖所示的坐標(biāo)系,按照斜二測畫法的規(guī)則,在原來的平面圖形中,OCOA,且OC2,BC1,OA12×1,故其面積為×(11)×22.【例2】 (1)證明:因?yàn)镻A平面ABCD,CE平面ABCD,所以PACE.因?yàn)锳BAD,CEAB,所以CEAD.又PAADA,所以CE平面PAD.(2)解:由(1)可知CEAD.在RtECD中,DECD·cos 45°1,CECD·sin 45°1.又因?yàn)锳BCE1,ABCE,所以四邊形ABCE為矩形所以S四邊形ABCDS矩形ABCESECDAB·AECE·DE1×2×1×1.又PA平面ABCD,PA1,所以V四棱錐P­ABCDS四邊形ABCD·PA××1.【變式訓(xùn)練2】 A解析:由三視圖可知該幾何體為一個(gè)長、寬、高分別為4,3,2的長方體,剖去一個(gè)半圓柱而得到的幾何體,其體積為2×3×4×1×3,即24.【例3】 解:如圖所示,SAC的外接圓是外接球的一個(gè)大圓,只要求出這個(gè)外接圓的半徑即可,而內(nèi)切球的球心到棱錐的各個(gè)面的距離相等,可由正四棱錐的體積求出其半徑(1)設(shè)外接球的半徑為R,球心為O,則OAOCOS,O為SAC的外心,即SAC的外接圓半徑就是球的半徑ABBCa,ACa.SASCACa,SAC為正三角形由正弦定理得2Ra,因此Ra,V外接球R3a3.(2)如圖,設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,作SE底面于E,作SFBC于F,連接EF,則有SFa,SSBCBC·SFa×aa2,S棱錐全4SSBCS底(1)a2.又SEa,V棱錐S底·SEa2×aa3,ra,S內(nèi)切球4r2a2.【變式訓(xùn)練3】 (2)a解析:當(dāng)且僅當(dāng)球與四棱錐的各個(gè)面都相切時(shí),球的半徑最大設(shè)放入的球的半徑為r,球心為O,連接OP,OA,OB,OC,OD,則把此四棱錐分割成四個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐,這些小棱錐的高都是r,底面分別為原四棱錐的側(cè)面和底面,則VP­ABCDr(SPABSPBCSPCDSPADS正方形ABCD)r(2)a2.由題意知PD底面ABCD,VP­ABCDS正方形ABCD·PDa3.由體積相等,得r(2)a2a3,解得r(2)a.創(chuàng)新模擬·預(yù)測演練1D2D解析:據(jù)三視圖可判斷該幾何體是由一個(gè)圓柱和一個(gè)正四棱錐組合而成的,直觀圖如圖所示:易求得表面積為(622)cm2.3B解析:由三視圖可知該幾何體的直觀圖為一個(gè)正四棱柱,從上表面扣除半個(gè)內(nèi)切球易求出正四棱柱的底面邊長為2,內(nèi)切球的半徑為1,故體積為2×2×520.44295.解析:首先將正四面體補(bǔ)形為一個(gè)正方體,設(shè)正四面體棱長為a,則其對(duì)應(yīng)正方體的棱長為a,且由球與正方體的組合關(guān)系易知32(1×2)2,解得a2,正四面體的體積為V34×××33.621解析:由正六棱錐的性質(zhì)知,點(diǎn)P在底面內(nèi)的射影是底面的中心,也是線段AD的中點(diǎn)又G為PB的中點(diǎn),設(shè)P點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為O,則G點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為OB的中點(diǎn)M,且GMPO.又M為AC的中點(diǎn),則GM平面GAC,所以點(diǎn)P到平面GAC的距離等于點(diǎn)O到平面GAC的距離又因?yàn)镺M平面GAC,DC平面GAC,且DC2OM,則2.7解:由已知條件知,平面圖形中AEEBBCCDDADEEC1,折疊后得到一個(gè)棱長為1的正三棱錐(如圖)方法一:作AF平面DEC,垂足為F,F(xiàn)即為DEC的中心,取EC中點(diǎn)G,連接DG,AG,過球心O作OH平面AEC,則垂足H為AEC的中心,外接球半徑可利用OHAAFG求得AG,AF,AH,OA,外接球體積為×OA3··.方法二:如圖,把棱長為1的正三棱錐放在正方體中,顯然,棱長為1的正三棱錐的外接球就是正方體的外接球正方體棱長為,外接球直徑2R·,R,體積為·3.

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