（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第三層級(jí) 難點(diǎn)自選 專(zhuān)題一“選填”壓軸小題命題的4大區(qū)域講義 理（普通生含解析）

（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第三層級(jí) 難點(diǎn)自選 專(zhuān)題一“選填”壓軸小題命題的4大區(qū)域講義 理（普通生，含解析）全國(guó)卷3年考情分析題號(hào)考卷第11題第12題第15題第16題命題分析2018卷直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系及雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)空間直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系及其所成角的問(wèn)題計(jì)數(shù)原理與組合問(wèn)題三角函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)高考在選擇、填空壓軸題中，主要考查圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)及圓錐曲線(xiàn)定義、函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與不等式的求解、指數(shù)、對(duì)數(shù)式大小比較、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、幾何體的表面積與體積的計(jì)算及空間角問(wèn)題，而三角函數(shù)、數(shù)列、平面向量也常有考查.卷函數(shù)的奇偶性與周期性橢圓的定義與橢圓的幾何性質(zhì)兩角和與差的公式應(yīng)用圓錐側(cè)面積的運(yùn)算及空間角的問(wèn)題卷雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)不等式性質(zhì)及對(duì)數(shù)運(yùn)算三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)及應(yīng)用2017卷指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化與對(duì)數(shù)運(yùn)算及大小比較等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)三棱錐的體積、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用卷利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值平面向量的數(shù)量積與最值等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、特殊數(shù)列求和拋物線(xiàn)的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程卷函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題平面向量基本定理、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系分段函數(shù)、解不等式空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系、空間向量2016卷平面與平面平行的性質(zhì)、異面直線(xiàn)所成的角及等角定理函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)等比數(shù)列通項(xiàng)公式、二次函數(shù)的最值及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)線(xiàn)性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用卷雙曲線(xiàn)的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率的計(jì)算函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性推理與論證導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與幾何意義、直線(xiàn)方程、斜率計(jì)算公式卷橢圓的離心率、直線(xiàn)斜率的應(yīng)用計(jì)數(shù)原理與組合問(wèn)題函數(shù)的奇偶性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，直線(xiàn)的斜率、傾斜角，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系命題區(qū)域(一)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)本類(lèi)壓軸題常以分段函數(shù)、抽象函數(shù)等為載體，考查函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)、參數(shù)的范圍和通過(guò)函數(shù)性質(zhì)求解不等式問(wèn)題等要注意函數(shù)yf(x)與方程f(x)0以及不等式f(x)>0的關(guān)系，進(jìn)行彼此之間的轉(zhuǎn)化是解決該類(lèi)題目的關(guān)鍵解決該類(lèi)問(wèn)題的途徑往往是構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)性質(zhì)去求解問(wèn)題是常用方法其間要注意導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)研究可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，求可導(dǎo)函數(shù)的極值和最值，以及利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用題是導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的主要應(yīng)用分段函數(shù)問(wèn)題例1已知函數(shù)f(x)若f(x)無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_技法演示法一：分段處理，分類(lèi)討論記g(x)x33x，h(x)2x，同時(shí)作出函數(shù)g(x)與h(x)的圖象，如圖所示，則h(x)在(，)上單調(diào)遞減，下面分析g(x)的單調(diào)性因?yàn)間(x)3x233(x1)(x1)，當(dāng)x變化時(shí)，g(x)和g(x)變化如下：x(，1)1(1,1)1(1，)g(x)00g(x)極大值極小值下面分析f(x)的單調(diào)性，注意到f(x)結(jié)合前面g(x)與h(x)的單調(diào)性，我們可以按下述三種情況討論：a<11a1a1若a<1，則f(x)在(，a上的最大值為f(a)，由g(x)在(，1)上單調(diào)遞增，f(a)g(a)<g(1)2，而f(x)在(a，)上無(wú)最大值，取值范圍是(，2a)，由于2a>2，此時(shí)函數(shù)f(x)無(wú)最大值，符合題意若1a<1，則f(x)在(，a上的最大值為f(1)2，且當(dāng)x>a時(shí)，f(x)h(x)<h(a) h(1)2，則當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得最大值，不符合題意若a1，由g(x)的單調(diào)性可得，f(x)在(，a上的最大值為f(1)或f(a)，令Mmaxf(1)，f(a)，則有Mf(1)2，而當(dāng)x>a時(shí)，f(x)h(x)<h(a)h(1)2，則f(x)有最大值M，不符合題意綜上，若f(x)無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，1)法二：整體考慮，正難則反記g(x)x33x，h(x)2x，由解法一知h(x)在(，)上單調(diào)遞減，且當(dāng)x變化時(shí)，g(x)和g(x)變化如下：x(，1)1(1,1)1(1，)g(x)00g(x)極大值極小值由于h(x)在(a，)上單調(diào)遞減，無(wú)最大值，若f(x)有最大值，也只可能在x1或xa處取得，同時(shí)作出函數(shù)g(x)與h(x)的圖象，如圖所示，容易求得它們的交點(diǎn)分別是(1,2)，(0,0)和(1，2)注意到g(1)h(1)2，由圖象可見(jiàn)，若f(x)在x1處取得最大值，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,2，若f(x)在xa處取得最大值，實(shí)數(shù)a的取值范圍是2，)綜上，若f(x)有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，)，從而，若f(x)無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，1)法三：平移直線(xiàn)xa，直接秒殺根據(jù)題意，將函數(shù)f(x)采用分離的方式，記g(x)x33x，h(x)2x，同時(shí)在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)與h(x)的圖象，將直線(xiàn)xa在圖象中沿著x軸左右平移，觀察直線(xiàn)xa與函數(shù)g(x)，h(x)的圖象的交點(diǎn)(曲線(xiàn)點(diǎn)實(shí)，直線(xiàn)點(diǎn)虛)變化，如圖所示，當(dāng)直線(xiàn)xa在直線(xiàn)x1左邊時(shí)滿(mǎn)足條件“f(x)無(wú)最大值”，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，1)答案(，1)系統(tǒng)歸納“三招”破解分段函數(shù)最值問(wèn)題分類(lèi)討論研究分段函數(shù)f(x)的單調(diào)性，大多借助分類(lèi)討論f(x)在各個(gè)分段上的最值如解法一是根據(jù)g(x)的單調(diào)性，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論整體思想從函數(shù)的整體性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性和周期性)出發(fā)，研究函數(shù)的最值問(wèn)題當(dāng)一個(gè)問(wèn)題從正面不好入手時(shí)，也可從反面思考如解法二就采取正難則反的方法解題數(shù)形結(jié)合“以形助數(shù)”，作出函數(shù)或變形后的函數(shù)圖象，結(jié)合條件求解問(wèn)題，解法三是利用數(shù)形結(jié)合的思想直觀得到結(jié)果應(yīng)用體驗(yàn)1若函數(shù)f(x)|x1|2xa|的最小值為3，則實(shí)數(shù)a的值為()A5或8B1或5C1或4 D4或8解析：選D當(dāng)a2時(shí)，f(x)如圖1可知，f(x)minf13，可得a8；當(dāng)a<2時(shí)，f(x)如圖2可知，f(x)minf13，可得a4.函數(shù)的含參零點(diǎn)問(wèn)題例2已知函數(shù)f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x00，則a的取值范圍為()A(2，)B(，2)C(1，) D(，1)技法演示法一：分類(lèi)討論，各個(gè)擊破分類(lèi)討論就是將數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)，然后對(duì)劃分的每一類(lèi)分別進(jìn)行研究，最后整合獲解，其基本思路是化整為零，各個(gè)擊破由已知得a0，f(x)3ax26x，令f(x)0，得x0或x.當(dāng)a>0時(shí)，x(，0)，f(x)>0；x，f(x)<0；x，f(x)>0.所以函數(shù)f(x)在(，0)和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且f(0)1>0，故f(x)有小于零的零點(diǎn)，不符合題意當(dāng)a<0時(shí)，x，f(x)<0；x，f(x)>0；x(0，)，f(x)<0.所以函數(shù)f(x)在和(0，)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以要使f(x)有唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，只需f>0，即a2>4，解得a<2.法二：數(shù)形結(jié)合，曲曲與共函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，亦即函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，因此用圖象來(lái)揭開(kāi)函數(shù)零點(diǎn)的神秘面紗成為我們解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題常用而最有效的策略令f(x)0，得ax33x21.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(x)ax3的圖象與h(x)3x21的圖象存在唯一的交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)大于零當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)g(x)的圖象與h(x)的圖象存在兩個(gè)的交點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，如圖(1)所示，不合題意；當(dāng)a<0時(shí)，由圖(2)知，可先求出函數(shù)g(x)ax3與h(x)3x21的圖象有公切線(xiàn)時(shí)a的值由g(x)h(x)，g(x)h(x)，得a2.由圖象可知當(dāng)a<2時(shí)，滿(mǎn)足題意法三：參變分離，演繹高效參變分離法，亦即將原函數(shù)中的參變量進(jìn)行分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決巧用參數(shù)分離求解零點(diǎn)問(wèn)題，既可以回避對(duì)參數(shù)取值的分類(lèi)討論，又形象直觀，一目了然易知x0，令f(x)0，則a，記g(x)，g(x)，可知g(x)在(，1)和(1，)上單調(diào)遞減，在(1,0)和(0,1)上單調(diào)遞增，且g(1)2，畫(huà)出函數(shù)大致圖象如圖所示，平移直線(xiàn)ya，結(jié)合圖象，可知a<2.答案B系統(tǒng)歸納“三招”破解含參零點(diǎn)問(wèn)題帶參討論若無(wú)法通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想將原問(wèn)題化歸為相對(duì)容易的問(wèn)題，此時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)要求合理地對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)，并逐一求解利用該策略求解時(shí)一般要求我們明確討論的標(biāo)準(zhǔn)，必須做到不重不漏如解法一中就要考慮到a的正負(fù)對(duì)根“0”與“”大小的影響數(shù)形結(jié)合由兩個(gè)基本初等函數(shù)組合而得的函數(shù)f(x)g(x)h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，等價(jià)于方程g(x)h(x)0的解的個(gè)數(shù)，亦即g(x)h(x)的解的個(gè)數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)yg(x)與yh(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)參變分離通過(guò)將原函數(shù)中的參變量進(jìn)行分離后變形成g(x)l(a)，則原函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題化歸為與x軸平行的直線(xiàn)yl(a)和函數(shù)g(x)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題應(yīng)用體驗(yàn)2已知函數(shù)f(x)|x23x|(xR)若方程f(x)a|x1|0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)解析：法一：畫(huà)出函數(shù)f(x)|x23x|的大致圖象，如圖，令g(x)a|x1|，則函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)的圖象有且僅有4個(gè)不同的交點(diǎn)，顯然a>0.聯(lián)立消去y，得x2(3a)xa0，由>0，解得a<1或a>9；聯(lián)立消去y，得x2(3a)xa0，由>0，解得a>1或a<9.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1)(9，)法二：易知a>0，且x1不是方程的根故有ax15.設(shè)h(x)，則問(wèn)題等價(jià)于曲線(xiàn)yh(x)與直線(xiàn)ya有4個(gè)不同交點(diǎn)作出圖象如圖所示顯然y9，y1是yh(x)的兩條切線(xiàn)，此時(shí)都只有3個(gè)交點(diǎn)于是，結(jié)合圖形知，當(dāng)0<a<1或a>9時(shí)，直線(xiàn)ya與曲線(xiàn)yh(x)均有4個(gè)交點(diǎn)所以a的取值范圍為(0,1)(9，)答案：(0,1)(9，)抽象函數(shù)問(wèn)題例3設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(1)0，當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)技法演示法一：構(gòu)造抽象函數(shù)法觀察xf(x)f(x)<0這個(gè)式子的特征，不難想到商的求導(dǎo)公式，設(shè)F(x).因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，故F(x)是偶函數(shù)，F(xiàn)(x)，易知當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)(x)<0，所以函數(shù)F(x)在(0，)上單調(diào)遞減又f(1)0，則f(1)0，于是F(1)F(1)0，f(x)xF(x)，解不等式f(x)>0，即找到x與F(x)的符號(hào)相同的區(qū)間，易知當(dāng)x(，1)(0,1)時(shí)，f(x)>0，故選A.法二：構(gòu)造具體函數(shù)法題目中沒(méi)有給出具體的函數(shù)，但可以根據(jù)已知條件構(gòu)造一個(gè)具體函數(shù)，越簡(jiǎn)單越好，因此考慮簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)設(shè)f(x)是多項(xiàng)式函數(shù)，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以它只含x的奇次項(xiàng)又f(1)f(1)0，所以f(x)能被x21整除因此可取f(x)xx3，檢驗(yàn)知f(x)滿(mǎn)足題設(shè)條件解不等式f(x)>0，得x(，1)(0,1)，故選A.答案A系統(tǒng)歸納1利用和差函數(shù)求導(dǎo)法則構(gòu)造函數(shù)(1)對(duì)于不等式f(x)g(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)；(2)對(duì)于不等式f(x)g(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)；特別地，對(duì)于不等式f(x)>k(或<k)(k0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)kx.2利用積商函數(shù)求導(dǎo)法則構(gòu)造函數(shù)(1)對(duì)于不等式f(x)g(x)f(x)g(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)；(2)對(duì)于不等式f(x)g(x)f(x)g(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)(g(x)0)；(3)對(duì)于不等式xf(x)f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)xf(x)；(4)對(duì)于不等式xf(x)f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)(x0)；(5)對(duì)于不等式xf(x)nf(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)(x0)；(6)對(duì)于不等式f(x)f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)exf(x)；(7)對(duì)于不等式f(x)f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x).應(yīng)用體驗(yàn)3定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f(x)>f(x)，且f(x)2 019為奇函數(shù)，則不等式f(x)2 019ex<0的解集是()A(，0) B(0，)C. D.解析：選B設(shè)g(x)，則g(x)<0，所以g(x)是R上的減函數(shù)，由于f(x)2 019為奇函數(shù)，所以f(0)2 019，g(0)2 019，因?yàn)閒(x)2 019ex<0<2 019，即g(x)<g(0)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知不等式f(x)2 019ex<0的解集是(0，)，故選B.命題區(qū)域(二)三角函數(shù)、平面向量本類(lèi)壓軸題主要考查三角恒等變換與三角函數(shù)、解三角形相結(jié)合的綜合問(wèn)題其中三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角形的面積問(wèn)題是重點(diǎn)考查內(nèi)容；平面向量主要考查與解析幾何、函數(shù)、不等式等相結(jié)合的有關(guān)數(shù)量積問(wèn)題解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化與化歸思想的靈活運(yùn)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1已知函數(shù)f(x)sin(x)>0，|，x為f(x)的零點(diǎn)，x為yf(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，且f(x)在上單調(diào)，則的最大值為()A11B9C7 D5技法演示法一：綜合法由f0，得k(kZ)，k，則f(x)sin(nZ)由f±1，即sinsin ±1，可知為正奇數(shù)(>0)由得又由于>0，所以k只能取0，1，2，3.當(dāng)k0時(shí)，(2,2)；當(dāng)k1時(shí)，(2,6)；當(dāng)k2時(shí)，(6,10)；當(dāng)k3時(shí)，(10,14)因?yàn)槭钦鏀?shù)(不超過(guò)12)，所以1,3,5,7,9,11當(dāng)11時(shí)，x，x11x，里面含有，則f(x)在上不可能單調(diào)，不符合題意當(dāng)9時(shí)，x，x9x，里面不含(nZ)中的任何一個(gè)，即f(x)在上單調(diào)，符合題意綜上，的最大值為9.故選B.法二：分類(lèi)討論由題意T，即0<12.又由題意可得(n，kZ)，所以(n，kZ)又|，所以kn.(1)當(dāng)kn0時(shí)，14k.由可得，當(dāng)k2時(shí)，9，此時(shí)函數(shù)f(x)sin在上單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)k1時(shí)，5，此時(shí)函數(shù)f(x)sin在上單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)k0時(shí)，1，此時(shí)f(x)sin在上單調(diào)遞增，符合題意；(2)當(dāng)kn1時(shí)，14k.由可得，當(dāng)k1時(shí)，3，此時(shí)函數(shù)f(x)sin在上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)k2時(shí)，7，此時(shí)函數(shù)f(x)sin在上不單調(diào)，舍去；當(dāng)k3時(shí)，11，此時(shí)f(x)sin在上不單調(diào)，舍去綜上，1,3,5,9，此法求出了的所有可能值答案B系統(tǒng)歸納三角函數(shù)圖象與性質(zhì)問(wèn)題的解題策略(1)函數(shù)yAsin(x)(>0，A>0)的圖象的單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性、周期、零點(diǎn)等問(wèn)題中涉及的結(jié)論：若函數(shù)yAsin(x)(>0，A>0)有兩條對(duì)稱(chēng)軸xa，xb，則有|ab|(kZ)；若函數(shù)yAsin(x)(>0，A>0)有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心M(a,0)，N(b,0)，則有|ab|(kZ)；若函數(shù)yAsin(x)(>0，A>0)有一條對(duì)稱(chēng)軸xa，一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心M(b,0)，則有|ab|(kZ)(2)研究函數(shù)在某一特定區(qū)間的單調(diào)性，若函數(shù)僅含有一個(gè)參數(shù)的時(shí)候，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)比較容易控制，但對(duì)于函數(shù)yAsin(x)(>0，A>0)含多個(gè)參數(shù)，并且具有周期性，很難解決，所以必須有合理的等價(jià)轉(zhuǎn)化方式才能解決解法一嘗試正面求解的可能值，但因單調(diào)區(qū)間的條件不好使用，仍然采取代入驗(yàn)證的方法解決應(yīng)用體驗(yàn)1若函數(shù)f(x)cos 2xasin x在區(qū)間上是減函數(shù)，則a的取值范圍是_解析：法一：導(dǎo)數(shù)法對(duì)f(x)cos 2xasin x求導(dǎo)，得f(x)2sin 2xacos x因?yàn)閒(x)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以f(x)0在上恒成立，即acos x2sin 2x4sin xcos x，而cos x>0，所以a4sin x在區(qū)間上，<sin x<1，于是a2.法二：圖象法f(x)cos 2xasin x12sin2xasin x221，設(shè)tsin x，由x，知t.要使g(t)221在上是減函數(shù)，只要即可，所以a(，2答案：(，2三角形面積最值問(wèn)題例2已知a，b，c分別為ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，則ABC的面積的最大值為_(kāi)技法演示法一：綜合運(yùn)用正、余弦定理由正弦定理知(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化為(2b)(ab)c(cb)，將a2代入整理，得b2c2a2bc，所以cos A，故A，則ABC的面積Sbcsin Abc.而b2c2a2bc2bca2bc4，所以Sbc，當(dāng)且僅當(dāng)bc2時(shí)取到等號(hào)，故ABC的面積的最大值為.法二：正、余弦定理與數(shù)形結(jié)合由法一得A，可知ABC的邊a2為定長(zhǎng)，A為定值，作出示意圖如圖所示，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)A在圓周上的運(yùn)動(dòng)軌跡為優(yōu)弧BC(不包括兩個(gè)端點(diǎn)B，C)，易知當(dāng)點(diǎn)A位于優(yōu)弧中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)ABC的面積最大，由于A，則此時(shí)的ABC是等邊三角形，面積為.法三：正、余弦函數(shù)的有界性由法一知A，則由正弦定理得，b·sin Bsin B，csin C，則SABCbcsin Abcsin B·sin C·cos(BC)cos(BC)cos(BC)·，當(dāng)且僅當(dāng)cos(BC)1，即BC時(shí)，ABC的面積取得最大值.法四：函數(shù)思想由法三得SABCsin B·sin Csin B·sinB，令g(B)sin B·sinsin Bcos Bsin Bsin.由0<B<，易得g(B)max，當(dāng)且僅當(dāng)B時(shí)取等號(hào)，所以ABC的面積的最大值為.答案系統(tǒng)歸納三角形面積最值問(wèn)題的解題策略(1)借助正、余弦定理，把三角形面積這個(gè)目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為邊或角的形式，然后借助基本不等式或函數(shù)性質(zhì)來(lái)解決；(2)結(jié)合問(wèn)題特征，構(gòu)造幾何圖形來(lái)求得最值，直觀迅速；(3)利用結(jié)論：已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若am(m>0)，且A，(0，)，則ABC的面積的最大值是，當(dāng)且僅當(dāng)另外兩個(gè)角相等時(shí)取等號(hào)應(yīng)用體驗(yàn)2(2018·濰坊統(tǒng)一考試)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，外接圓的半徑為1，且，則ABC面積的最大值為_(kāi)解析：因?yàn)椋?2cb)，由正弦定理得sin Bsin Acos B(2sin Csin B)sin Bcos A，又sin B0，所以sin Acos B(2sin Csin B)cos A，所以sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos A，sin(AB)2sin Ccos A，即sin C2sin Ccos A，又sin C0，所以cos A，sin A，設(shè)外接圓的半徑為r，則r1，由余弦定理得bcb2c2a2b2c2(2rsin A)2b2c232bc3(當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)，等號(hào)成立)，所以bc3，所以SABCbcsin Abc.答案：平面向量數(shù)量積問(wèn)題例3在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60°，動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線(xiàn)段BC和DC上，且，則·的最小值為_(kāi)技法演示法一：基底法選取，為一組基底，由題意易求DC1，|2，|1，·2×1×cos 120°1，.于是·()· ×412 (>0)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故·的最小值為.法二：坐標(biāo)法以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳BDC，AB2，BC1，ABC60°，所以DC1，即B(2,0)，D，C.因?yàn)?，所以E，F(xiàn)，.所以·2.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故·的最小值為.答案 系統(tǒng)歸納向量數(shù)量積問(wèn)題的解題策略基底法根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合圖形的結(jié)構(gòu)特征選擇一組基底，將有關(guān)的向量用基底表示，進(jìn)行求解坐標(biāo)法分析圖形的結(jié)構(gòu)特征，建立平面直角坐標(biāo)系，將所涉及的向量坐標(biāo)化，利用坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行解答應(yīng)用體驗(yàn)3已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·_；·的最大值為_(kāi)解析：法一：如圖，以射線(xiàn)AB，AD為x軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，則E(t,0)，t0,1，(t，1)，(0，1)，所以·(t，1)·(0，1)1.因?yàn)?1,0)，所以·(t，1)·(1,0)t1，故· 的最大值為1.法二：由圖知，無(wú)論E點(diǎn)在哪個(gè)位置，在方向上的投影都是|1，所以·|·11，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，在方向上的投影最大即為|1，所以(·)max|·11.答案：11命題區(qū)域(三)立體幾何此類(lèi)壓軸題主要考查以立體幾何為背景的新穎問(wèn)題以立體幾何為背景的新穎問(wèn)題常見(jiàn)的有折疊問(wèn)題、與函數(shù)圖象相結(jié)合問(wèn)題、最值問(wèn)題、探索性問(wèn)題等(1)對(duì)探索、開(kāi)放、存在型問(wèn)題的考查：探索性試題使問(wèn)題具有不確定性、探究性和開(kāi)放性，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，有利于考查學(xué)生的探究能力以及思維的創(chuàng)造性，是新課程高考命題改革的重要方向之一；開(kāi)放性問(wèn)題，一般將平面幾何問(wèn)題類(lèi)比推廣到立體幾何中(2)對(duì)折疊、展開(kāi)問(wèn)題的考查：圖形的折疊與展開(kāi)問(wèn)題(三視圖問(wèn)題可看作是特殊的圖形變換)蘊(yùn)涵了“二維三維二維”的維數(shù)升降變化，求解時(shí)須對(duì)變化前后的圖形作“同中求異、異中求同”的思辨，考查空間想象能力和分析辨別能力，是立體幾何中的重要題型空間中線(xiàn)面位置關(guān)系與計(jì)算例1平面過(guò)正方體ABCD­A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面平面CB1D1，平面平面ABCDm，平面平面ABB1A1n，則直線(xiàn)m，n所成角的正弦值為()A.B.C. D.技法演示法一：割補(bǔ)法我們先嘗試把m，n這兩條直線(xiàn)都作出來(lái)，易知這個(gè)平面一定在正方體外，所以要往上補(bǔ)形，如圖所示，過(guò)點(diǎn)A在正方體ABCD­A1B1C1D1的上方補(bǔ)作一個(gè)與正方體ABCD­A1B1C1D1相同棱長(zhǎng)的正方體ABCD­A2B2C2D2，可證平面AB2D2就是平面，n就是AB2.因?yàn)槠矫鍭BCD平面A2B2C2D2，所以B2D2m，說(shuō)明m應(yīng)該是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且在平面ABCD內(nèi)與B2D2平行的直線(xiàn)，則直線(xiàn)m，n所成的角就是AB2D2，因?yàn)锳B2D2為等邊三角形，所以sinAB2D2sin，故選A.法二：平移法1事實(shí)上對(duì)法一可進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化，無(wú)須補(bǔ)形也可以設(shè)平面CB1D1平面ABCDm，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCDm，平面平面CB1D1，所以mm.又平面ABCD平面A1B1C1D1，平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1m，所以B1D1m.同理可得CD1n，故直線(xiàn)m，n所成角即為直線(xiàn)B1D1，CD1所成的角CD1B1.在正方體ABCD­A1B1C1D1中，B1CB1D1CD1，所以CD1B1，所以sinCD1B1，故選A.法三：平移法2與法二類(lèi)似，我們嘗試在正方體內(nèi)部構(gòu)造一個(gè)平面與平面平行，也即與平面CB1D1平行如圖所示，讓點(diǎn)A在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，不妨讓點(diǎn)A在對(duì)角線(xiàn)AC上運(yùn)動(dòng)，易知平面BA1D與平面CB1D1平行，則直線(xiàn)m，n所成的角就是DBA1，其正弦值為，故選A.法四：向量法如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，易求得平面CB1D1的一個(gè)法向量s(1，1，1)因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCDm，所以直線(xiàn)m的方向向量mxy(y，x,0)又平面平面CB1D1，所以m·s0，即yx0，故m(x，x,0)；同理，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BB1A1n，所以直線(xiàn)n的方向向量n(0，)又平面平面CB1D1，所以n·s0，即0，故n(0，)記異面直線(xiàn)m，n所成角為，所以cos ，故直線(xiàn)m，n所成角的正弦值為，選A.答案A系統(tǒng)歸納異面直線(xiàn)所成角問(wèn)題的解題策略(1)平移化歸是關(guān)鍵：求異面直線(xiàn)所成角，關(guān)鍵是將兩條異面的直線(xiàn)平移到相交狀態(tài)，作出等價(jià)的平面角，再解三角形即可，常規(guī)步驟是“一作二證三計(jì)算”，而第一步最為關(guān)鍵，平移誰(shuí)，怎么平移都要視題目條件而定；(2)向量計(jì)算要快要準(zhǔn)：空間向量方法的最大好處是降低了對(duì)空間想象能力的要求，但相應(yīng)地對(duì)計(jì)算能力要求就高了，要求我們熟練地求解空間的點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，計(jì)算要準(zhǔn)確應(yīng)用體驗(yàn)1已知四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，ABAC5，BC8，AD底面ABC，G為ABC的重心，且直線(xiàn)DG與底面ABC所成角的正切值為，則球O的表面積為_(kāi)解析：在等腰ABC中，ABAC5，BC8，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，重心G為AE的三等分點(diǎn)，AE3，AG2，由于AD底面ABC，直線(xiàn)DG與底面ABC所成角的正切值為，所以tanDGA，DA1，在等腰ABC中，cosACB，sinACB，所以ABC的外接圓直徑2r，r，設(shè)ABC的外接圓圓心為O1，四面體ABCD的球心為O，在RtAOO1中，R2OA2AO222，球的表面積為S4R2.答案：空間最值問(wèn)題例2如圖，在ABC中，ABBC2，ABC120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線(xiàn)段AC上的點(diǎn)D，滿(mǎn)足PDDA，PBBA，則四面體P­BCD的體積的最大值是_技法演示法一：平面幾何法由題意可知四面體P­BCD的體積最大時(shí)，應(yīng)有平面PBD平面BCD.如圖，過(guò)點(diǎn)P作PFBD，垂足為F，則PF平面BCD，則VP­BCDSBCD·PF.由翻折過(guò)程可知AFPF，則VP­BCDSBCD·AF，這樣就將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為ABC內(nèi)的問(wèn)題等腰ABC的底邊AC邊上的高h(yuǎn)AB·sin 30°1，VP­BCD××DC×h×AFDC·AF.DC與AF不在同一個(gè)三角形中，用哪個(gè)變量能表示兩者呢？注意到當(dāng)點(diǎn)D在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，ADB也是在變化的，因此可以取ADB為自變量，產(chǎn)生下面的解法如圖，因?yàn)镾ABDBD·AFAD·h，則AF，得VP­BCDDC·.設(shè)ADB，由正弦定理得2sin(150°)，DC，則VP­BCD×，易知函數(shù)f(x)x在區(qū)間(0,1上單調(diào)遞增，于是VP­BCD.法二：構(gòu)造法換個(gè)角度看問(wèn)題，我們把ABC“立起來(lái)”，如圖，設(shè)BO平面ACP，考慮以B為頂點(diǎn)，ACP的外接圓O為底面的圓錐，易得AC2，則OB 1.設(shè)PDA，(0，)，ADx(0<x<2)，則SPCDx·(2x)sin x·(2x)2，所以四面體P­BCD的體積VP­BCD·SPCD·OB，當(dāng)且僅當(dāng)OAAC，且時(shí)取等號(hào)(此時(shí)D點(diǎn)與圓心O重合，PD垂直平分AC，進(jìn)而可得BDPD)法三：解析法由于ABC是頂角為120°的等腰三角形，故建系非常方便如圖，取AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以AC所在的直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(，0)，B(0，1)，C(，0)，設(shè)D(t,0)，t(，)，易知直線(xiàn)BD的方程為xtyt0，則點(diǎn)A到直線(xiàn)BD的距離AF，又DCt，于是VP­BCDDC·AF·，令f(t)·，t20,3)，易知該函數(shù)在0,3)上單調(diào)遞減，故VP­BCDf(0)，此時(shí)D在原點(diǎn)答案系統(tǒng)歸納空間最值問(wèn)題的解題關(guān)鍵(1)要善于將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題：這一步要求我們具備較強(qiáng)的空間想象能力，對(duì)幾何體的結(jié)構(gòu)特征要牢牢抓住，如本題一定要分析出“當(dāng)四面體P­BCD的體積取最大值時(shí)，必有平面PBD平面BCD”，要判斷出PBD與ABD是翻折關(guān)系(全等)，這樣才能進(jìn)一步將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的問(wèn)題；(2)轉(zhuǎn)化后的運(yùn)算：因?yàn)橐呀?jīng)是平面內(nèi)的問(wèn)題，那么方法就比較多了，如三角函數(shù)法、均值不等式，甚至導(dǎo)數(shù)都是可以考慮使用的工具應(yīng)用體驗(yàn)2表面積為60的球面上有四點(diǎn)S，A，B，C且ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為，若平面SAB平面ABC，則棱錐S­ABC體積的最大值為_(kāi)解析：因?yàn)榍虻谋砻娣e為60，所以球的半徑為，設(shè)ABC的中心為D，則OD，所以DA2，則AB6，棱錐S­ABC的底面積S×629為定值，欲使其體積最大，應(yīng)有S到平面ABC的距離取最大值，又平面SAB平面ABC，所以S在平面ABC上的射影落在直線(xiàn)AB上，而SO，點(diǎn)D到直線(xiàn)AB的距離為，則S到平面ABC的距離的最大值為3，所以V×9×327.答案：27命題區(qū)域(四)解析幾何本類(lèi)壓軸題主要考查圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)、特定字母的取值范圍以及圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)是高考考查圓錐曲線(xiàn)的重點(diǎn)內(nèi)容之一在選擇、填空題中主要考查橢圓和雙曲線(xiàn)的離心率、參數(shù)的值(范圍)、雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程以及拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦圓錐曲線(xiàn)中的弦長(zhǎng)是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交時(shí)產(chǎn)生的，面積也以弦長(zhǎng)的計(jì)算為基礎(chǔ)，高考重點(diǎn)考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，它是命制壓軸題時(shí)的一個(gè)重要命題方向圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)例1已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)E：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則雙曲線(xiàn)E的離心率為()A.B.C. D2技法演示法一：定義法因?yàn)镸F1F2是直角三角形，且sinMF2F1，所以|MF1|MF2|sinMF2F1|MF2|，即|MF2|3|MF1|.由雙曲線(xiàn)的定義可知|MF2|MF1|2a.由和可求得|MF1|a，|MF2|3a.在RtMF1F2中，由勾股定理得|MF2|2|MF1|2|F1F2|2，即(3a)2a2(2c)2，化簡(jiǎn)得2a2c2，即22，從而可知e.故選A.法二：利用正弦定理在RtMF1F2中，sin F1MF2sin(90°MF2F1)cosMF2F1，sinMF1F21.由正弦定理得e.故選A.法三：利用直角三角形的三角函數(shù)設(shè)點(diǎn)M(c，y0)，則1，由此解得y|MF1|2b2.MF1F2是直角三角形，且sinMF2F1，cosMF2F1，tanMF2F1，從而可得8，即8，化簡(jiǎn)整理得2c45a2c22a40，兩邊同除以a4，得245220，即 0，>1，22，即e.答案A系統(tǒng)歸納圓錐曲線(xiàn)離心率問(wèn)題的求解策略(1)雙曲線(xiàn)(橢圓)的定義可直接建立“焦點(diǎn)三角形”的兩邊關(guān)系用好這一隱含條件，可為三角形的求解省下不少功夫法二便充分利用了雙曲線(xiàn)的定義將離心率e寫(xiě)成，轉(zhuǎn)化為“焦點(diǎn)三角形”的三邊關(guān)系，從而利用正弦定理再轉(zhuǎn)化到已知的角上去(2)在求解圓錐曲線(xiàn)(主要指的是橢圓和雙曲線(xiàn))的離心率問(wèn)題時(shí)，要把握一個(gè)基本思想，就是充分利用已知條件和挖掘隱含條件建立起a與c的關(guān)系式注意在求離心率的值時(shí)需建立等量關(guān)系式，在求離心率的范圍時(shí)需建立不等量關(guān)系式應(yīng)用體驗(yàn)1已知雙曲線(xiàn)E：1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，拋物線(xiàn)C：y28ax的焦點(diǎn)為F，若在E的漸近線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使得PAFP，則E的離心率的取值范圍是()A(1,2) B.C(2，) D.解析：選B雙曲線(xiàn)E：1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A(a,0)，拋物線(xiàn)C：y28ax的焦點(diǎn)為F(2a,0)，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y±x，可設(shè)P，則有，由PAFP，得·0，即(ma)(m2a)m20，整理得m23ma2a20，由題意可得9a241·2a20，即a28b28(c2a2)，即8c29a2，則e.又e>1，所以1<e.參數(shù)的值(范圍)問(wèn)題例2設(shè)A，B是橢圓C：1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿(mǎn)足AMB120°，則m的取值范圍是()A(0,19，) B(0，9，)C(0,14，) D(0，4，)技法演示法一：幾何性質(zhì)法如圖，設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)M作MNAB，垂足為N，設(shè)M(x，y)根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，不妨令y>0，設(shè)AMN，BMN，則tan ，tan .又點(diǎn)M在橢圓上，所以x2a2.則tan().又yb，b，所以當(dāng)yb時(shí)，取最大值，即M為橢圓短軸頂點(diǎn)P時(shí)，APB最大由此，我們可以得到本題的如下解法先考慮橢圓的焦點(diǎn)在x軸上的情況，則0<m<3.設(shè)橢圓一個(gè)短軸的頂點(diǎn)為P，要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿(mǎn)足AMB120°，則APBAMB，即APB120°，所以APO60°.而tanAPO，所以，解得0<m1.同理：當(dāng)m>3時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上，要使C上存在點(diǎn)M滿(mǎn)足AMB120°，則，解得m9.故m的取值范圍為(0,19，)法二：二級(jí)結(jié)論法橢圓上任意一點(diǎn)與橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)連線(xiàn)的斜率之積為定值.這一結(jié)論不難證明：設(shè)M(x，y)為橢圓1(a>b>0)上任意一點(diǎn)，A，B分別為橢圓的左、右兩個(gè)端點(diǎn)，則kMA·kMB·.因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以y2(a2x2)，從而kMA·kMB.由此可以得到本題的如下解法當(dāng)0<m<3時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖，設(shè)MAB，MBx，設(shè)直線(xiàn)MA，MB的斜率分別為k1，k2，則k1·k2，k1tan ，k2tan .因?yàn)锳MB120°，由三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩內(nèi)角之和，所以tan()tan 120°.根據(jù)兩角差的正切公式tan()，可得tan tan ，即k2k1m.結(jié)合k1·k2，將兩式變形為k2(k1)m，k2·(k1)，故可將k2，k1看作是關(guān)于t的方程t2t0的兩個(gè)根，則24·(m210m9)0，所以m210m90，解得m1或m9(舍去)，所以0<m1.同理可得當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，m9.綜上所述，m的取值范圍是(0,19，)故選A.法三：向量法當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)A，B分別為橢圓的左、右兩個(gè)端點(diǎn)，M(x，y)，設(shè)直線(xiàn)MA，MB的斜率分別為k1，k2，則k1·k2.又(x，y)，(x，y)，此時(shí)如果直接應(yīng)用數(shù)量積進(jìn)行計(jì)算，顯然計(jì)算量較大，這里我們可以考慮利用直線(xiàn)的方向向量來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算分別取與，相同方向的向量n1(1，k1)，n2(1，k2)又AMB120°，所以向量n1，n2的夾角為60°，由向量的數(shù)量積公式可得，cos 60°，即.由k1·k2<0，結(jié)合均值不等式a2b22ab，可得kkk(k2)22k1·(k2)m，所以，即，所以1，解得m1.又0<m<3，所以0<m1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，此時(shí)k1·k2<0.同理，即1，解得m9.綜上所述，m的取值范圍是(0,19，)答案A系統(tǒng)歸納圓錐曲線(xiàn)中特定字母的值(范圍)問(wèn)題的解題策略構(gòu)造不等式根據(jù)題設(shè)條件以及曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)(如：曲線(xiàn)的范圍、對(duì)稱(chēng)性、位置關(guān)系等)，建立關(guān)于特定字母的不等式(或不等式組)，然后解不等式(或不等式組)，求得特定字母的取值范圍構(gòu)造函數(shù)根據(jù)題設(shè)條件，用其他的變量或參數(shù)表示欲求范圍的特定字母，即建立關(guān)于特定字母的目標(biāo)函數(shù)，然后研究該函數(shù)的值域或最值情況，從而得到特定字母的取值范圍數(shù)形結(jié)合研究特定字母所對(duì)應(yīng)的幾何意義，然后根據(jù)相關(guān)曲線(xiàn)的定義、幾何性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解應(yīng)用體驗(yàn)2若過(guò)點(diǎn)M(2,0)的直線(xiàn)與橢圓y21相交于A，B兩點(diǎn)，|AB|，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足t (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則實(shí)數(shù)t的值為()A± B±C± D±解析：選B由題意知，直線(xiàn)AB的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為yk(x2)顯然，當(dāng)k0時(shí)，|AB|2，與已知不符，k0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，聯(lián)立消去y，得(12k2)x28k2x8k220，則(8k2)24(12k2)(8k22)816k2>0，x1x2，x1·x2，|AB|， |x1x2|，即(1k2)(x1x2)24x1x2，(4k21)(14k213)0，解得k2.又t，即(x1x2，y1y2)t(x，y)，且k0，t0，x，yk(x1x2)4k.點(diǎn)P在橢圓上，2×2，又k2，解得t±.圓錐曲線(xiàn)中與面積相關(guān)的問(wèn)題例3已知F是拋物線(xiàn)y2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線(xiàn)上且位于x軸的兩側(cè)，·2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則ABO與AFO面積之和的最小值是()A2 B3C. D.技法演示法一：利用基本不等式依題意，不妨設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1>0，y2<0.由·2，得x1x2y1y2(y1y2)2y1y22，由此解得y1y22，ABO與AFO面積之和等于|x1y2x2y1|×y1|yy2yy1|y1×2(y1y2)y1y1(y2)23，當(dāng)且僅當(dāng)y1y2時(shí)取等號(hào)，因此ABO與AFO面積之和的最小值是3，選B.該方法中用到這樣一個(gè)公式：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則SAOB|x1y2x2y1|，證明如下：設(shè)AOB，則SAOB|·|sin |x1y2x2y1|.法二：雙根法設(shè)直線(xiàn)AB的方程為xtym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1y2<0，由得y2tym0，y1y2m，又·2，因此x1x2y1y2(y1y2)2y1y22，m2m20，解得m2或m1.又y1y2m<0，因此y1y2m2，m2，直線(xiàn)AB：xty2過(guò)定點(diǎn)(2,0)，SABO×2×|y1y2|，SAFO×|y1|y1|，SABOSAFO|y1|y1|23，當(dāng)且僅當(dāng)|y1|，即|y1|時(shí)取等號(hào)，因此ABO與AFO面積之和的最小值是3，選B.答案B系統(tǒng)歸納圓錐曲線(xiàn)中與面積相關(guān)問(wèn)題的解題規(guī)律(1)三角形面積的向量公式：若(x1，y1)，(x2，y2)，則SABC|x1y2x2y1|，用此公式便于建立目標(biāo)函數(shù)求最值；(2)直線(xiàn)方程的選擇：對(duì)于不同的直線(xiàn)方程，其中所含的參數(shù)意義不同，形成不同的解題長(zhǎng)度為了消元、計(jì)算的方便，可將經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(m,0)的動(dòng)直線(xiàn)設(shè)為xtym的形式，避免了對(duì)斜率存在性的討論如本題法二應(yīng)用體驗(yàn)3已知橢圓E的方程為y21，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，且|OM|1，則AOB面積的最大值為_(kāi)解析：設(shè)直線(xiàn)l：xmyn，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，由整理得(4m2)y22mnyn240.所以y1y2，y1y2，x1x2.由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知x0，y0，即M.因?yàn)閨OM|1，所以n2.設(shè)直線(xiàn)l與x軸的交點(diǎn)為D(n,0)，則AOB的面積S|OD|y1y2|n|y1y2|.S2n2(y1y2)2，設(shè)tm24(t4)，則S248×1，當(dāng)且僅當(dāng)t，即t12時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)m28，n26，即S2取得最大值1.故AOB的面積的最大值為1.答案：1 A組選擇壓軸小題命題點(diǎn)專(zhuān)練1(2018·全國(guó)卷)已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A(1，a)，B(2，b)，且cos 2，則|ab|()A.B.C. D1解析：選B由cos 2，得cos2 sin2，即，tan ±，即±，|ab|.故選B.2(2019屆高三·廣州調(diào)研)若將函數(shù)y2sinsin的圖象向左平移(>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)恰為奇函數(shù)，則的最小值為()A. B.C. D.解析：選A由y2sinsin，可得y2sincossin，該函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為g(x)sinsin，因?yàn)間(x)sin為奇函數(shù)，所以2k(kZ)，(kZ)，又>0，故的最小值為，選A.3.如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，側(cè)面PAB底面ABCD，若PAADABkBC(0<k<1)，則()A當(dāng)k時(shí)，平面BPC平面PCDB當(dāng)k時(shí)，平面APD平面PCDCk(0,1)，直線(xiàn)PA與底面ABCD都不垂直Dk(0,1)，使直線(xiàn)PD與直線(xiàn)AC垂直解析：選A取PB，PC的中點(diǎn)分別為M，N，連接MN，AM，DN，由平面PAB平面ABCD，BCAB，可知BC平面PAB，BCAM，又M為PB的中點(diǎn)，PAAB，AMPB，可得AM平面PBC，而ADBC且ADBC，同時(shí)MNBC且MNBC，ADMN且ADMN，則四邊形ADNM為平行四邊形，可得AMDN，則DN平面BPC，又DN平面PCD，平面BPC平面PCD.其余選項(xiàng)都錯(cuò)誤，故選A.4(2019屆高三·西安八校聯(lián)考)已知球的直徑SC4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，ASCBSC30°，則棱錐S­ABC的體積最大為()A2 B.C. D2解析：選A如圖，因?yàn)榍虻闹睆綖镾C，且SC4，ASCBSC30°，所以SACSBC90°，ACBC2，SASB2，所以SSBC×2×22，則當(dāng)點(diǎn)A到平面SBC的距離最大時(shí)，棱錐A­SBC，即S­ABC的體積最大，此時(shí)平面SAC平面SBC，點(diǎn)A到平面SBC的距離為2sin 30°，所以棱錐S­ABC的體積最大為×2×2，故選A.5(2019屆高三·蘭州診斷考試)已知圓C：(x1)2(y4)210和點(diǎn)M(5，t)，若圓C上存在兩點(diǎn)A，B使得MAMB，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A2,6 B3,5C2,6 D3,5解析：選C法一：當(dāng)MA，MB是圓C的切線(xiàn)時(shí)，AMB取得最大值若圓C上存在兩點(diǎn)A，B使得MAMB，則MA，MB是圓C的切線(xiàn)時(shí)，AMB90°，AMC45°，且AMC<90°，如圖，則|MC|2，所以16(t4)2