（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第7講 函數(shù)的奇偶性、周期性與對(duì)稱性導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

第7講函數(shù)的奇偶性、周期性與對(duì)稱性【課程要求】1理解函數(shù)奇偶性的概念，了解函數(shù)周期性的定義，判斷函數(shù)的奇偶性2利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及參數(shù)值3掌握函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p16【基礎(chǔ)檢測(cè)】1判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)函數(shù)yx2，x(0，)是偶函數(shù)()(2)偶函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)()(3)如果函數(shù)f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數(shù)，則F(x)f(x)g(x)是偶函數(shù)()(4)若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù)，則函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa對(duì)稱()(5)若T是函數(shù)的一個(gè)周期，則nT(nZ，n0)也是函數(shù)的周期()答案 (1)×(2)×(3)(4)(5)2必修1p39A組T6已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)x(1x)，則f(1)_解析f(1)1×22，又f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)2.答案23必修1p45B組T4設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x1，1)時(shí)，f(x)則f_解析ff4×21.答案14必修1p39A組T6設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，5，若當(dāng)x0，5時(shí)，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)0的解集為_解析由圖象可知，當(dāng)0x2時(shí)，f(x)0；當(dāng)2x5時(shí)，f(x)0，又f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)2x0時(shí)，f(x)0，當(dāng)5x<2時(shí)，f(x)>0.綜上，f(x)0的解集為(2，0)(2，5答案 (2，0)(2，55已知f(x)ax2bx是定義在a1，2a上的偶函數(shù)，那么ab的值是()AB.CD.解析依題意得f(x)f(x)，b0，又a12a，a，ab，故選B.答案B6已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x2)對(duì)xR恒成立，當(dāng)x0，2時(shí)，f(x)2x，則f()A.B.C.D1解析f(x2)，f(x4)f(x)對(duì)xR恒成立，f(x)的周期為4，又因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，fff，當(dāng)x0，2時(shí)，f(x)2x，f.答案B【知識(shí)要點(diǎn)】1函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有_f(x)f(x)_，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于_y軸_對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有_f(x)f(x)_，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于_原點(diǎn)_對(duì)稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有_f(xT)f(x)_，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)_最小的正數(shù)_，那么這個(gè)_最小正數(shù)_就叫做f(x)的最小正周期3函數(shù)奇偶性常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)f(|x|)(2)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性(3)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇奇，偶±偶偶，奇×奇偶，偶×偶偶，奇×偶奇4函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(xa)f(x)，則T2a(a>0)(2)若f(xa)，則T2a(a>0)(3)若f(xa)，則T2a(a>0)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p17函數(shù)奇偶性的判斷例1(1)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()AylnxByexCyxsinxDyexex解析對(duì)于選項(xiàng)A，定義域?yàn)?0，)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不是奇函數(shù)所以選項(xiàng)A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B，f(x)exf(x)，故選項(xiàng)B錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)C，f(x)xsin(x)x(sinx)xsinxf(x)，所以yxsinx為偶函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)D，f(x)exex(exex)f(x)，所以函數(shù)yexex為奇函數(shù)，故選項(xiàng)D正確答案D(2)(多選)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()Af(x)g(x)是偶函數(shù)B|f(x)|g(x)是偶函數(shù)Cf(x)|g(x)|是奇函數(shù)D|f(x)g(x)|是奇函數(shù)解析因?yàn)閒(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函數(shù)；因?yàn)閨f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函數(shù)；因?yàn)閒(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函數(shù)；因?yàn)閨f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函數(shù)答案BC小結(jié)1.判斷函數(shù)的奇偶性包括兩個(gè)必備條件：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；(2)判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)f(x)0(奇函數(shù))或f(x)f(x)0(偶函數(shù))是否成立2常用結(jié)論：(1)奇±奇為奇；偶±偶為偶；奇±偶為非奇非偶；奇×(÷)奇為偶；奇×(÷)偶為奇；偶×(÷)偶為偶(2)若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式記偶函數(shù)g(x)f(x)f(x)，奇函數(shù)h(x)f(x)f(x)，則f(x)g(x)h(x)(3)復(fù)合函數(shù)yfg(x)的奇偶性原理：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇(4)若奇函數(shù)yf(x)在x0處有意義，則有f(0)0；偶函數(shù)yf(x)必滿足f(x)f(|x|)1已知函數(shù)f(x)x2，則下列判斷正確的是()Af(x)是偶函數(shù)不是奇函數(shù)Bf(x)是奇函數(shù)不是偶函數(shù)Cf(x)既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)Df(x)既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)解析該函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(x)(x)2x2x2f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，f(1)1，f(1)1，所以函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)答案B2函數(shù)f(x)loga(2x)，g(x)loga(2x)(a>0且a1)，則函數(shù)F(x)f(x)g(x)，G(x)f(x)g(x)的奇偶性是()AF(x)是奇函數(shù)，G(x)是奇函數(shù)BF(x)是偶函數(shù)，G(x)是奇函數(shù)CF(x)是偶函數(shù)，G(x)是偶函數(shù)DF(x)是奇函數(shù)，G(x)是偶函數(shù)解析F(x)，G(x)定義域均為(2，2)，由已知F(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)F(x)，G(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)G(x)，F(xiàn)(x)是偶函數(shù)，G(x)是奇函數(shù)答案B函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用例2(1)設(shè)函數(shù)f(x)ln，則不等式f(x)>f(2x1)的解集為()A.B.C.D.解析f(x)的定義域?yàn)閤|x0，f(x)f(x)，f(x)為偶函數(shù)；當(dāng)x>0時(shí)，f(x)lnx單調(diào)遞增，所以由f(x)>f(2x1)，可得解得<x<1且x.答案D(2)若關(guān)于x的函數(shù)f(x)(t0)的最大值為a，最小值為b，且ab2，則t_解析f(x)t，設(shè)g(x)，則g(x)為奇函數(shù)，g(x)maxat，g(x)minbt.g(x)maxg(x)min0，ab2t0，即22t0，解得t1.答案1小結(jié)已知函數(shù)奇偶性可以解決以下問題：(1)求函數(shù)值，將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解；(2)畫函數(shù)圖象，利用奇偶性可畫出另一對(duì)稱區(qū)間上的圖象(3)求函數(shù)解析式：將所求解析式自變量的范圍轉(zhuǎn)化為已知解析式中自變量的范圍；將轉(zhuǎn)化后的自變量代入已知解析式；利用函數(shù)的奇偶性求出解析式(4)求參數(shù)值：在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，根據(jù)奇函數(shù)滿足f(x)f(x)或偶函數(shù)滿足f(x)f(x)列等式，根據(jù)等式兩側(cè)對(duì)應(yīng)相等確定參數(shù)的值特別要注意的是：若能夠確定奇函數(shù)的定義域中包含0，可以根據(jù)f(0)0列式求解，若不能確定則不可用此法注意利用“奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上有最值，則f(x)maxf(x)min0”的性質(zhì)解決有關(guān)最值問題3函數(shù)yf(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)2x，則當(dāng)x>0時(shí)，f(x)()A2xB2xC2xD2x解析當(dāng)x>0時(shí)，x<0，x<0時(shí)，f(x)2x，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)2x.f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)f(x)2x.答案C4若函數(shù)f(x)xln(x)為偶函數(shù)，則a_解析f(x)xln(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)，即xln(x)xln(x)，從而ln()2x20，即lna0，故a1.答案1函數(shù)的周期性與對(duì)稱性及應(yīng)用例3(1)設(shè)函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)f(x)sinx當(dāng)0x時(shí)，f(x)0，則f()A.B.C0D解析f(x2)f(x)sin(x)f(x)sinxsinxf(x)，f(x)的周期T2，又當(dāng)0x時(shí)，f(x)0，f0，ffsin0，f，fff.答案A(2)已知函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)(x1)2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，若存在aR，使x1，m(m>1)時(shí)，f(xa)4x成立，則m的最大值為()A3B6C9D12解析由于函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)(x1)2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，因此f(x)(x1)2，由f(xa)4x得(xa1)24x，把x1代入得4a0.當(dāng)a0時(shí)，(x1)24x，解得x1，當(dāng)a4時(shí)，(x3)24x，解之得1x9，因此m的最大值為9.答案C(3)對(duì)函數(shù)f(x)，在使f(x)M成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最大值叫做函數(shù)f(x)的下確界現(xiàn)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(1x)f(1x)，當(dāng)x0，1時(shí)，f(x)3x22，則f(x)的下確界為()A2B1C0D1解析由題意知，f(x)的周期為2，畫出函數(shù)f(x)在R上的部分圖象如圖所示，易得下確界為1.故選D.答案D小結(jié)(1)判斷函數(shù)的周期性只需證明f(xT)f(x)(T0)即可，且周期為T.(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題(3)在解決具體問題時(shí)，要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期，則kT(kZ且k0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用(4)函數(shù)周期性的三個(gè)常用結(jié)論(a>0)：若f(xa)f(x)，則T2a，若f(xa)，則T2a，若f(xa)，則T2a.(5)函數(shù)對(duì)稱性代數(shù)表示：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)f(x)f(x)，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)f(x)f(x)(定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)；函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱f(x)f(x2a)2b，函數(shù)f(x)關(guān)于直線xm對(duì)稱f(x)f(x2m)5奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x1)為偶函數(shù)，且f(1)2，則f(4)f(5)的值為()A2B1C1D2解析f(x1)為偶函數(shù)，f(x1)f(x1)，則f(x)f(x2)，又yf(x)為奇函數(shù)，則f(x)f(x)f(x2)，且f(0)0.從而f(x4)f(x2)f(x)，yf(x)的周期為4.f(4)f(5)f(0)f(1)022.答案A6設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間1，1上，f(x)其中a，bR.若ff，則a3b的值為_解析因?yàn)閒(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，所以ff且f(1)f(1)，故ff，從而a1，即3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，即b2a.由得a2，b4，從而a3b10.答案10函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4(1)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且在0，2)上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是()A0<f(1)<f(3) Bf(3)<0<f(1)Cf(1)<0<f(3) Df(3)<f(1)<0解析由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，得f(0)0.由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)f(x)，故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(3)f(1)又f(x)在0，2)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在(2，2)上單調(diào)遞減，所以f(1)>f(0)>f(1)，即f(1)<0<f(3)故選C.答案C(2)已知函數(shù)f(x1)為偶函數(shù)，且f(x)在(1，)上單調(diào)遞增，f(1)0，則f(x1)>0的解集為()A(，0)(4，) B(，1)(3，)C(，1)(4，) D(，0)(1，)解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x1)為偶函數(shù)得f(x1)f(x1)，所以f(x)關(guān)于x1對(duì)稱，因?yàn)閒(x)在(1，)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，因?yàn)閒(1)0，所以f(3)0，因此由f(x1)>0得x1>3或x1<1，解得x>4或x<0.答案A(3)定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x2)0，且f(4x)f(x)現(xiàn)有以下三個(gè)命題：8是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期；f(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱；f(x)是偶函數(shù)其中正確命題的序號(hào)是_解析由f(x)f(x2)0，得f(x2)f(x)，則f(x4)f(x2)f(x)，即4是f(x)的一個(gè)周期，8也是f(x)的一個(gè)周期；由f(4x)f(x)，得f(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱；由f(4x)f(x)與f(x4)f(x)，得f(x)f(x)，即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)答案小結(jié)(1)關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題(2)掌握以下兩個(gè)結(jié)論，會(huì)給解題帶來方便：f(x)為偶函數(shù)f(x)f(|x|)若奇函數(shù)f(x)在x0處有意義，則f(0)0.(3)函數(shù)的奇偶性、周期性及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時(shí)，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題7已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)<1，f(5)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A1<a<4B2<a<1C1<a<2D1<a<0解析因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且以3為周期，所以f(5)f(2)f(23)f(1)f(1)<1，即<1，解得1<a<4.答案A8函數(shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f(x2)f(x)2f(1)，若yf(x1)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱，且f(0)2，則ff()A0B2C3D4解析因?yàn)閥f(x1)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱，所以yf(x)的圖象關(guān)于x0對(duì)稱，即f(x)為偶函數(shù)，因?yàn)閒(x2)f(x)2f(1)，所以f(12)f(1)2f(1)，所以f(1)0，f(x2)f(x)，因此ff2，f(2021)f(1)0，ff2.答案B對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p191(2018·全國卷理)已知f(x)是定義域?yàn)?，)的奇函數(shù)，滿足f(1x)f(1x)若f(1)2，則f(1)f(2)f(3)f(50)()A50B0C2D50解析因?yàn)閒(x)是定義域?yàn)?，)的奇函數(shù)，且f(1x)f(1x)，所以f(1x)f(x1)，f(3x)f(x1)f(x1)，T4，因此f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)，因?yàn)閒(3)f(1)，f(4)f(2)，所以f(1)f(2)f(3)f(4)0，f(2)f(2)f(2)，f(2)0，從而f(1)f(2)f(3)f(50)f(1)2.答案C2(2019·全國卷理)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)eax.若f(ln2)8，則a_解析因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)eax.又因?yàn)閘n2(0，1)，f(ln2)8，所以ealn28，兩邊取以e為底的對(duì)數(shù)得aln23ln2，所以a3，即a3.答案312