2020版高考數(shù)學一輪復習 第八章 平面解析幾何 第七節(jié) 拋物線學案 理（含解析）新人教A版

第七節(jié)拋物線2019考綱考題考情1拋物線的概念平面內與一個定點F和一條定直線l(Fl)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線。2拋物線的標準方程與幾何性質標準方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸y0x0焦點FFFF離心率e1準線方程xxyy范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR開口方向向右向左向上向下焦半徑|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0注：拋物線上P點坐標為(x0，y0)。拋物線焦點弦的4個常用結論設AB是過拋物線y22px(p0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2，y1y2p2。(2)弦長|AB|x1x2p(為弦AB的傾斜角)。(3)以弦AB為直徑的圓與準線相切。(4)過焦點垂直于對稱軸的弦長等于2p(通徑)。一、走進教材1(選修21P72練習T1改編)過點P(2,3)的拋物線的標準方程是()Ay2x或x2yBy2x或x2yCy2x或x2yDy2x或x2y解析設拋物線的標準方程為y2kx或x2my，代入點P(2,3)，解得k，m，所以y2x或x2y。故選A。答案A2(選修21P73A組T3改編)拋物線y28x上到其焦點F距離為5的點P有()A0個B1個C2個D4個解析設P(x1，y1)，則|PF|x125，y8x1，所以x13，y1±2。故滿足條件的點P有兩個。故選C。答案C二、走近高考3(2018·全國卷)設拋物線C：y24x的焦點為F，過點(2,0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則·()A5 B6C7 D8解析根據(jù)題意，過點(2,0)且斜率為的直線方程為y(x2)，與拋物線方程聯(lián)立消元整理得：y26y80，解得M(1,2)，N(4,4)，又F(1,0)，所以(0,2)，(3,4)，從而可以求得·0×32×48。故選D。解析：過點(2,0)且斜率為的直線的方程為y(x2)，由得x25x40，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1>0，y2>0，根據(jù)根與系數(shù)的關系，得x1x25，x1x24。易知F(1,0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，所以·(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188。故選D。答案D4(2017·全國卷)已知F是拋物線C：y28x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N。若M為FN的中點，則|FN|_。解析拋物線y28x的焦點F(2,0)，設M(x1，y1)，N(0，y2)，由題意得又y8x1，解得y8，y4y32，故|FN|6。答案6三、走出誤區(qū)微提醒：忽視p的幾何意義；忽視k0的討論；易忽視焦點的位置出現(xiàn)錯誤。5已知拋物線C與雙曲線x2y21有相同的焦點，且頂點在原點，則拋物線C的方程是()Ay2±2xBy2±2xCy2±4xDy2±4x解析由已知可知雙曲線的焦點為(，0)，(，0)。設拋物線方程為y2±2px(p>0)，則，所以p2，所以拋物線方程為y2±4x。故選D。答案D6設拋物線y28x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是_。解析Q(2,0)，當直線l的斜率不存在時，不滿足題意，故設直線l的方程為yk(x2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，當k0時，l與拋物線有公共點；當k0時，64(1k2)0得1k<0或0<k1。綜上，1k1。答案1,17若拋物線的焦點在直線x2y40上，則此拋物線的標準方程為_。解析令x0，得y2；令y0，得x4。所以拋物線的焦點是(4,0)或(0，2)，故所求拋物線的標準方程為y216x或x28y。答案y216x或x28y考點一拋物線的定義及應用【例1】(1)已知拋物線x24y上一點A縱坐標為4，則點A到拋物線焦點的距離為()AB4 C5D(2)已知拋物線C：y24x的焦點為F，準線為l，P為C上一點，PQ垂直l于點Q，M，N分別為PQ，PF的中點，MN與x軸相交于點R，若NRF60°，則|FR|等于()AB1C2 D4解析(1)拋物線x24y的準線方程為y1，點A到準線的距離為5，根據(jù)拋物線定義可知點A到焦點的距離為5。故選C。(2)因為M，N分別是PQ，PF的中點，所以MNFQ，且PQx軸。又NRF60°，所以FQP60°。由拋物線定義知|PQ|PF|，所以FQP為正三角形。則FMPQ，所以|QM|p2，正三角形邊長為4。因為|PQ|4，|FN|PF|2，且FRN為正三角形，所以|FR|2。故選C。答案(1)C(2)C利用拋物線的定義解決問題時，應靈活地進行拋物線上的點到焦點距離與其到準線距離間的等價轉化?！翱吹綔示€應該想到焦點，看到焦點應該想到準線”，這是解決拋物線距離有關問題的有效途徑?！咀兪接柧殹?1)(2019·重慶調研)已知點F是拋物線y24x的焦點，P是該拋物線上任意一點，M(5,3)，則|PF|PM|的最小值是()A6B5 C4D3(2)如果點P1，P2，P3，P10是拋物線y22x上的點，它們的橫坐標依次為x1，x2，x3，x10，F(xiàn)是拋物線的焦點，若x1x2x3x105，則|P1F|P2F|P3F|P10F|_。解析(1)由題意知，拋物線的準線l的方程為x1，過點P作PEl于點E，由拋物線的定義，得|PE|PF|，易知當P，E，M三點在同一條直線上時，|PF|PM|取得最小值，即(|PF|PM|)min5(1)6。故選A。(2)由拋物線的定義可知，拋物線y22px(p>0)上的點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|x0，在y22x中，p1，所以|P1F|P2F|P10F|x1x2x105p10。答案(1)A(2)10考點二拋物線的標準方程【例2】如圖，過拋物線y22px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A，B，交其準線于點C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為()Ay29xBy26xCy23xDy2x解析如圖，過點A，B分別作準線的垂線，交準線于點E，D，設|BF|a，則由已知得|BC|2a，由拋物線定義得|BD|a，故BCD30°，在直角三角形ACE中，因為|AE|AF|3，|AC|33a,2|AE|AC|，所以33a6，從而得a1，|FC|3a3，所以p|FG|FC|，因此拋物線的方程為y23x，故選C。答案C求拋物線的標準方程應注意以下幾點1當坐標系已建立時，應根據(jù)條件確定拋物線的標準方程屬于四種類型中的哪一種。2要注意把握拋物線的頂點、對稱軸、開口方向與方程之間的對應關系。3要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點到準線的距離，利用它的幾何意義來解決問題?！咀兪接柧殹?1)(2019·湖北聯(lián)考)已知拋物線y22px(p>0)，點C(4,0)，過拋物線的焦點作垂直于x軸的直線，與拋物線交于A，B兩點，若CAB的面積為24，則以直線AB為準線的拋物線的標準方程是()Ay24xBy24xCy28xDy28x(2)已知雙曲線C1：1(a>0，b>0)的離心率為2，若拋物線C2：x22py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程是()Ax216yBx28yCx2yDx2y解析(1)因為ABx軸，且AB過點F，所以AB是焦點弦，且|AB|2p，所以SCAB×2p×24，解得p4或12(舍)，所以拋物線方程為y28x，所以直線AB的方程為x2，所以以直線AB為準線的拋物線的標準方程為y28x。故選D。(2)因為雙曲線C1：1(a>0，b>0)的離心率為2，所以2。因為雙曲線的漸近線方程為bx±ay0，拋物線C2：x22py(p>0)的焦點到雙曲線的漸近線的距離為2，所以·2，解得p8，所以拋物線C2的方程是x216y。答案(1)D(2)A考點三拋物線的幾何性質【例3】(2019·洛陽高三統(tǒng)考)已知F是拋物線C1：y22px(p>0)的焦點，曲線C2是以F為圓心，為半徑的圓，直線4x3y2p0與曲線C1，C2從上到下依次相交于點A，B，C，D，則()A16 B4CD解析因為直線4x3y2p0過C1的焦點F(C2的圓心)，故|BF|CF|，所以。由拋物線的定義得|AF|xA，|DF|xD。由整理得8x217px2p20，即(8xp)(x2p)0，可得xA2p，xD，故16。故選A。解析：同上面解法得。過A，D作拋物線準線的垂線，垂足分別為A1，D1，該直線AF交準線于點E，準線交x軸于點N，則由FNAA1得，由直線AF的斜率為得tanA1AF，故。又|AA1|AF|，故，所以|AF|AA1|NF|p。同理可得，又|DD1|DF|，所以，故|DF|DD1|NF|p，故16。故選A。答案A過拋物線的焦點的直線與拋物線相交時，首先要想到利用拋物線的定義尋找相等關系，實現(xiàn)條件的轉化?！咀兪接柧殹?2019·西安八校聯(lián)考)如圖，拋物線W：y24x與圓C：(x1)2y225交于A，B兩點，點P為劣弧上不同于A，B的一個動點，與x軸平行的直線PQ交拋物線W于點Q，則PQC的周長的取值范圍是()A(10,12) B(12,14)C(10,14) D(9,11)解析由題意得，拋物線W的準線l：x1，焦點為C(1,0)，由拋物線的定義可得|QC|xQ1，圓(x1)2y225的圓心為(1,0)，半徑為5，故PQC的周長為|QC|PQ|PC|xQ1(xPxQ)56xP。聯(lián)立，得得A(4,4)，則xP(4,6)，故6xP(10,12)，故PQC的周長的取值范圍是(10,12)。故選A。解法一：平移直線PQ，當點A在直線PQ上時，屬于臨界狀態(tài)，此時結合|CA|5可知PQC的周長趨于2×510；當直線PQ與x軸重合時，屬于臨界狀態(tài)，此時結合圓心坐標(1,0)及圓的半徑為5可知PQC的周長趨于2×(15)12。綜上，PQC的周長的取值范圍是(10,12)。故選A。解法二：準線x1，焦點(1,0)，由拋物線定義知|QC|xQ1，所以PQC周長為|QC|PQ|PC|xQ1xPxQ56xP，由y24x和(x1)2y225，得交點橫坐標為4，所以xP(4,6)，所以6xP(10,12)，故選A。答案A考點四直線與拋物線的位置關系【例4】(2018·全國卷)設拋物線C：y24x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|8。(1)求l的方程；(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程。解(1)由題意得F(1,0)，l的方程為yk(x1)(k>0)。設A(x1，y1)，B(x2，y2)。由得k2x2(2k24)xk20。16k216>0，故x1x2。所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)。由題設知8，解得k1(舍去)，k1。因此l的方程為yx1。(2)由(1)得AB的中點坐標為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5。設所求圓的圓心坐標為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144。(1)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p(或|AB|y1y2p)，若不過焦點，則必須使用一般的弦長公式；(2)求圓的方程主要是確定圓心坐標與半徑；(3)涉及直線與圓相交所得弦長問題通常是利用公式L2來求解，其中R為圓的半徑，d為圓心到直線的距離?！咀兪接柧殹?2018·全國卷)已知點M(1,1)和拋物線C：y24x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點。若AMB90°，則k_。解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則所以yy4(x1x2)，所以k，取AB中點M(x0，y0)，分別過點A，B作準線x1的垂線，垂足分別為A，B。因為AMB90°，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)。因為M為AB的中點，所以MM平行于x軸，因為M(1,1)，所以y01，則y1y22，即k2。解析：由題意知拋物線的焦點為(1,0)，則過C的焦點且斜率為k的直線方程為yk(x1)(k0)，由消去y得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x21。由消去x得y24，即y2y40，則y1y2，y1y24，由AMB90°，得·(x11，y11)·(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，將x1x2，x1x21與y1y2，y1y24代入，得k2。答案21(配合例1使用)設拋物線y22x的焦點為F，過F的直線交該拋物線于A，B兩點，則|AF|4|BF|的最小值為_。解析易知拋物線y22x的焦點為F 。當ABx軸時，|AF|4|BF|145；當直線AB斜率存在時，可設直線AB的方程為yk ，代入拋物線方程得4k2x2(4k28)xk20，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21，x1x2，所以|AF|4|BF|x14x14x22，當且僅當x14x21，即x11，x2時，|AF|4|BF|取得最小值。答案2(配合例2使用)已知拋物線E：y22px(p>0)的焦點為F，過F且斜率為1的直線交E于A，B兩點，線段AB的中點為M，其垂直平分線交x軸于點C，MNy軸于點N。若四邊形CMNF的面積等于7，則拋物線E的方程為()Ay2xBy22xCy24xDy28x解析由題意，得F，直線AB的方程為yx，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，聯(lián)立yx和y22px得，y22pyp20，則y1y22p，所以y0p。故N(0，p)，又因為點M在直線AB上，所以x0，即M，因為MCAB，所以kAB·kMC1，故kMC1，從而直線MC的方程為yxp，令y0，得xp，故C，四邊形CMNF是梯形，則S四邊形CMNF(|MN|CF|)·|NO|·pp27，所以p24，又p>0，所以p2，故拋物線E的方程為y24x。故選C。答案C3(配合例3使用)已知直線yk(x2)(k>0)與拋物線C：y28x相交于A，B兩點，F(xiàn)為C的焦點。若|FA|2|FB|，則k()ABCD解析設拋物線C：y28x的準線為l，易知l：x2，直線yk(x2)恒過定點P(2,0)，如圖，過A，B分別作AMl于點M，BNl于點N，由|FA|2|FB|，知|AM|2|BN|，所以點B為線段AP的中點，連接OB，則|OB|AF|，所以|OB|BF|，所以點B的橫坐標為1，因為k>0，所以點B的坐標為(1,2)，所以k。故選D。答案D10