2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.2.2 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用學(xué)案 新人教A版必修第一冊

第2課時函數(shù)奇偶性的應(yīng)用1掌握用奇偶性求解析式的方法2理解奇偶性對單調(diào)性的影響并能用以解不等式3理解函數(shù)的奇偶性的推廣對稱性奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)(1)若一個奇函數(shù)在原點處有定義，即f(0)有意義，則一定有f(0)0.(2)若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)在其關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致(3)若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)在其關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反1觀察下圖，思考以下問題：(1)奇函數(shù)、偶函數(shù)在原點處一定有定義嗎？若有定義，f(0)的值能確定嗎？(2)函數(shù)的奇偶性如何影響函數(shù)的單調(diào)性？答案(1)不一定奇函數(shù)在原點處有定義，則f(0)0；偶函數(shù)在原點處有定義，f(0)的值不確定(2)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上具有相反的單調(diào)性2判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)f(x)0，xR既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)()(2)在公共的定義域內(nèi)，若f(x)為奇函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，則f(x)·g(x)為奇函數(shù)()(3)偶函數(shù)f(x)在x0時有意義，則f(0)0.()(4)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)的必要不充分條件是f(0)0.()答案(1)(2)×(3)×(4)題型一利用奇偶性求函數(shù)的解析式【典例1】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)2x23x1，求：(1)f(0)；(2)當(dāng)x<0時，f(x)的解析式；(3)f(x)在R上的解析式思路導(dǎo)引借助奇函數(shù)的定義，利用x>0時的解析式，確定x<0，即x>0時的解析式解(1)因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)f(0)，即f(0)0.(2)當(dāng)x<0時，x>0，f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x)f(x)，所以f(x)2x23x1，x<0.(3)函數(shù)f(x)在R上的解析式為f(x)變式若將本例中的奇函數(shù)改為偶函數(shù)，其他條件不變，求當(dāng)x<0時，函數(shù)f(x)的解析式解當(dāng)x<0時，x>0，f(x)2(x)23(x)12x23x1.f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x)f(x)2x23x1，x<0.利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的3個步驟(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè)(2)轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入已知的解析式(3)利用f(x)的奇偶性寫出f(x)或f(x)，從而解出f(x)針對訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)(xR)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)2x1，求函數(shù)f(x)的解析式解當(dāng)x<0，x>0，f(x)2(x)12x1.又f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)2x1.又f(x)(xR)是奇函數(shù)，f(0)f(0)，即f(0)0.所求函數(shù)的解析式為f(x)題型二函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性【典例2】(1)已知函數(shù)yf(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在2,6上是減函數(shù)，比較f(5)與f(3)的大小；(2)設(shè)定義在2,2上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上是減函數(shù)，若f(1m)<f(m)，求實數(shù)m的取值范圍思路導(dǎo)引(1)利用函數(shù)奇偶性，得f(5)f(5)，將自變量的取值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)來比較大??；(2)利用偶數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，將問題轉(zhuǎn)化為自變量取值與原點距離的大小問題求解解(1)因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(5)f(5)，因為f(x)在2,6上是減函數(shù)，所以f(5)<f(3)，所以f(5)<f(3)(2)因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)f(x)f(|x|)所以不等式f(1m)<f(m)可轉(zhuǎn)化為f(|1m|)<f(|m|)又當(dāng)x0,2時，f(x)是減函數(shù)，所以解得1m<.即m的取值范圍是.奇偶性與單調(diào)性綜合問題的2種類型(1)比較大?。嚎醋宰兞渴欠裨谕粏握{(diào)區(qū)間上在同一單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。徊辉谕粏握{(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大小(2)解不等式利用已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，脫掉不等式中的“f”轉(zhuǎn)化為簡單不等式求解針對訓(xùn)練2如果奇函數(shù)f(x)的區(qū)間7，3上是減函數(shù)且最大值為5，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間3,7上是()A增函數(shù)且最小值為5B增函數(shù)且最大值為5C減函數(shù)且最小值為5D減函數(shù)且最大值為5解析f(x)為奇函數(shù)，f(x)在3,7上的單調(diào)性與7，3上一致，且f(7)為最小值又已知f(7)5，f(7)f(7)5，選C.答案C3奇函數(shù)f(x)是定義在(1,1)上的減函數(shù)，若f(m1)f(32m)<0，求實數(shù)m的取值范圍解原不等式化為f(m1)<f(32m)因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(m1)<f(2m3)因為f(x)是減函數(shù)，所以m1>2m3，所以m<2.又f(x)的定義域為(1,1)，所以1<m1<1且1<32m<1，所以0<m<2且1<m<2，所以1<m<2.綜上得1<m<2.故實數(shù)m的取值范圍是(1,2)課堂歸納小結(jié)1函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象特殊對稱性的反映，也體現(xiàn)了在關(guān)于原點對稱的定義域的兩個區(qū)間上函數(shù)值及其性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化，這是對稱思想的應(yīng)用這種對稱推廣，就是一般的中心對稱或軸對稱2兩個常用結(jié)論：(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義，如果一個奇函數(shù)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)0.有時可以用這個結(jié)論來否定一個函數(shù)為奇函數(shù)(2)偶函數(shù)的一個重要性質(zhì)：f(|x|)f(x)，它能使自變量化歸到0，)上，避免分類討論.3.具有奇偶性的函數(shù)的單調(diào)性的特點(1)奇函數(shù)在a，b和b，a上具有相同的單調(diào)性(2)偶函數(shù)在a，b和b，a上具有相反的單調(diào)性4分段函數(shù)奇偶性判定方法的關(guān)鍵是搞清x與x的所在范圍及其對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并且函數(shù)在每一個區(qū)間上的奇偶性都應(yīng)進(jìn)行判斷，最后綜合得出的定義域內(nèi)總有f(x)f(x)或f(x)f(x)，從而判定其奇偶性，而不能以其中一個區(qū)間來代替整個定義域另外，也可以用圖象法來判斷.1函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)x1，則當(dāng)x<0時，f(x)的解析式為()Af(x)x1Bf(x)x1Cf(x)x1Df(x)x1解析設(shè)x<0，則x>0.f(x)x1，又函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)f(x)x1，f(x)x1(x<0)答案B2設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在0，)上單凋遞增，則f(2)，f()，f(3)的大小順序是()Af()>f(3)>f(2)Bf()>f(2)>f(3)Cf(3)>f(2)>f()Df(3)>f()>f(2)解析f(x)是R上的偶函數(shù)，f(2)f(2)，f()f()，又f(x)在0，)上單調(diào)遞增，且2<3<，f()>f(3)<f(2)，即f()>f(3)>f(2)答案A3已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增，則滿足f(2x1)<f的x的取值范圍為()A. B.C. D.解析由于f(x)為偶函數(shù)，且在0，)上單調(diào)遞增，則不等式f(2x1)<f，即<2x1<，解得<x<.答案A4若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間2,5上的最小值是6，那么f(x)在區(qū)間5，2上有()A最小值6B最小值6C最大值6D最大值6解析因為奇函數(shù)f(x)在2,5上有最小值6，所以可設(shè)a2,5，有f(a)6.由奇函數(shù)的性質(zhì)，f(x)在5，2上必有最大值，且最大值為f(a)f(a)6.答案C5函數(shù)f(x)x31(xR)，若f(a)2，則f(a)的值為_解析f(a)2，a312，a31.f(a)(a)31(a3)1110.答案0課內(nèi)拓展課外探究一、抽象函數(shù)的奇偶性與對稱性我們知道研究函數(shù)的奇偶性的實質(zhì)是研究函數(shù)圖象的對稱性，只不過它是一種特殊的對稱性，是關(guān)于原點或y軸對稱的問題那么，我們能否把這種對稱性進(jìn)行推廣呢？1函數(shù)圖象關(guān)于直線xa對稱的問題【典例1】當(dāng)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱時，會滿足怎樣的條件呢？解如圖所示，在直線xa兩邊取對稱的兩個自變量的值，如ax，ax，由對稱性知它們的函數(shù)值相等，即f(ax)f(ax)；反之，若對定義域內(nèi)任一值x都有f(ax)f(ax)，則可證明其圖象關(guān)于直線xa對稱證明：設(shè)函數(shù)yf(x)的圖象上任一點為P(x，y)，則它關(guān)于直線xa的對稱點為P(2ax，y)因為f(ax)f(ax)，所以f(2ax)fa(ax)fa(ax)f(x)這說明點P(2ax，y)也在函數(shù)yf(x)的圖象上，則函數(shù)圖象關(guān)于直線xa對稱，由此得出：函數(shù)yf(x)對定義域內(nèi)任一值x都有f(ax)f(ax)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱若改變在直線xa兩邊取值的情況會得到如下結(jié)論：f(x)在定義域內(nèi)恒滿足的條件yf(x)的圖象的對稱軸f(ax)f(ax)直線xaf(x)f(ax)直線xf(ax)f(bx)直線x2.函數(shù)圖象關(guān)于點(a,0)對稱的問題【典例2】當(dāng)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱時，又會滿足怎樣的條件呢？解如圖所示，在直線xa兩邊取對稱的兩個自變量的值，如ax，ax，由對稱性知它們的函數(shù)值互為相反數(shù)，即f(ax)f(ax)；反之，若對定義域內(nèi)任一值x都有f(ax)f(ax)，則可證明其圖象關(guān)于點(a,0)對稱證明：設(shè)函數(shù)yf(x)圖象上任一點為P(x，y)，則它關(guān)于點(a,0)的對稱點為P(2ax，y)因為f(ax)f(ax)，所以f(2ax)fa(ax)fa(ax)f(x)y.這說明點P(2ax，y)也在函數(shù)yf(x)的圖象上，則函數(shù)圖象關(guān)于點(a,0)對稱由此得出：函數(shù)yf(x)對定義域內(nèi)任一值x都有f(ax)f(ax)yf(x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱若改變在直線xa兩邊取值的情況會得到如下結(jié)論：f(x)在定義域內(nèi)恒滿足的條件yf(x)的圖象的對稱中心f(ax)f(ax)點(a,0)f(x)f(ax)點f(ax)f(bx)點二、抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性抽象函數(shù)涉及的問題有如下幾類：一是單調(diào)性，由于沒有具體的函數(shù)解析式，研究抽象函數(shù)的單調(diào)性就得靠題中給出的抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系，通過賦特殊值、轉(zhuǎn)化等手段，歸結(jié)到函數(shù)單調(diào)性的定義上去解決二是奇偶性，這類題的入手點是函數(shù)奇偶性的定義，解題時抓住定義，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化三是不等式，一般要先研究函數(shù)的性質(zhì)，再轉(zhuǎn)化為一般的不等式進(jìn)行解答【典例3】已知定義在(，0)(0，)上的函數(shù)f(x)滿足：對任意x，y(，0)(0，)，f(x·y)f(x)f(y)；當(dāng)x>1時，f(x)>0，且f(2)1.(1)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)判斷函數(shù)f(x)在(0，)上的單調(diào)性；(3)求函數(shù)f(x)在區(qū)間4,0)(0,4上的最大值；(4)求不等式f(3x2)4的解集解(1)令xy1，則f(1×1)f(1)f(1)，得f(1)0；再令xy1，則f(1)·(1)f(1)f(1)，得f(1)0.對于條件f(x·y)f(x)f(y)，令y1，則f(x)f(x)f(1)，f(x)f(x)又函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)(2)任取x1，x2(0，)，且x1<x2，則有>1.又當(dāng)x>1時，f(x)>0，f>0.而f(x2)ff(x1)f>f(x1)，函數(shù)f(x)在(0，)上是增函數(shù)(3)f(4)f(2×2)f(2)f(2)，又f(2)1，f(4)2.又由(1)(2)知函數(shù)f(x)在區(qū)間4,0)(0,4上是偶函數(shù)，且在(0,4上是增函數(shù)，函數(shù)f(x)在區(qū)間4,0)(0,4上的最大值為f(4)f(4)2.(4)422f(4)f(4)f(16)，原不等式轉(zhuǎn)化為f(3x2)f(16)又函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且函數(shù)f(x)在(0，)上是增函數(shù)，原不等式又轉(zhuǎn)化為|3x2|16，即3x216或3x216，不等式f(3x2)4的解集為x.點評對于抽象函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷，定義法是一種常用手段具體的解題策略是：首先通過賦值得到f(1)，f(0)，f(1)之類的特殊自變量的函數(shù)值，然后再通過賦值構(gòu)造f(x)與f(x)或f(x2)與f(x1)之間的關(guān)系式進(jìn)行函數(shù)奇偶性或單調(diào)性的判斷課后作業(yè)(二十二)復(fù)習(xí)鞏固一、選擇題1下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減的函數(shù)為()AyByCyx2Dy2x解析易判斷A、C為偶函數(shù)，B、D為奇函數(shù)，但函數(shù)yx2在(0，)上單調(diào)遞增，所以選A.答案A2已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)x22x，則f(x)在R上的表達(dá)式是()Ayx(x2)Byx(|x|2)Cy|x|(x2)Dyx(|x|2)解析由x0時，f(x)x22x，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)得，當(dāng)x<0時，x>0，f(x)f(x)(x22x)x(x2)f(x)即f(x)x(|x|2)答案D3若函數(shù)f(x)ax2(2a)x1是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A(，0B0，)C(，)D1，)解析因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以a20，a2，即該函數(shù)f(x)2x21，所以函數(shù)f(x)在(，0上單調(diào)遞增答案A4f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且單調(diào)遞減，若f(2a)f(4a)<0，則a的取值范圍是()Aa<1Ba<3Ca>1Da>3解析f(x)在R上為奇函數(shù)，f(2a)f(4a)<0轉(zhuǎn)化為f(2a)<f(4a)f(a4)又f(x)在R上單調(diào)遞減，2a>a4，得a<3.答案B5奇函數(shù)f(x)在區(qū)間3,6上是增函數(shù)，在區(qū)間3,6上的最大值為8，最小值為1，則f(6)f(3)的值為()A10B10C9D15解析由于f(x)在3,6上為增函數(shù)，f(x)的最大值為f(6)8，f(x)的最小值為f(3)1，f(x)為奇函數(shù)，故f(3)f(3)1，f(6)f(3)819.答案C二、填空題6已知yf(x)是奇函數(shù)，若g(x)f(x)2且g(1)1，則g(1)_.解析因為g(x)f(x)2，g(1)1，所以1f(1)2，所以f(1)1，又因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(1)1，則g(1)f(1)23.答案37設(shè)函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，它在0,1上的圖象如圖則它在1,0)上的解析式為_解析由題意知f(x)在1,0)上為一條線段，且過(1,1)，(0,2)，設(shè)f(x)kxb(1x<0)，代入解得k1，b2，所以f(x)x2(1x<0)答案f(x)x2(1x<0)8已知函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，其圖象與x軸有四個交點，則方程f(x)0的所有實根之和是_解析由題意，知函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以其圖象與x軸的四個交點也兩兩成對，關(guān)于y軸對稱，即方程f(x)0的實根兩兩互為相反數(shù)，故其所有實根之和是0.答案0三、解答題9已知函數(shù)f(x)(xR)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)x22x1，求函數(shù)f(x)的解析式解當(dāng)x<0時，x>0，f(x)(x)22x1.f(x)是奇函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)x22x1，f(x)(xR)是奇函數(shù)，f(0)0.所求函數(shù)的解析式為f(x)10設(shè)f(x)在R上是偶函數(shù)，在(，0)上遞減，若f(a22a3)>f(a2a1)，求實數(shù)a的取值范圍解由題意知f(x)在(0，)上是增函數(shù)又a22a3(a1)22>0，a2a12>0，且f(a22a3)>f(a2a1)，所以a22a3>a2a1，解得a<.綜上，實數(shù)a的取值范圍是.綜合運(yùn)用11若f(x)滿足f(x)f(x)在區(qū)間(，1上是增函數(shù)，則()Af<f(1)<f(2)Bf(1)<f<f(2)Cf(2)<f(1)<fDf(2)<f<f(1)解析由已知可得函數(shù)f(x)在區(qū)間1，)上是減函數(shù)，ff，f(1)f(1)1<<2，f(1)>f>f(2)，即f(2)<f<f(1)答案D12若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足f(x)g(x)x23x1，則f(x)()Ax2B2x2C2x22Dx21解析因為f(x)g(x)x23x1, 所以f(x)g(x)x23x1.又f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)；g(x)為奇函數(shù)，g(x)g(x)，所以f(x)g(x)x23x1. 聯(lián)立可得f(x)x21.答案D13已知函數(shù)f(x)是定義在x|x0上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)2x2x1，則當(dāng)x>0時，f(x)的遞減區(qū)間是_解析當(dāng)x<0時，函數(shù)f(x)2x2x1在上是遞減的，又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)圖象的特征知，當(dāng)x>0時，f(x)的遞減區(qū)間是.答案14若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(，0上是減函數(shù)，且f(2)0，則使得f(x)<0的x的取值范圍是_解析由題意知f(2)f(2)0，當(dāng)x(2,0)時，f(x)<f(2)0，由對稱性知，x0,2)時，f(x)為增函數(shù)，f(x)<f(2)0，故x(2,2)時，f(x)<0.答案(2,2)15定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足對x1，x2R，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)如果f(4)1，f(x1)<2，且f(x)在0，)上是增函數(shù)，試求實數(shù)x的取值范圍解(1)令x1x20，得f(0)0，令x1x，x2x，得f(0)f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)(2)因為f(4)1，所以f(8)f(4)f(4)2，所以原不等式化為f(x1)<f(8)又因為f(x)在0，)上是增函數(shù)，f(0)0且f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)在(，)上是增函數(shù)，因此x1<8，所以x<9，所以實數(shù)x的取值范圍是(，9)13