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《經(jīng)濟數(shù)學基礎》教案1

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《經(jīng)濟數(shù)學基礎》教案1

教學目標理解常量、變量以及函數(shù)概念,了解初等函數(shù)和分段函數(shù)的概念。熟練掌握求函數(shù)的定義域、函數(shù)值的方法,掌握將復合函數(shù)分解成較簡單函數(shù)的方法。了解冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的基本特征和簡單性質。了解極限、無窮?。ù螅┝康挠嘘P概念,掌握求極限的常用方法。了解函數(shù)連續(xù)性概念,會求函數(shù)的間斷點。理解導數(shù)概念,會求曲線的切線方程,熟練掌握導數(shù)基本公式和求導數(shù)的常用方法,會求簡單的隱函數(shù)的導數(shù)。知道微分概念,會求微分。會求二階導數(shù)。重難點函數(shù)概念、導數(shù)概念和導數(shù)的計算教學內容第一編 微分學第1章 函數(shù)一、試著回答下列問題:問題1:在某過程中由兩個變量,其中一個量x變,另一個量y也變,那么變量y是變量x的函數(shù),此話對嗎?問題2:一個函數(shù)可以由哪些要素唯一確定?問題3:函數(shù)的定義域、對應關系和值域中的任意兩個因素,是否可將函數(shù)唯一確定呢?問題4:如果y是x的函數(shù)y=f(x),是否y與x之間的關系只能用一個解析式子表示?答:問題1:不對。根據(jù)函數(shù)定義,變量x變,變量y也變,并沒有說明y是如何隨x的變化而變化,也沒有說明每給x一個值,就有唯一的y值與之對應,因此還不能說y是x的函數(shù)。 問題2:任一函數(shù),都可由其定義域D和對應關系f這兩個要素確定。有的教材講,確定函數(shù)有三個要素:定義域、對應關系和值域,實際上,只要定義域和對應關系確定了,值域也就隨之確定了。 問題3:不一定。例如y=sinx與y=cosx,它們的定義域相同,值域也相同,但對應關系不同,它們不是同一個函數(shù)。 問題4:不一定。表示函數(shù)的方法有:公式法、圖示法和列表法。即使對于公式法,也不一定必須用一個解析式表示,如分段函數(shù):包含了兩個式子,但分段函數(shù)仍是一個函數(shù)。二、主要內容歸納:(一)、函數(shù)概念1、 常量與變量在所研究的問題中,保持同一確定數(shù)值的量,稱為常量。而能取不同數(shù)值的量,稱為變量。注意:常量與變量是相對的,條件改變時,可以相互轉化。2、函數(shù)定義: y=f(x) x其中x叫做自變量,y叫做因變量,x的變域D稱為函數(shù)的定義域。用圖示說明如下:Y D ( y的變化范圍) (x的變化范圍)函數(shù)的實質是兩個變量(x與y)及其對應規(guī)則f( ) (二)、初等函數(shù)微積分研究的對象主要是初等函數(shù),但初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)構成的。1、 基本初等函數(shù)常數(shù)函數(shù) y=C (C是常數(shù))冪函數(shù) y=xa (a為實數(shù))指數(shù)函數(shù) y=ax (a>0,a1)對數(shù)函數(shù) y=log ax (a>0,a1)三角函數(shù) y=sinx , y=cosx y=tanx , y=ctgx2、 復合函數(shù)y=f(u),u=(x)且u=(x)的值域是y=f(u)的定義域的子集,則y是x的復合函數(shù):y=f(x). y u 其各量的關系圖示如下:3、 初等函數(shù)初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算及有限次的復合所構成的函數(shù)。注意:要掌握好將一個初等函數(shù)分解成較簡單函數(shù),其步驟是自外層向內層逐層分解,切忌漏層。4、 常見函數(shù)的定義域的基本求法求一元函數(shù)y=f(x)的定義域D,即是求使函數(shù)有意義的自變量x的變化范圍。常見解析式的定義域求法有:(1)、分母不能為零;(2)、偶次根號下非負;(3)、對數(shù)式中的真數(shù)恒為正;(4)、分段函數(shù)的定義域應取各分段區(qū)間定義域的并集。5、 對應規(guī)則f( )從以上分析,對應規(guī)則f( )往往表現(xiàn)為各種運算,已知f( ) 求f( a),只須用a取代x,代入對應規(guī)則運算即成。但應注意分段函數(shù)不同區(qū)間有不同的對應規(guī)則。(三)、函數(shù)的奇、偶性判斷函數(shù)y=f(x)的奇、偶性常見有以下方法:(1)、定義法:即在對稱區(qū)間上若滿足f(-x)=f(x) ,則y=f(x)為偶函數(shù),若滿足f(-x) = -f(x) ,則y=f(x)為奇函數(shù),否則y=f(x)為非奇非偶函數(shù)。(2)、符合法:記偶為,記奇為,則有:,即“同號”相乘除為,“異號” 相乘除為。記住這些常見函數(shù)的奇、偶性,用符合法可以判斷很多函數(shù)的奇、偶性。(3)、圖象法:奇函數(shù)關于原點對稱 偶函數(shù)關于y軸對稱圖象法即利用奇函數(shù)關于原點對稱、偶函數(shù)關于y軸對稱來判斷函數(shù)的奇、偶性。 (四)、經(jīng)濟中常用的函數(shù)1、需求函數(shù):qd =q(p), qd需求量,p價格2、供給函數(shù):qs=q(p), qs需求量,p價格3、總成本函數(shù):C(x)=C1+C2(x), q產量C1為固定成本,C2(x)為變動成本4、收入函數(shù):R(q)=q.p(q), q銷售量,p價格6、 利潤函數(shù):L(q)=R(q) C(q) 三、重點、難點:重點:1、函數(shù)y=f(x)的兩要素;2、 函數(shù)的奇偶性;3、 基本初等函數(shù);4、 經(jīng)濟中常用的函數(shù)。難點:經(jīng)濟中常用的函數(shù)。四、實例分析:例1、 求下列函數(shù)定義域 (1)、分析:應同時要求分母0,偶次根號下非負,于是 解:要使函數(shù)有意義,必須使: (2)、分析:要求分母0且對數(shù)真數(shù)>0、偶次根號下非負,于是 解:要使函數(shù)有意義,必須使:對照練習1、求下列函數(shù)定義域:例2、求分段函數(shù)的定義域:分析:分段函數(shù)的定義域應是各段定義域的并集對照練習2、求分段函數(shù)的定義域:例3、 函數(shù)f(x)的定義域是1,2,求函數(shù)f(x+1)的定義域。 分析:已知f(x)的定義域為1,2, 有f(x+1)的定義域要求1x+12,即0x1,即f(x+1)的定義域為D=0,1對照練習3、函數(shù)f(x)的定義域是2,3,求函數(shù)f(x+1)的定義域。例4、 設g(t)=t36,求g(t2), g(t)2 分析:函數(shù)關系為g( )=( )36,(1)用t2代t,即求出g(t2);(2)求g(t)2即是求該函數(shù)的平方。 解:g(t2)(t2 )36t66g(t)2=( t36)2對照練習4、設f(x)= x2+5,求f(1/x),ff(x)求f(0) ,f(2) ,f(4)分析:求分段函數(shù)的函數(shù)值應將自白變量的取值代入所在區(qū)間對應的表達式中。解:f(0)= 02+1=1f(2) 無意義 (2不在f(x)的定義域內)f(4)=942=7對照練習5、在上例中,求f(1) ,f(5)例6、下列函數(shù)對中,( )表示相同函數(shù)分析:兩個函數(shù)相同是當且僅當其定義域和對應規(guī)則分別相同。解:選擇A,因為f(x)與g(x)的定義域均為(-,+),對應規(guī)則也相同(sin2x+cos2x=1)對照練習6、下列函數(shù)對中,( )表示相同函數(shù)例7、找出下列函數(shù)的奇函數(shù) 對照練習7、找出下列函數(shù)的偶函數(shù)例8、某廠生產一種元器件,設計能力為日產100件,每日的固定成本為150元,每件的平均可變成本為10元。(1)、試求該廠此元器件的日總成本函數(shù)及平均成本函數(shù);(2)、若每件售價14元,試寫出總收入函數(shù);(3)、試寫出利潤函數(shù)。解:設總成本函數(shù)為C(q),平均成本函數(shù)為A(q),總收入函數(shù)為R(q),利潤函數(shù)為L(q)其中:q為生產量(銷售量),則有:(1)、C(q)=固定成本+變動成本 =150+10q,(0q100)A(q)= C(q)q=150q 10(2)、R(q)=14q(3)、L(q)= R(q)C(q) =14q(150 10q) =4q150對照練習8、已知某產品固定成本為2000元,每生產一件產品,成本增加50元,則生產q件產品的平均成本為何函數(shù)?五、問題解答:對照練習答案第2章 一元函數(shù)微分學第一部分 極限與連續(xù)一、試著回答下列問題:問題1:什么是函數(shù)的極限過程?函數(shù)的極限過程是用什么指標來衡量的?為什么說函數(shù)極限存在與否取決于函數(shù)極限過程?問題2:設有函數(shù)yf(x)3x2,當x2時,f(x)3x24,而f(2)4,即f(x)在x2的函數(shù)值f(2)4,這兩件事有什么不同?問題3:怎樣直觀描述函數(shù)的極限?問題4:能否直接稱是無窮大量或無窮小量呢?答:問題1:因為微積分研究的是變量間的變化關系,也就是函數(shù)關系,而在極限中往往用自變量x的變化去刻畫變化過程,去研究相應的函數(shù)f(x)的變化趨勢,所以函數(shù)的極限過程是指:函數(shù)的自變量x的變化過程。而自變量x的變化過程有各種情形:xx0, xx0 , xx0 , x, x, x 等等。顯然,函數(shù)yf(x)的變化趨勢,或存在極限或不存在極限都與極限過程有關,也就是與自變量x的各種變化過程有關,同一函數(shù)yf(x)對不同極限過程就有不同的變化趨勢。例如:yf(x) 1x,當x1時,f(x) 1;當x12時,f(x) 2 等等。 問題2:當x2時,yf(x)3x2的值如下表:x19199199919999200012001201213x23739739973999740003400340343由此可以看出:當x2時,(包括小于2和大于2的值),yf(x)3x24。在討論x趨于2時,yf(x)3x2的極限過程中,并未提及yf(2)4這一事實,其原因在于yf(2)描寫的是x 2時 yf(x)的值,而我們所研究的卻是當x趨于2時yf(x)的變化,這是兩碼事。即在本例中,兩種不同的概念得到是相同的值,注意這是不應混淆的兩件不同的事。這表明這兩種不同的概念有時產生不同的結果。 問題3:由上述兩個問題我們有:定義如果當x取值趨近于時,f(x)趨近于一個單一的值A或在A值上保持不變,則稱A是當x趨近于時函數(shù)yf(x)的極限,這時可寫成 問題4:顯然不然。比如:若x時,則即是無窮小量;又若x0時,則即是無窮大量??梢?,極限過程不相同,那么函數(shù)極限一般也不同,因此,所謂的無窮大量或無窮小量是相對某一極限過程而言。二、主要內容歸納: (一)、函數(shù)極限極限過程:即x無限接近極限值:即在所給極限過程中,f(x)無限接近A某函數(shù)極限符號:即無限接近1、 描述性定義: 注意:、以上是一個符號系統(tǒng),構成極限定義,缺一不可;、弄懂定義的關鍵是聯(lián)系函數(shù)圖像,看懂在同一變化過程中自變量與因變量兩個無限變化趨勢;、極限過程x是指:xx0, xx0 , xx0 , x, x, x 中的一種。2、 極限存在的充要條件3、 窮小量與無窮大量以零我極限的變量稱為無窮小量;絕對值越來越大且趨于正無窮大的變量稱為無窮大量。無窮小量與無窮大量的關系是: (即關系互倒)無窮小量與有界變量之積仍為無窮小量。4、 極限的四則運算對某一極限過程x,若limuA,limvB,則有:1、 lim(uv) limulimvAB;2、 lim(uv) limulimvAB若vc (c是常量),有l(wèi)im(cu) climucA;、推論:、limun(limu)n An,(n為自然數(shù))、lim,(n為自然數(shù))、limCC,(C是常數(shù))5、 兩個重要極限、或注:這里教材中相應公式原來x的位置,統(tǒng)統(tǒng)被“”取代,它可以是任一有意義的函數(shù),這時的公式實際比原公式應用更廣。并給學生提供了想象空間,不具體給出函數(shù)形式。(二)、連續(xù)與間斷1、 點連續(xù) 在點連續(xù)的這一定義中,一下三個條件要同時滿足:、f(x)在點x0的某一鄰域有定義;、f(x)在點x0有極限;、f(x)在點x0的極限等于函數(shù)值。2、 間斷點函數(shù)的不連續(xù)點稱為間斷點; 3、 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內是連續(xù)的 4、 利用連續(xù)性求極限: 三、重點、難點:重點:1、函數(shù)極限(特別是“”、“”型)3、 兩個重要極限的計算;4、 無窮大、無窮小的概念、性質和關系。難點:點連續(xù)及間斷點的判斷。四、實例分析:理解并掌握下列極限的計算方法:l 極限的四則運算法則;l 兩個重要極限;l 函數(shù)的連續(xù)性。具體計算時要注意上述法則或方法成立的條件,否則會在運算出現(xiàn)錯誤。例1 求下列極限(1) (2)(3) (4)解(1)當時分式的分子、分母的極限都不存在,不能用極限的除法法則,由教材中公式(2.2.4)可直接得到結果,即(2) 當時分式的分子、分母的極限都為0,且分子中含有無理根式。遇到此情形需先將根式有理化,即有 =(3)當時分式的分子、分母的極限都為0,且分式的分子、分母均為的二次多項式,遇到此情形需先分解因式,消去極限為零的因式再用除法法則。即 (4)先進行恒等變形,在利用第2個重要極限。即對照練習1、求下列極限(1) (2)(3) (4)五、問題解答:對照練習1、答案 、 、 、 、e2第二部分 導數(shù)及導數(shù)應用一、試著回答下列問題:問題1:導數(shù)與導函數(shù)的關系及區(qū)別?問題2:可導、連續(xù)、極限存在三者之間的關系如何?問題3:函數(shù)的極值點、駐點和不可導點的關系如何?問題4:導數(shù)有哪些方面的應用?學習中應注意些什么?答:問題1:、導數(shù)與導函數(shù)是兩個不同的概念,導數(shù)是函數(shù)在某一點附近的性質,實質就是函數(shù)對自變量在某點的變化速度;而導函數(shù)反映函數(shù)的一般規(guī)律。、導數(shù)定義的是一個常量,導函數(shù)仍是一個函數(shù),導數(shù)是導函數(shù)f(x)在某點x0處的導函數(shù)值f(x0)。因此可先求出函數(shù)的導數(shù),再求某點的導數(shù)值。 問題2:y=f(x)在x0處有: 可導連續(xù)存在 f(x)在點x0必有定義 但反方向的箭頭結論不一定成立。 問題3:駐點及一階導數(shù)不存在的點x0即不可導點(但是連續(xù)點)是極值點的可疑點,但它們不一定是極值點;可導函數(shù)的極值點必是駐點。 問題4:導數(shù)應用非常廣泛,而需要我們掌握的有:、利用一階導數(shù)的幾何意義求曲線在某點的切線方程;、判別函數(shù)的單調性、求函數(shù)的極值;、邊際分析、求解經(jīng)濟應用問題的最值:成本最低、利潤最大等等;、求需求彈性。 求解經(jīng)濟應用題的極值,關鍵是利用所掌握的有關知識列出目標函數(shù),注意函數(shù)必須是一元的,若有兩個自變量,必須將其中之一轉化。求解時所用方法仍是求函數(shù)極值的方法。二、主要內容歸納: (一)、導數(shù)的概念:1、 導數(shù)的定義:、 點導數(shù):、 導函數(shù): 兩者的關系: ,即點導數(shù)是導函數(shù)在點的函數(shù)值。點導數(shù),導函數(shù)均簡稱為導數(shù)。、左、右導數(shù):左導數(shù):右導數(shù):關系:存在且相等。導數(shù)是函數(shù)在點x處的變化率。2、 導的幾何意義:是曲線處切線的斜率。曲線的切線方程為: 3、可導與連續(xù)的關系:若函數(shù)處可導,則它在點處一定連續(xù),反之未必成立。 (二)、求導公式與求導法則 1、導數(shù)基本公式略。看教材第108及109頁。2、導數(shù)四則運算法則:略??唇滩牡?08及109頁。3、復合函數(shù)求導法:設4、隱函數(shù)求導法:方法:對隱函數(shù)方程F(x,y)=0,兩邊對自變量x求導(求導過程中視y為中間變量y=y(x)),從等式中解出y。5、高階導數(shù)函數(shù)的二階導數(shù):,即是一階導數(shù)的導數(shù)。作業(yè)設計形成性考核冊作業(yè)114

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