概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后習題答案

隨機事件及其概率1.1 隨機事件習題1試說明隨機試驗應具有的三個特點習題2將一枚均勻的硬幣拋兩次，事件A，B，C分別表示“第一次出現(xiàn)正面”，“兩次出現(xiàn)同一面”，“至少有一次出現(xiàn)正面”，試寫出樣本空間及事件A，B，C中的樣本點.1.2 隨機事件的概率1.3 古典概型與幾何概型1.4 條件概率1.5 事件的獨立性復習總結(jié)與總習題解答習題3. 證明下列等式：習題5.習題6.習題7習題8習題9習題10習題11習題12習題13習題14習題15習題16習題17習題18習題19習題20習題21習題22習題23習題24習題25習題26第二章 隨機變量及其分布2.1 隨機變量習題1隨機變量的特征是什么？解答：隨機變量是定義在樣本空間上的一個實值函數(shù).隨機變量的取值是隨機的，事先或試驗前不知道取哪個值.隨機變量取特定值的概率大小是確定的.習題2試述隨機變量的分類.解答：若隨機變量X的所有可能取值能夠一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量；否則稱為非離散型隨機變量.若X的可能值不能一一列出，但可在一段連續(xù)區(qū)間上取值，則稱X為連續(xù)型隨機變量.習題3盒中裝有大小相同的球10個，編號為0,1,2,9,從中任取1個，觀察號碼是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情況，試定義一個隨機變量來表達上述隨機試驗結(jié)果，并寫出該隨機變量取每一個特定值的概率.解答：分別用1,2,3表示試驗的三個結(jié)果“小于5”，“等于5”，“大于5”，則樣本空間S=1,2,3,定義隨機變量X如下：X=X()=0,=11,=2,2,=3則X取每個值的概率為PX=0=P取出球的號碼小于5=5/10,PX=1=P取出球的號碼等于5=1/10,PX=2=P取出球的號碼大于5=4/10.2.2 離散型隨機變量及其概率分布習題1設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為的泊松分布，且PX=1=PX=2,求.解答：由PX=1=PX=2,得e-=2/2e-,解得=2.習題2設(shè)隨機變量X的分布律為PX=k=k15,k=1,2,3,4,5,試求(1)P12<X<52; (2)P1X3;(3)PX>3.解答：(1)P12<X<52=PX=1+PX=2=115+215=15;(2)PX3=PX=1+PX=2+PX=3=115+215+315=25;(3)PX>3=PX=4+PX=5=415+515=35.習題3已知隨機變量X只能取-1,0,1,2四個值，相應概率依次為12c,34c,58c,716c,試確定常數(shù)c,并計算PX<1X0.解答：依題意知，12c+34c+58c+716c=1,即3716c=1,解得 c=3716=2.3125.由條件概率知PX<1X0=PX<1,X0PX0=PX=-1PX0=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.習題4一袋中裝有5只球，編號為1,2,3,4,5.在袋中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律.解答：隨機變量X的可能取值為3,4,5.PX=3=C221C53=110,PX=4=C321C53=310,PX=5=C421C53=35,所以X的分布律為X345pk1/103/103/5習題5某加油站替出租車公司代營出租汽車業(yè)務(wù)，每出租一輛汽車，可從出租公司得到3元.因代營業(yè)務(wù)，每天加油站要多付給職工服務(wù)費60元，設(shè)每天出租汽車數(shù)X是一個隨機變量，它的概率分布如下：X10203040pi0.150.250.450.15求因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當天的額外支出費用的概率.解答：因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當天的額外支出費用的概率為：P3X>60,即PX>20,PX>20=PX=30+PX=40=0.6.就是說，加油站因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當天的額外支出費用的概率為0.6.習題6設(shè)自動生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為p=0.1,當生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時立即進行調(diào)整，X代表在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)，試求：(1)X的概率分布； (2)PX5;(3)在兩次調(diào)整之間能以0.6的概率保證生產(chǎn)的合格品數(shù)不少于多少?解答：(1)PX=k=(1-p)kp=(0.9)k0.1,k=0,1,2,;(2)PX5=k=5PX=k=k=5(0.9)k0.1=(0.9)5;(3)設(shè)以0.6的概率保證在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品不少于m件，則m應滿足PXm=0.6,即PXm-1=0.4. 由于PXm-1=k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化為1-0.9m=0.4,解上式得m4.855,因此，以0.6的概率保證在兩次調(diào)整之間的合格品數(shù)不少于5.習題7設(shè)某運動員投籃命中的概率為0.6,求他一次投籃時，投籃命中的概率分布.解答：此運動員一次投籃的投中次數(shù)是一個隨機變量，設(shè)為X,它可能的值只有兩個，即0和1.X=0表示未投中，其概率為p1=PX=0=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次，其概率為 p2=PX=1=0.6.則隨機變量的分布律為X01P0.40.6習題8某種產(chǎn)品共10件，其中有3件次品，現(xiàn)從中任取3件，求取出的3件產(chǎn)品中次品的概率分布.解答：設(shè)X表示取出3件產(chǎn)品的次品數(shù)，則X的所有可能取值為0,1,2,3.對應概率分布為PX=0=C73C103=35120,PX=1=C73C31C103=36120,PX=2=C71C32C103=21120,PX=3=C33C103=1120.X的分布律為X0123P3512036120211201120習題9一批產(chǎn)品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，取出的產(chǎn)品仍放回去，求直至取到正品為止所需次數(shù)X的概率分布.解答：由于每次取出的產(chǎn)品仍放回去，各次抽取相互獨立，下次抽取時情況與前一次抽取時完全相同，所以X的可能取值是所有正整數(shù)1,2,k,.設(shè)第k次才取到正品(前k-1次都取到次品),則隨機變量X的分布律為PX=k=310310310710=(310)k-1710,k=1,2,.習題10設(shè)隨機變量Xb(2,p),Yb(3,p),若PX1=59,求PY1.解答：因為Xb(2,p),PX=0=(1-p)2=1-PX1=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因為Yb(3,p),所以 PY1=1-PY=0=1-(2/3)3=19/27.習題11紡織廠女工照顧800個紡綻，每一紡錠在某一段時間內(nèi)斷頭的概率為0.005,在這段時間內(nèi)斷頭次數(shù)不大于2的概率.解答：以X記紡錠斷頭數(shù),n=800,p=0.005,np=4,應用泊松定理，所求概率為：P0X2=P0xi2X=xi=k=02b(k;800,0.005)k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)0.2381.習題12設(shè)書籍上每頁的印刷錯誤的個數(shù)X服從泊松分布，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)在某本書上，有一個印刷錯誤與有兩個印刷錯誤的頁數(shù)相同，求任意檢驗4頁，每頁上都沒有印刷錯誤的概率.解答：becausePX=1=PX=2,即11!e-=22!e-=2,PX=0=e-2,p=(e-2)4=e-8.2.3 隨機變量的分布函數(shù)習題1F(X)=0,x<-20.4,-2x<01,x0,是隨機變量X的分布函數(shù)，則X是_型的隨機變量.解答：離散.由于F(x)是一個階梯函數(shù)，故知X是一個離散型隨機變量.習題2設(shè)F(x)=0x<0x201,1x1問F(x)是否為某隨機變量的分布函數(shù).解答：首先，因為0F(x)1,x(-,+).其次，F(xiàn)(x)單調(diào)不減且右連續(xù)，即F(0+0)=F(0)=0,F(1+0)=F(1)=1,且F(-)=0,F(+)=1,所以F(x)是隨機變量的分布函數(shù).習題3已知離散型隨機變量X的概率分布為PX=1=0.3,PX=3=0.5,PX=5=0.2,試寫出X的分布函數(shù)F(x)，并畫出圖形.解答：由題意知X的分布律為：X135Pk0.30.50.2所以其分布函數(shù)F(x)=PXx=0,x<10.3,1x<30.8,3x<51,x5.F(x)的圖形見圖.習題4設(shè)離散型隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=0,x<-10.4,-1x<10.8,1x<31,x3,試求：(1)X的概率分布；(2)PX<2X1.解答：(1)X-113pk0.40.40.2(2)PX<2X1=PX=-1PX1=23.習題5設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)=0,x<0x2,0x<1x-12,1x<1.51,x1.5,求P0.4<X1.3,PX>0.5,P1.7<X2.解答：P0.4<X1.3=P1.3-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,PX>0.5=1-PX0.5=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P1.7<X2=F(2)-F(1.7)=1-1=0.習題6設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctanx(-<x<+),試求：(1)系數(shù)A與B;(2)X落在(-1,1內(nèi)的概率.解答：(1)由于F(-)=0,F(+)=1,可知A+B(-2)A+B(2)=1=0A=12,B=1,于是F(x)=12+1arctanx,-<x<+;(2)P-1<X1=F(1)-F(-1)=(12+1arctan1)-12+1arctanx(-1)=12+14-12-1(-4)=12.習題7在區(qū)間0,a上任意投擲一個質(zhì)點，以X表示這個質(zhì)點的坐標.設(shè)這個質(zhì)點落在0,a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例，試求X的分布函數(shù).解答：F(x)=PXx=0,x<0xa,0x<a.1,xa2.4 連續(xù)型隨機變量及其概率密度習題1設(shè)隨機變量X的概率密度為f(x)=12e-(x+3)24(-<x<+),則Y=N(0,1).解答：應填3+X2.由正態(tài)分布的概率密度知=-3,=2由Y=X-N(0,1),所以Y=3+X2N(0,1).習題2已知Xf(x)=2x,0<x<10,其它,求PX0.5;PX=0.5;F(x).解答：PX0.5=-0.5f(x)dx=-00dx+00.52xdx=x200.5=0.25,PX=0.5=PX0.5-PX<0.5=-0.5f(x)dx-0.5f(x)dx=0.當X0時，F(xiàn)(x)=0;當0<x<1時，F(xiàn)(x)=-xf(t)dt=-00dt+0x2tdt=t20x=x2;當X1時，F(xiàn)(x)=-xf(t)dt=-00dt+0x2tdt+1x0dt=t201=1,故F(x)=0,x0x2,0<x<1.1,x1習題3設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)=A+Be-2x,x>00,x0,試求：(1)A,B的值；(2)P-1<X<1;(3)概率密度函數(shù)F(x).解答：(1)becauseF(+)=limx+(A+Be-2x)=1,A=1;又becauselimx0+(A+Be-2x)=F(0)=0, B=-1.(2)P-1<X<1=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F(x)=2e-x,x>00,x0.習題4服從拉普拉斯分布的隨機變量X的概率密度f(x)=Ae-x,求系數(shù)A及分布函數(shù)F(x).解答：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知，-+f(x)dx=1,即 -+Ae-xdx=1,而-+Ae-xdx=-0Aexdx+0+Ae-xdx=Aex-0+(-Ae-x0+)=A+A=2A或-+Ae-xdx=20+Ae-xdx=-2Ae-x0+=2A,所以2A=1,即A=1/2.從而f(x)=12e-x,-<x<+,又因為F(x)=-xf(t)dt,所以當x<0時，F(xiàn)(x)=-x12e-tdt=12-xetdt=12et-x=12ex;當x0時，F(xiàn)(x)=-x12e-xdt=-012etdt+0x12e-tdt=12et-0-12e-t0x=12-12e-x+12=1-12e-x,從而F(x)=12ex,x<01-12e-x,x0.習題5某型號電子管，其壽命(以小時計)為一隨機變量，概率密度f(x)=100x2,x1000,其它,某一電子管的使用壽命為X,則三個電子管使用150小時都不需要更換的概率.解答：設(shè)電子管的使用壽命為X,則電子管使用150小時以上的概率為PX>150=150+f(x)dx=150+100x2dx =-100x150+=100150=23,從而三個電子管在使用150小時以上不需要更換的概率為p=(2/3)3=8/27.習題6設(shè)一個汽車站上，某路公共汽車每5分鐘有一輛車到達，設(shè)乘客在5分鐘內(nèi)任一時間到達是等可能的，試計算在車站候車的10位乘客中只有1位等待時間超過4分鐘的概率.解答：設(shè)X為每位乘客的候車時間，則X服從0,5上的均勻分布. 設(shè)Y表示車站上10位乘客中等待時間超過4分鐘的人數(shù). 由于每人到達時間是相互獨立的.這是10重伯努力概型.Y服從二項分布，其參數(shù) n=10,p=PX4=15=0.2,所以 PY=1=C1010.20.890.268.習題7設(shè)XN(3,22).(1)確定C,使得PX>c=PXc;(2)設(shè)d滿足PX>d0.9,問d至多為多少?解答：因為XN(3,22),所以X-32=ZN(0,1).(1)欲使PX>c=PXc,必有1-PXc=PXc,即PXc=1/2,亦即(c-32)=12,所以 c-32=0,故c=3.(2)由PX>d0.9可得1-PXd0.9,即 PXd0.1.于是(d-32)0.1,(3-d2)0.9.查表得3-d21.282,所以d0.436.習題8設(shè)測量誤差XN(0,102),先進行100次獨立測量，求誤差的絕對值超過19.6的次數(shù)不小于3的概率.解答：先求任意誤差的絕對值超過19.6的概率p,p=PX>19.6=1-PX19.6=1-PX101.96=1-(1.96)-(-1.96) =1-2(1.96)-1=1-20.975-1=1-0.95=0.05.設(shè)Y為100次測量中誤差絕對值超過19.6的次數(shù)，則Yb(100,0.05).因為n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=,所以PY31-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-50.87.習題9某玩具廠裝配車間準備實行計件超產(chǎn)獎，為此需對生產(chǎn)定額作出規(guī)定. 根據(jù)以往記錄，各工人每月裝配產(chǎn)品數(shù)服從正態(tài)分布N(4000,3600).假定車間主任希望10%的工人獲得超產(chǎn)獎，求：工人每月需完成多少件產(chǎn)品才能獲獎？解答：用X表示工人每月需裝配的產(chǎn)品數(shù)，則XN(4000,3600).設(shè)工人每月需完成x件產(chǎn)品才能獲獎，依題意得PXx=0.1,即 1-PX<x=0.1,所以1-F(x)=0.1,即1-(x-400060)=0.1,所以(x-400060)=0.9.查標準正態(tài)人分布表得(1.28)=0.8997,因此x-4000601.28,即x=4077件，就是說，想獲超產(chǎn)獎的工人，每月必須裝配4077件以上.習題10某地區(qū)18歲女青年的血壓(收縮壓，以mm-HG計)服從N(110,122).在該地區(qū)任選一18歲女青年，測量她的血壓X.(1)求PX105,P100<X120;(2)確定最小的x,使PX>x0.005.解答：已知血壓XN(110,122).(1)PX105=PX-11012-5121-(0.42)=0.3372,P100<X120=(120-11012)-(100-11012)=(0.833)-(-0.833)=2(0.833)-10.595.(2)使PX>x0.05,求x,即1-PXx0.05,亦即(x-11012)0.95,查表得x-100121.645,從而x129.74.習題11設(shè)某城市男子身高XN(170,36),問應如何選擇公共汽車車門的高度使男子與車門碰頭的機會小于0.01.解答：XN(170,36),則X-1706N(0,1).設(shè)公共汽車門的高度為xcm，由題意PX>x<0.01,而PX>x=1-PXx=1-(x-1706)<0.01,即(x-1706)>0.99,查標準正態(tài)表得x-1706>2.33,故x>183.98cm.因此，車門的高度超過183.98cm時，男子與車門碰頭的機會小于0.01.習題12某人去火車站乘車，有兩條路可以走. 第一條路程較短，但交通擁擠，所需時間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布N(40,102);第二條路程較長，但意外阻塞較少，所需時間服從正態(tài)分布N(50,42),求：(1)若動身時離開車時間只有60分鐘，應走哪一條路線？(2)若動身時離開車時間只有45分鐘，應走哪一條路線？解答：設(shè)X,Y分別為該人走第一、二條路到達火車站所用時間，則XN(40,102),YN(50,42).哪一條路線在開車之前到達火車站的可能性大就走哪一條路線.(1)因為PX<60=(60-4010)=(2)=0.97725,PY<60=(60-504)=(2.5)=0.99379,所以有60分鐘時應走第二條路.(2)因為PX<45=(45-4010)=(0.5)=0.6915,PX<45=(45-504)=(-1.25)=1-(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分鐘應走第一條路.2.5 隨機變量函數(shù)的分布習題1已知X的概率分布為X-2-10123pi2a1/103aaa2a試求：(1)a;(2)Y=X2-1的概率分布.解答：(1)because2a+1/10+3a+a+a+2a=1,a=1/10.(2)Y-1038pi3/101/53/101/5習題2設(shè)X的分布律為PX=k=12k,k=1,2,求Y=sin2X的分布律.解答：因為sinxn2=1,當n=4k-10,當n=2k-1,當n=4k-3,所以Y=sin(2X)只有三個可能值-1,0,1.容易求得PY=-1=215,P=0=13,PY=1=815故Y的分布律列表表示為Y-101P21513815習題3設(shè)隨機變量X服從a,b上的均勻分布，令Y=cX+d(c0),試求隨機變量Y的密度函數(shù).解答：fY(y)=fX(y-dc)1c,ay-dcb0,其它,當c>0時，fY(y)=1c(b-a),ca+dycb+d0,其它,當c<0時，fY(y)=-1c(b-a),cb+dyca+d0,其它.習題4設(shè)隨機變量X服從0,1上的均勻分布，求隨機變量函數(shù)Y=eX的概率密度fY(y).解答：f(x)=1,0x10,其它,f=ex,x(0,1)是單調(diào)可導函數(shù)，y(1,e),其反函數(shù)為x=lny,可得f(x)=fX(lny)lny,1<y<e0,其它=1y,1<y<e0,其它.習題5設(shè)XN(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非單調(diào)函數(shù)，故用分布函數(shù)法先求FY(y).FY(y)=PYy=P2X2+1y(當y>1時)=P-y-12Xy-12=-y-12y-1212e-x2dx,所以fY(y)=FY(y)=22e-12y-12122y-1,y>1,于是fY(y)=12(y-1)e-y-14,y>10,y1.習題6設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x),分布函數(shù)為F(x),求下列隨機變量Y的概率密度：(1)Y=1X;(2)Y=X.解答：(1)FY(y)=PYy=P1/Xy.當y>0時，F(xiàn)Y(y)=P1/X0+P0<1/Xy=PX0+PX1/y=F(0)+1-F(1/y),故這時fY(y)=-F(1y)=1y2f(1y);；當y<0時，F(xiàn)Y(y)=P1/yX<0=F(0)-F(1/y),故這時fY(y)=1y2f(1y);當y=0時，F(xiàn)Y(y)=P1/X0=PX<0=F(0),故這時取fY(0)=0,綜上所述fY(y)=1y2f(1y),y00,y=0.(2)FY(y)=PYy=PXy.當y>0時，F(xiàn)Y(y)=P-yXy=F(y)-F(-y)這時fY(y)=f(y)+f(-y);當y<0時，F(xiàn)Y(y)=P=0,這時fY(y)=0;當y=0時，F(xiàn)Y(y)=PY0=PX0=PX=0=0,故這時取FY(y)=0,綜上所述fY(y)=f(y)+f(-y),y>00,y0.習題7某物體的溫度T(F)是一個隨機變量, 且有TN(98.6,2),已知=5(T-32)/9,試求(F)的概率密度.解答：已知TN(98.6,2).=59(T-32),反函數(shù)為T=59+32,是單調(diào)函數(shù)，所以f(y)=fT(95y+32)95=122e-(95y+32-98.6)2495 =910e-81100(y-37)2.習題8設(shè)隨機變量X在任一區(qū)間a,b上的概率均大于0,其分布函數(shù)為FY(x),又Y在0,1上服從均勻分布，證明:Z=FX-1(Y)的分布函數(shù)與X的分布函數(shù)相同.解答：因X在任一有限區(qū)間a,b上的概率均大于0,故FX(x)是單調(diào)增加函數(shù)，其反函數(shù)FX-1(y)存在，又Y在0,1上服從均勻分布，故Y的分布函數(shù)為FY(y)=PYy=0,y<0y,0y11,y>0,于是，Z的分布函數(shù)為FZ(z)=PZz=PFX-1(Y)z=PYFX(z)=0,FX(z)<0FX(z),0FX(z)1,1,FX(z)>1由于FX(z)為X的分布函數(shù)，故0FX(z)1.FX(z)<0和FX(z)>1均勻不可能，故上式僅有FZ(z)=FX(z),因此，Z與X的分布函數(shù)相同.總習題解答習題1從120的整數(shù)中取一個數(shù)，若取到整數(shù)k的概率與k成正比，求取到偶數(shù)的概率.解答：設(shè)Ak為取到整數(shù)k,P(Ak)=ck,k=1,2,20.因為P(K=120Ak)=k=120P(Ak)=ck=120k=1，所以c=1210,P取到偶數(shù)=PA2A4A20=1210(2+4+20)=1121.習題2若每次射擊中靶的概率為0.7,求射擊10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中幾炮.解答：若隨機變量X表示射擊10炮中中靶的次數(shù). 由于各炮是否中靶相互獨立，所以是一個10重伯努利概型，X服從二項分布，其參數(shù)為n=10,p=0.7,故(1)PX=3=C103(0.7)3(0.3)70.009;(2)PX3=1-PX<3=1-C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)80.998;(3)因Xb(10,0.7),而k0=(n+1)p=(10+1)0.7=7.7=7,故最可能命中7炮.習題3在保險公司里有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了人壽保險，在1年中每個人死亡的概率為0.002，每個參加保險的人在1月1日須交120元保險費，而在死亡時家屬可從保險公司里領(lǐng)20000元賠償金，求:(1)保險公司虧本的概率;(2)保險公司獲利分別不少于100000元, 200000元的概率.解答：1)以“年”為單位來考慮，在1年的1月1日，保險公司總收入為2500120元=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X,則Xb(2500,0.002),則保險公司在這一年中應付出200000X(元)，要使保險公司虧本，則必須200000X>300000即X>15(人).因此，P保險公司虧本=PX>15=k=162500C2500k(0.002)k(0.998)2500-k1-k=015e-55kk!0.000069,由此可見,在1年里保險公司虧本的概率是很小的.(2)P保險公司獲利不少于100000元=P300000-200000X100000=PX10=k=010C2500k(0.002)(0.998)2500-kk=010e-55kk!0.986305,即保險公司獲利不少于100000元的概率在98%以上. P保險公司獲利不少于200000元=P300000-200000X200000=PX5=k=05C2500k(0.002)k(0.998)2500-kk=05e-55kk!0.615961,即保險公司獲利不少于200000元的概率接近于62%.習題4一臺總機共有300臺分機，總機擁有13條外線，假設(shè)每臺分機向總機要外線的概率為3%, 試求每臺分機向總機要外線時，能及時得到滿足的概率和同時向總機要外線的分機的最可能臺數(shù).解答：設(shè)分機向總機要到外線的臺數(shù)為X,300臺分機可看成300次伯努利試驗，一次試驗是否要到外線. 設(shè)要到外線的事件為A,則P(A)=0.03,顯然Xb(300,0.03),即PX=k=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,300),因n=300很大，p=0.03又很小, =np=3000.03=9,可用泊松近似公式計算上面的概率. 因總共只有13條外線，要到外線的臺數(shù)不超過13，故PX13k=0139kk!e-90.9265,(查泊松分布表)且同時向總機要外線的分機的最可能臺數(shù) k0=(n+1)p=3010.03=9.習題5在長度為t的時間間隔內(nèi)，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù)X服從參數(shù)t2的泊松分布，而與時間間隔的起點無關(guān)(時間以小時計),求：(1)某一天從中午12至下午3時沒有收到緊急呼救的概率；(2)某一天從中午12時至下午5時至少收到1次緊急呼救的概率.解答：(1)t=3,=3/2,PX=0=e-3/20.223;(2)t=5,=5/2,PX1=1-PX=0=1-e-5/20.918.習題6設(shè)X為一離散型隨機變量，其分布律為X-101pi1/21-2qq2試求：(1)q的值；(2)X的分布函數(shù).解答：(1)because離散型隨機變量的概率函數(shù)PX=xi=pi,滿足ipi=1,且0pi1,1/2+1-2q+q2=101-2q1q21,解得q=1-1/2.從而X的分布律為下表所示：X-101pi1/22-13/2-2(2)由F(x)=PXx計算X的分布函數(shù)F(x)=0,1/2,2-1/2,1,x<-1-1x<00x<0x1.習題7設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)F(x)為F(x)=0,x<0Asinx,0x/2,1,x>/2則A=,PX</6=.解答：應填1;1/2.由分布函數(shù)F(x)的右連續(xù)性，有F(2+0)=F(2)A=1.因F(x)在x=6處連續(xù)，故PX=6=12,于是有PX<6=P-6<X<6=P-6<X6=F(6)-F(-6)=12.習題8使用了x小時的電子管，在以后的x小時內(nèi)損壞的概率等于x+o(x),其中>0是常數(shù)，求電子管在損壞前已使用時數(shù)X的分布函數(shù)F(x)，并求電子管在T小時內(nèi)損壞的概率.解答：因X的可能取值充滿區(qū)間(0,+),故應分段求F(x)=PXx.當x0時，F(xiàn)(x)=PXx=P()=0;當x>0時，由題設(shè)知Px<Xx+x/X=x+o(x),而Px<Xx+x/X=Px<Xx+x,X>xPX>x=Px<Xx+x1-PXx=F(x+x)-F(x)1-F(x),故F(X+x)-F(x)1-F(x)=x+o(x),即F(x+x)-F(x)x=1-F(x)+o(x)x,令o(x)0,得F(x)=1-F(x).這是關(guān)于F(x)的變量可分離微分方程，分離變量dF(x)1-F(x)=dx,積分之得通解為C1-F(x)=e-x(C為任意常數(shù)).注意到初始條件F(0)=0,故C=1.于是F(x)=1-e-x,x>0,>0,故X的分布函數(shù)為F(x)=0,x01-e-x,x>0(>0),從而電子管在T小時內(nèi)損壞的概率為PXT=F(T)=1-e-T.習題9設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布密度為f(x)=x,0<x12-x,1<x20,其它,求其分布函數(shù)F(x).解答：當x0時，F(xiàn)(x)=-x0dt=0;當0<x1時，F(xiàn)(x)=-xf(t)dt=-00tdt+0xtdt=12x2;當1<x2時，F(xiàn)(x)=-xf(t)dt=-00dt+01tdt+1x(2-t)dt=0+12+(2t-12t2)1x=-1+2x-x22;當x>2時，F(xiàn)(x)=-00dt+01tdt+12(2-t)dt+2x0dt=1,故F(x)=0,x212x2,0<x1-1+2x-x22,1<x21,x>2.習題10某城市飲用水的日消費量X(單位：百萬升)是隨機變量，其密度函數(shù)為：f(x)=19xe-x3,x>00,其它,試求：(1)該城市的水日消費量不低于600萬升的概率；(2)水日消費量介于600萬升到900萬升的概率.解答：先求X的分布函數(shù)F(x).顯然，當x<0時，F(xiàn)(x)=0,當x0時有F(x)=0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)=1-(1+x3)e-x3,x00,x<0,所以PX6=1-PX<6=1-P(X6=1-F(6) =1-1-(1+x3)e-x3x=6=3e-2,P6<X9=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.習題11已知Xf(x)=ce-x,x>a0,其它(>0),求常數(shù)c及Pa-1<Xa+1.解答：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知-+f(x)dx=1,而-+f(x)dx=-a0dx+a+ce-xdx=ca+e-xd(x)=-ce-xvlinea+=ce-a,所以ce-a=1,從而c=ea.于是 Pa-1<Xa+1=a-1a+1f(x)dx=a-1a0dx+aa+1eae-xdx=-eae-xvlineaa+1=-ea(e-(a+1)-e-a)=1-e-.注意，a-1<a,而當x<a時，f(x)=0.習題12已知Xf(x)=12x2-12x+3,0<x<10,其它,計算PX0.20.1<X0.5.解答：根據(jù)條件概率;有PX0.20.1<X0.5=PX0.2,0.1<X0.5P0.1<X0.5=P0.1<X0.2P0.1<X0.5=0.10.2(12x2-12x+2)dx0.10.5(12x2-12x+3)dx=(4x3-6x2+3x)0.10.2(4x3-6x2+3x)0.10.5=0.1480.256=0.578125.習題13若F1(x),F2(x)為分布函數(shù)，(1)判斷F1(x)+F2(x)是不是分布函數(shù)，為什么？(2)若a1,a2是正常數(shù)，且a1+a2=1.證明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函數(shù).解答：(1)F(+)=limx+F(x)=limx+F1(x)+limx+F2(x)=1+1=21故F(x)不是分布函數(shù).(2)由F1(x),F2(x)單調(diào)非減，右連續(xù)，且F1(-)=F2(-)=0,F1(+)=F2(+)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)單調(diào)非減，右連續(xù)，且a1F1(-)+a2F2(-)=0,a1F1(+)+a2F2(+)=1.從而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函數(shù).習題14設(shè)隨機變量X的概率密度(x)為偶函數(shù)，試證對任意的a>0,分布函數(shù)F(x)滿足：(1)F(-a)=1-F(a);(2)PX>a=21-F(a).解答：(1)F(-a)=-a(x)dx=a+(-t)dt=a+(x)dx=1-a(x)dx=1-F(a).(2)PX>a=PX<-a+PX>a=F(-a)+PXaF(-a)+1-F(a)=21-F(a).習題15設(shè)K在(0,5)上服從均勻分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有實根的概率.解答：因為KU(0,5),所以fK(k)=1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有實根的充要條件為(4K)2-44(K+2)0,即K2-K-20,亦即(k-2)(K+1)0,解得K2(K-1舍去),所以P方程有實根=PK2=2515dx=35.習題16某單位招聘155人，按考試成績錄用，共有526人報名，假設(shè)報名者考試成績XN(,2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若從高分到低分依次錄取，某人成績?yōu)?8分，問此人是否能被錄取？解答：要解決此問題首先確定,2, 因為考試人數(shù)很多，可用頻率近似概率.根據(jù)已知條件 PX>90=12/5260.0228, PX90=1-PX>901-0.0228=0.9772;又因為PX90=PX-90-, 所以有(90-)=0.9772, 反查標準正態(tài)表得 90-=2 同理：PX60=83/5260.1578; 又因為PX60=PX-60-,故(60-)0.1578.因為0.1578<0.5,所以60-<0, 故(-60)1-0.1578=0.8422, 反查標準正態(tài)表得 -601.0 聯(lián)立，解得=10,=70, 所以，XN(70,100).某人是否能被錄取，關(guān)鍵看錄取率. 已知錄取率為1555260.2947, 看某人是否能被錄取，解法有兩種：方法1： PX>78=1-PX78=1-Px-701078-7010 =1-(0.8)1-0.7881=0.2119,因為0.2119<0.2947(錄取率), 所以此人能被錄取.方法2：看錄取分數(shù)線. 設(shè)錄取者最低分為x0, 則PXx0=0.2947(錄取率), PXx0=1-PXx0=1-0.2947=0.7053, PXx0=Px-7010x0-7010=x0-7010=0.7053,反查標準正態(tài)表得x0-70100.54, 解得x075. 此人成績78分高于最低分，所以可以錄取.習題17假設(shè)某地在任何長為t(年)的時間間隔內(nèi)發(fā)生地震的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為=0.1t的泊松分布，X表示連續(xù)兩次地震之間間隔的時間(單位：年).(1)證明X服從指數(shù)分布并求出X的分布函數(shù)；(2)求今后3年內(nèi)再次發(fā)生地震的概率；(3)求今后3年到5年內(nèi)再次發(fā)生地震的概率.解答：(1)當t0時，PX>t=PN(t)=0=e-0.1t,F(t)=PXt=1-PX>t=1-e-0.1t;當t<0時，F(xiàn)(t)=0,F(x)=1-e-0.1t,x00,x<0,X服從指數(shù)分布(=0.1);(2)F(3)=1-e-0.130.26;(3)F(5)-F(3)0.13.習題18100件產(chǎn)品中，90個一等品，10個二等品，隨機取2個安裝在一臺設(shè)備上，若一臺設(shè)備中有i個(i=0,1,2)二等品，則此設(shè)備的使用壽命服從參數(shù)為=i+1的指數(shù)分布.(1)試求設(shè)備壽命超過1的概率 ；(2)已知設(shè)備壽命超過1，求安裝在設(shè)備上的兩個零件都是一等品的概率 .解答：(1)設(shè)X表示設(shè)備壽命. A表示“設(shè)備壽命超過1”，Bi表示“取出i個二等品”(i=0,1,2)，則X的密度函數(shù)為 fX(x)=e-x,x>00,x0 (=i+1,i=0,1,2), P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002, P(AB0)=1+e-xdx=e-1, P(AB1)=1+2e-2xdx=e-2, P(AB2)=1+3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=i=02P(Bi)P(ABi)0.32.(2)由貝葉斯公式：P(B0A)=P(B0)P(AB0)P(A)0.93.習題19設(shè)隨機變量X的分布律為X-2-1013pi1/51/61/51/1511/30試求Y=X2的分布律.解答：pi1/51/61/51/1511/30X-2-1013X241019所以X20149pi1/57/301/511/30注：隨機變量的值相同時要合并，對應的概率為它們概率之和.習題20設(shè)隨機變量X的密度為fX(x)=0,x<02x3e-x2,x0,求Y=2X+3的密度函數(shù).解答：由Y=2X+3,有y=2x+3,x=y-32,x=12,由定理即得fY(x)=0,y<3(y-32)3e-(y-32),y3.習題21設(shè)隨機變量X的概率密度fX(x)=e-x,x>00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因為=miny(0),y(+)=min1,+=1, =maxy(0),y(+)=max1,+=+.類似上題可得fY(y)=fXh(y)h(y),1<y<+0,其它 =1/y2,1<y<+0,其它.習題22設(shè)隨便機變量X的密度函數(shù)為fX(x)=1-x,-1<x<10,其它,求隨機變量Y=X2+1的分布函數(shù)與密度函數(shù).解答：X的取值范圍為(-1,1),則Y的取值范圍為1,2).當1y<2時，F(xiàn)Y(y)=PYy=PX2+1y =P-Y-1xy-1=-y-1y-1(1-x)dx =20y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,從而Y的分布函數(shù)為FY(y)=0,y<11-(1-y-1)2,1y<2,1,其它Y的概率密度為fY(y)=1y-1-1,1<y<20,其它.第三章 多維隨機變量及其分布3.1 二維隨機變量及其分布習題1設(shè)(X,Y)的分布律為XY12311/61/91/1821/3a1/9求a.解答：由分布律性質(zhì)ijPij=1,可知1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得a=2/9.習題2(1)2.設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用F(x,y)表示：(1)Pa<Xb,Yc;解答：Pa<Xb,Yc=F(b,c)-F(a,c).習題2(2)2.設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用F(x,y)表示：(2)P0<Yb;解答：P0<Yb=F(+,b)-F(+,0).習題2(3)2.設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，試用F(x,y)表示：(3)PX>a,Yb.解答：PX>a,Yb=F(+,b)-F(a,b).習題3(1)3.設(shè)二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布如下表：試求：(1)P12<X<32,0<Y<4;解答：P12<X<23,0<Y<4PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3=PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3=14+0+0=14.習題3(2)3.設(shè)二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布如下表：試求：(2)P1X2,3Y4;解答：P1X2,3Y4=PX=1,Y=3+PX=1,Y=4+PX=2,Y=3+PX=2,Y=4=0+116+0+14=516.習題3(3)3.設(shè)二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布如下表：試求：(3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.習題4設(shè)X,Y為隨機變量，且PX0,Y0=37,PX