有限元方法及軟件應(yīng)用有限元平面問題3

Finite Element Method3面力的移置設(shè)三角形單元某邊界s 上受面力q 作用，分量為，則取ds 則由一般公式： 積分在邊界s上以上三種載荷的等效節(jié)點(diǎn)荷載由公式e導(dǎo)出通常我們稱： 為荷載移量的一般公式：幾點(diǎn)說明：1 虛功等效靜力等效。 唯一性2 一般3 更多節(jié)點(diǎn)的單元公式形式不變，但不同4 雖然公式e導(dǎo)出但對于面力和體力的計(jì)算都是很麻煩和困難的 N為x,y 的函數(shù)，若p, q再為 x, y 的函數(shù)則更難，且單移分限不好定。因此，我們將來還要進(jìn)一步把這個問題解決好。四 三角形單元的面積坐標(biāo)（自然坐標(biāo)，局部坐標(biāo)）1 面積坐標(biāo)的定義：圖示三角形單元I ,j ,k 中任意一點(diǎn)m ，其位置可由xoy坐標(biāo)系中兩個坐標(biāo)來確定，即m(x,y)若我們連接,則形成了3 個小三角形ijm, ikm, jkm.則有：若m(x,y)確定ijm, ikm, jkm.面積確定。反之，ijm, ikm, jkm.面積確定m(x,y)確定（用同底等高的概念解釋?。┮虼?，三角形單元內(nèi)任一點(diǎn)可以我們?nèi)绾斡萌切蚊娣e來描述m點(diǎn)的位置呢？定義：節(jié)點(diǎn)I對邊為底的三角形面積為;節(jié)點(diǎn)j對邊為底的三角形面積為;節(jié)點(diǎn)k對邊為底的三角形面積為;設(shè)三角形單元的面積為A令 （2-37）則三個比值，稱為三角形單元中m點(diǎn)的面積坐標(biāo).2.三角形面積坐標(biāo)的性質(zhì)：1 面積坐標(biāo)為三角形單元的局部坐標(biāo)，與三角形的形狀及位置無關(guān)。其定義域?yàn)?；2 三個面積坐標(biāo)之和：+=1.即只有兩個面積坐標(biāo)是獨(dú)立的。（2-38）證明：+=+=（+）=1 （亦可幾何解釋）。3 三角形單元內(nèi)與jk邊平行的直線上各點(diǎn)相同（輪換）。（同底等高三角形=）4 形心處的面積坐標(biāo)為： =1/3 （2-39）5 三角形單元節(jié)點(diǎn)的面積坐標(biāo)為： （2-40）證：節(jié)點(diǎn)I: =A. =0.3.三角形面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)及形函數(shù)的關(guān)系下面我們來推導(dǎo)面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系：設(shè)m點(diǎn)的坐標(biāo)為m(x,y),m 為任一點(diǎn)則：= =（）=（）+（）+（）顯然： ， ，=（） （2-41） 與表達(dá)式比較可知：三節(jié)點(diǎn)三角形單元的面積坐標(biāo)就是其形函數(shù)。（對于一般的情況：面積坐標(biāo)永遠(yuǎn)是線性坐標(biāo)而形函數(shù)可以是非線性的，以后我們可以把形函數(shù)用面積坐標(biāo)表示）即=， （2-42）具有的全部性質(zhì) 式（2-41）還可寫成矩陣的形式： 直面 （2-44）這就是直角坐標(biāo)與面積坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系。下面的結(jié)果留給大家自己證明： 面直 （2-45）4 面積坐標(biāo)函數(shù)的運(yùn)算我們可以不加證明得地給出面積坐標(biāo)函數(shù)的微積運(yùn)算結(jié)果。（證明復(fù)雜麻煩用函數(shù)等）1.偏導(dǎo) 設(shè)z=f(,) =g(x,y) (I= I ,j ,k)則： （2-46）2 面積分 （2-47）其中，為正整數(shù)； 0!1, A: 三角形面積ex: (I= I ,j ,k)3.線積分： （s為直線長） （2-48）以上公式要會用 注意表示的邊五 三角形單元的荷載移置有了面積坐標(biāo)與形函數(shù)的關(guān)系，我們即可對荷載移置進(jìn)行計(jì)算了。1 集中力的移置 設(shè)m點(diǎn)作用有集中力m點(diǎn)的形函數(shù)為： (I= I ,j ,k)等效節(jié)點(diǎn)荷載為：這就是三角形單元內(nèi)m點(diǎn)作用有的等效節(jié)點(diǎn)荷載。只要計(jì)算出(I= I ,j ,k)即可。作為特例，考慮三角形單元形心處重力的移置。形心坐標(biāo)：=0 =-R故：重力作用于形心時各節(jié)點(diǎn)均擔(dān)。2. 體積力的移置設(shè)單元作用有體力 則等效節(jié)點(diǎn)荷載為：= 若為x, y的函數(shù)，則把用面積坐標(biāo)表示（轉(zhuǎn)換）在常體力的作用下有：=即：常體力作用下，總體力均分三節(jié)點(diǎn)。2 面力的移置。 設(shè)三角形單元I ,j 邊上作用有梯形分布的面力q 由面力移置公式得：（可分別由節(jié)點(diǎn)合力表示及用節(jié)點(diǎn)分力表示） = （q為合力，非分力）則 = q為x, y 的函數(shù)，把q 表示面積坐標(biāo)的函數(shù)有q= ，在門邊上是線性坐標(biāo)，可利用兩點(diǎn)式方程寫出。 則：=同理：=+注意到在s上=0=0故：=或：=此法：1. 避免復(fù)雜的分離。 2. 便于編程計(jì)算。特例：若分布荷載為三角形分布。令（或）則有：= （近端為2 ，遠(yuǎn)端為1）說明：用以上積分的方法求等效節(jié)點(diǎn)荷載適用于任意節(jié)點(diǎn)的三角形單元，形函數(shù)也未必是線性的。六 三角形單元節(jié)點(diǎn)荷載的形成 經(jīng)過荷載處理后，我們已把非節(jié)點(diǎn)的荷載轉(zhuǎn)化為常點(diǎn)荷載。實(shí)際計(jì)算的荷載為：計(jì)算荷載=原節(jié)點(diǎn)荷載+等效節(jié)點(diǎn)荷載即： （2-49）等效節(jié)點(diǎn)荷載要注意：1 同時貢獻(xiàn)的問題2 用哪個單元計(jì)算的問題。七計(jì)算結(jié)果的整理：有限元計(jì)算提供的結(jié)果一般為：1。節(jié)點(diǎn)位移 2。單元應(yīng)力1 節(jié)點(diǎn)位移的處理：一般把節(jié)點(diǎn)位移按比例標(biāo)出，提供出結(jié)構(gòu)常點(diǎn)位移分布規(guī)律1 連成折線（線性位移函數(shù)）2 連成光滑曲線（實(shí)際變形）2 單元應(yīng)力的處理：輸出的單元應(yīng)力一般為，（形心處）（三節(jié)點(diǎn)單元為常應(yīng)力元，無所謂）1 變換為單元的主應(yīng)力。，, （材力）2 變換為節(jié)點(diǎn)應(yīng)力的主應(yīng)力。 （） （平均法） Ex. 節(jié)點(diǎn)5的應(yīng)力為：即：= （x, y, xy ）(,)(,)然后標(biāo)出應(yīng)力變化曲線。計(jì)算結(jié)果的工作量隨結(jié)構(gòu)的單元，節(jié)點(diǎn)劃分增加面增大。要關(guān)注的是：1）位移的變化規(guī)律 2）應(yīng)力的最大值及發(fā)生地點(diǎn)。小概念：位移最大的地方，應(yīng)力未必最大。八：有限元計(jì)算小結(jié)：1 基本原理：連續(xù)法有限個節(jié)點(diǎn)連接，有限大小的單元的組合法。建立的節(jié)點(diǎn)位移為未知數(shù)，總剛為系的階線性代數(shù)方程組。2 研究方法（確定）節(jié)點(diǎn)位移單元位移單元應(yīng)變單元應(yīng)力單剛總剛計(jì)算荷載（等效節(jié)點(diǎn)荷載）約束處理求解方程整理結(jié)果解答特點(diǎn)：假定單元內(nèi)的位移分布規(guī)律，近似離散的數(shù)值解。誤差主要來源于：結(jié)構(gòu)離散（連續(xù)離散），假定位移分布。收斂性：單元縮小劃分細(xì)密收斂于精確解。Chap3. 平面問題較精密單元的分析（矩形，高階單元，等參單元）3-1 問題的提出在三角形單元中，我們假定位移函數(shù)是線性的。即：單元內(nèi)的位移按線性規(guī)律變化。這是最簡單，最基本的一個有限單元。而實(shí)際結(jié)構(gòu)中在外載荷的作用下位移分布常非按線性變化。設(shè)單元位移曲線為圖示的f(x).顯然，用線性插值解的精度較差。提示解的精度的方法：1 增加單元，節(jié)點(diǎn)數(shù)（工作量大，費(fèi)用高）2 提高插值階數(shù)因此，提出了用高階插值，高階單元的問題我們大家都知道,位移是一個連續(xù)函數(shù)（連續(xù)體），而任意的連續(xù)函數(shù)都是可以展成冪級數(shù)，用冪級數(shù)來表示的。因此，一個單元內(nèi)的位移分布為f(x)時，我們就可以取級數(shù)的前幾項(xiàng)來表示它。用二次三次函數(shù)來插值，以改善計(jì)算結(jié)果。至于等參數(shù)單元（等參單元）是一種為清除曲邊誤差而 出的一種單元。如果實(shí)際結(jié)構(gòu)為曲線邊界，則無論怎樣提高位移函數(shù)（插值）的階數(shù)也不能使解得到多大的改善。有限個直邊代替曲邊，終究是代替，而不會是相等。為了處理曲邊問題，人們提出了等參單元的概念。有平面等參單元，空間等參單元等。我們只向大家介紹平面等參單元，以供了解。3-2 四節(jié)點(diǎn)矩形單元的有限元分析。 矩形單元常用于規(guī)則邊界的有限元分析，它也是常用的一種有限單元。一 單元的位移函數(shù)。設(shè)單元e為矩形單元，邊長為2a,2b;其節(jié)點(diǎn)為I,j,k,m;為研究方便我們?nèi)【植孔鴺?biāo)系x-y如圖（原點(diǎn)在形心）。1 單元的自由度及位移函數(shù)：4個節(jié)點(diǎn)，每個節(jié)點(diǎn)2 個自由度（位移）u,v，則單元的總自由度為8個。為保證單元的收斂性準(zhǔn)則，位移函數(shù)必須保證有常數(shù)項(xiàng)，線性項(xiàng)。設(shè)位移函數(shù)為：（對稱性與坐標(biāo)選擇無關(guān)） （U 關(guān)于坐標(biāo)對稱） （3-1）其中xy項(xiàng)是根據(jù)pascal三角形及xy的對稱性選?。ㄟx二次項(xiàng)尚有協(xié)調(diào)問題，選，項(xiàng)不行）這樣，已知（i=1，2，3，4）這八個節(jié)點(diǎn)位移（i=1，28）2.形函數(shù)的推導(dǎo)：同理： 我們不難從前4個方程中解出，具體做法：+： +：v+： -: v- : v- v =u=令： （3-2）則： （3-3）式（3-2）稱為節(jié)點(diǎn)矩形單元的形函數(shù)；式（3-2）尚可寫為： (I =I, j, k, m) (3-4)式（3-3）為節(jié)點(diǎn)位移表示的單元位移函數(shù)。式（3-3）還可以寫成矩陣的形式 = （3-5）式中：= （3-6）二. 形函數(shù)的性質(zhì)：1形函數(shù)（I =I, j, k, m）在節(jié)點(diǎn)I 上=1,在其余節(jié)點(diǎn)上=0 （輪換）即在 節(jié)點(diǎn)I ：=1 節(jié)點(diǎn)j: =0 (j)= = 節(jié)點(diǎn)k: =0 節(jié)點(diǎn)m: =0 證明： （i=I, j, k, m）在節(jié)點(diǎn)ix=,y=時：=1j, k, m各節(jié)點(diǎn)至少有一個節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)x=-或y=-故=0 （i=j, k, m）同理可得到全部結(jié)果。24個形函數(shù)之和：+證明：寫出形函數(shù)（，的符號與該點(diǎn)的，相同） += =1因此：4個形函數(shù)只有3 個是獨(dú)立的。在I j邊上，0（節(jié)點(diǎn)除外），=0 （輪換）（一條邊上的四個）證明：在I j邊上，y=, (x-)在I, j 邊上，y= （x-） I, j邊上 y=-=0同理：I, j邊上：=0。 證畢4在4 條邊界上的性質(zhì)（節(jié)點(diǎn)除外） 在包含節(jié)點(diǎn)I 的邊界上，0，否則=0。（輪換）（四條邊上的一個）證明：性質(zhì)3 的另一種表述 在包含節(jié)點(diǎn) I 的邊界上：X=， 或 y=顯然有： （y）或 （節(jié)點(diǎn)j, m除外）在不包含節(jié)點(diǎn)I 的邊界上：X=- 或y=- 顯然：=0得證由以上的性質(zhì)，我們可以描述的幾何圖形。三 位移函數(shù)的性質(zhì)1 位移函數(shù)是雙線性的位移函數(shù)： 顯然, u, v包含坐標(biāo)x y的二次項(xiàng)x y，但當(dāng)x=const 或y=const時U,V都是一個線性函數(shù)。 即：在單元內(nèi)任一點(diǎn)，無論沿x方向變化（此時y=const）或沿y 方向變化（x=const） u, v 都是線性的。2 位移函數(shù)解滿足收斂準(zhǔn)則： 解反映單元的剛體位移。（位移=剛+彈） 位移函數(shù) 寫成如下的形式： 顯然：第一項(xiàng)，與x, y無關(guān)。反映了單元內(nèi)各點(diǎn)沿x, y方向的剛體位移。若令: w=,則w反映單元內(nèi)各點(diǎn)繞z軸的剛體轉(zhuǎn)動。 解反映單元的常應(yīng)變由幾何方程： 顯然，分別反映了沿x, y方向的常應(yīng)變；反映了（）常量的剪切應(yīng)變。面和分別反映了線性變化的，。（，0），反映單元的剛體移動。 -反映單元的剛體轉(zhuǎn)動。一般：位移函數(shù)只要包含+ 選擇變量的一次式，則必須保證收斂性。單元內(nèi)各應(yīng)變都不是常量，你如何能解釋其收斂？ 解釋：當(dāng)單元尺寸逐步縮小時，單元內(nèi)各點(diǎn)x, y的變化必然很小。以為例：單元尺寸逐步縮小單元內(nèi)逐步縮小可以保證單元內(nèi)以為基準(zhǔn)，收斂于附近。 （0）否則：若=0，則=在y=0處=0y=0處，永遠(yuǎn)僅發(fā)生剛體位移。同理可知：，的意義。由于有，0的存在，四邊形單元稱為非常應(yīng)變單元。 位移函數(shù)在單元內(nèi)連續(xù)，在邊界上與相鄰單元協(xié)調(diào)。證明：u, v是連續(xù)的明顯由于u, v是雙線性函數(shù)，而單元的每條邊界都滿足x=const 或y=const.因此：在每條邊界上：u, v都是一個線性函數(shù)。設(shè)，為相鄰單元; 的節(jié)點(diǎn)為：I, j, k, m，的節(jié)點(diǎn)為：I, p, q, j.則I, j為公共邊界。