2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.2.1 函數(shù)的表示法學案 新人教A版必修第一冊

第1課時函數(shù)的表示法1了解函數(shù)的三種表示法及各自的優(yōu)缺點2掌握求函數(shù)解析式的常見方法3嘗試作圖并從圖象上獲取有用的信息溫馨提示：列表法、圖象法和解析法是從三個不同的角度刻畫自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，同一個函數(shù)可以用不同的方法表示1如圖是我國人口出生率變化曲線：下表是大氣中氰化物濃度與污染源距離的關(guān)系表：污染源距離50100200300500氰化物濃度0.6780.3980.1210.050.01(1)實例中的圖能表示兩個變量之間存在函數(shù)關(guān)系嗎？如果能，自變量是什么？(2)實例中的表格能表示兩個變量之間存在函數(shù)關(guān)系嗎？如果能，定義域是什么？值域是什么？(3)實例中的函數(shù)關(guān)系能否用解析式表示？答案(1)能表示出生率是年份的函數(shù)，其中年份為自變量(2)能表示濃度是距離的函數(shù)，其中，定義域為50,100,200,300,500，值域為0.678,0.398,0.121,0.05,0.01(3)不能并不是所有的函數(shù)都有解析式2判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)任何一個函數(shù)都可以用列表法表示()(2)任何一個函數(shù)都可以用解析法表示()(3)函數(shù)f(x)2x1可以用圖象法表示()(4)函數(shù)的圖象一定是定義區(qū)間上一條連續(xù)不斷的曲線()答案(1)×(2)×(3)(4)×題型一函數(shù)的表示法【典例1】某商場新進了10臺彩電，每臺售價3000元，試求售出臺數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來思路導(dǎo)引把自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系分別用表格、圖象和數(shù)學表達式加以刻畫解列表法x(臺)12345y(元)3000600090001200015000x(臺)678910y(元)1800021000240002700030000圖象法：如圖所示解析法：y3000x，x1,2,3，10理解函數(shù)的表示法的3個關(guān)注點(1)列表法、圖象法、解析法均是函數(shù)的表示法，無論用哪種方式表示函數(shù)，都必須滿足函數(shù)的概念(2)判斷所給圖象、表格、解析式是否表示函數(shù)的關(guān)鍵在于是否滿足函數(shù)的定義(3)函數(shù)的三種表示法互相兼容或補充，許多函數(shù)是可以用三種方法表示的，但在實際操作中，仍以解析法為主1已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出則fg(1)的值為_；當gf(x)2時，x_.解析由于函數(shù)關(guān)系是用表格形式給出的，知g(1)3，fg(1)f(3)1.由于g(2)2，f(x)2，x1.答案11題型二函數(shù)的圖象【典例2】作出下列函數(shù)的圖象并求出其值域(1)y，x2，)；(2)yx22x，x2,2思路導(dǎo)引通過“列表描點連線”作出函數(shù)圖象，借助圖象求出函數(shù)值域解(1)列表：x2345y1畫圖象，當x2，)時，圖象是反比例函數(shù)y的一部分(圖1)，觀察圖象可知其值域為(0,1(2)列表：x21012y01038畫圖象，圖象是拋物線yx22x在2x2之間的部分(圖2)由圖可得函數(shù)的值域是1,8描點法作函數(shù)圖象的3個關(guān)注點(1)畫函數(shù)圖象時首先關(guān)注函數(shù)的定義域，即在定義域內(nèi)作圖(2)圖象是實線或?qū)嶞c，定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象(3)要標出某些關(guān)鍵點，例如圖象的頂點、端點、與坐標軸的交點等要分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心點針對訓(xùn)練2作出下列各函數(shù)的圖象：(1)y1x，xZ.(2)y2x24x3,0x<3.解(1)這個函數(shù)的圖象由一些點組成，這些點都在直線y1x上，又xZ，從而yZ，因此y1x(xZ)的圖象是直線y1x上一些孤立的點，如圖1所示圖1圖2(2)因為0x<3，所以這個函數(shù)的圖象是拋物線y2x24x3介于0x<3之間的一段，如圖2所示.題型三函數(shù)解析式的求法【典例3】(1)已知f(x)是二次函數(shù)，且滿足f(0)1，f(x1)f(x)2x，求f(x)的解析式；(2)已知函數(shù)f(1)x21，求f(x)的解析式；(3)已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)f3x，求f(x)的解析式思路導(dǎo)引求函數(shù)解析式，就是尋找函數(shù)三要素中的對應(yīng)關(guān)系，即在已知自變量和函數(shù)值的條件下求對應(yīng)關(guān)系的表達式解(1)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，f(0)1，c1.f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)c(ax2bxc)2axab.又f(x1)f(x)2x，f(x)x2x1.(2)解法一：f(1)x21(1)2，f(x)x2.又11，f(x)x2(x1)解法二：令t1，則x(t1)2.由于x0，所以t1.代入原式有f(t)(t1)22(t1)1t2，所以f(x)x2(x1)(3)2f(x)f3x，將x用替換，得2ff(x)，聯(lián)立得解得f(x)2x(x0)，即f(x)的解析式是f(x)2x(x0)變式(1)若將本例(2)中條件“f(1)x21”變?yōu)椤癴1”，則f(x)的解析式是什么？(2)若將本例(3)中條件“2f(x)f3x”變?yōu)椤癴(x)2f(x)9x2”，則f(x)的解析式是什么？解(1)f22，所以f(x)x22x.因為0，所以11，所以f(x)x22x(x1)(2)由條件知，f(x)2f(x)9x2，則解得f(x)3x2.求函數(shù)解析式的3種常用方法(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法求解，即由函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件列方程(組)，通過解方程(組)求出待定系數(shù)，進而求出函數(shù)解析式如典例3(1)(2)換元法(有時可用“配湊法”)：已知函數(shù)fg(x)的解析式求f(x)的解析式，可用換元法(或“配湊法”)，即令g(x)t，反解出x，然后代入fg(x)中求出f(t)，從而求出f(x)如典例3(2)(3)解方程組法：已知關(guān)于f(x)與f或f(x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x)如典例3(3)針對訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，若ff(x)4x8，求f(x)的解析式解(待定系數(shù)法)設(shè)f(x)axb(a0)，則ff(x)f(axb)a(axb)ba2xabb.又ff(x)4x8，a2xabb4x8，即解得或f(x)2x或f(x)2x8.4已知f(x1)x23x2，求f(x)解解法一(配湊法)：f(x1)x23x2(x1)25x1(x1)25(x1)6，f(x)x25x6.解法二(換元法)：令tx1，則xt1，f(t)(t1)23(t1)2t25t6，即f(x)x25x6.課堂歸納小結(jié)1函數(shù)三種表示法的優(yōu)缺點2.描點法畫函數(shù)圖象的步驟(1)求函數(shù)定義域；(2)化簡解析式；(3)列表；(4)描點；(5)連線3求函數(shù)解析式常用的方法(1)特定系數(shù)法；(2)換元法；(3)配湊法；(4)消元法.1y與x成反比，且當x2時，y1，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為()AyByCyDy解析設(shè)y，當x2時，y1，所以1，得k2.故y.答案C2由下表給出函數(shù)yf(x)，則ff(1)等于()x12345y45321A.1 B2 C4 D5解析由題意得f(1)4，所以ff(1)f(4)2.答案B3小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛與以上事件吻合得最好的圖象是()解析距學校的距離應(yīng)逐漸減小，由于小明先是勻速運動，故前段是直線段，途中停留時距離不變，后段加速，直線段比前段下降的快，故應(yīng)選C.答案C4若3f(x1)2f(1x)2x，則f(x)的解析式為_解析(換元法)令tx1，則xt1，tR，原式變?yōu)?f(t)2f(t)2(t1)，以t代替t，式變?yōu)?f(t)2f(t)2(1t)，由消去f(t)得f(t)2t，f(x)2x.答案f(x)2x5已知f(x)xb，f(ax1)3x2，求a，b的值解由f(x)xb，得f(ax1)ax1b.ax1b3x2，a3，b12，即a3，b1.課后作業(yè)(十七)復(fù)習鞏固一、選擇題1一個面積為100 cm2的等腰梯形，上底長為x cm，下底長為上底長的3倍，則把它的高y表示成x的函數(shù)為()Ay50x(x>0) By100x(x>0)Cy(x>0) Dy(x>0)解析由·y100，得2xy100，y(x>0)答案C2已知函數(shù)yf(x)的對應(yīng)關(guān)系如下表，函數(shù)yg(x)的圖象是如圖的曲線ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，則fg(2)的值為()A3 B2 C1 D0解析由函數(shù)g(x)的圖象知，g(2)1，則fg(2)f(1)2.答案B3如果f，則當x0,1時，f(x)等于()A.B.C.D.1解析令t，則x，代入f，則有f(t)，故選B.答案B4若f(x)是一次函數(shù)，2f(2)3f(1)5,2f(0)f(1)1，則f(x)()A3x2 B3x2C2x3 D2x3解析設(shè)f(x)axb，由題設(shè)有解得所以選B.答案B5若f(12x)(x0)，那么f等于()A1 B3 C15 D30解析解法一：令12xt，則x(t1)，f(t)1(t1)，即f(x)1(x1)，f16115.解法二：令12x，得x，f15.答案C二、填空題6已知函數(shù)f(x)x，且此函數(shù)圖象過點(5,4)，則實數(shù)m的值為_解析將點(5,4)代入f(x)x，得m5.答案57已知函數(shù)f(2x1)3x2，且f(a)4，則a_.解析因為f(2x1)(2x1)，所以f(a)a.又f(a)4，所以a4，a.答案8若2f(x)f2x(x0)，則f(2)_.解析令x2得2f(2)f，令x得2ff(2)，消去f得f(2).答案三、解答題9作出下列函數(shù)的圖象，并指出其值域(1)yx2x(1x1)；(2)y(2x1，且x0)解(1)用描點法可以作出函數(shù)的圖象如圖(1)由圖可知yx2x(1x1)的值域為.(2)用描點法可以作出函數(shù)的圖象如圖(2)，由圖可知y(2x1，且x0)的值域為(，12，)10求下列函數(shù)的解析式：(1)已知函數(shù)f(x1)x24x，求函數(shù)f(x)的解析式；(2)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(x1)f(x1)2x24x，求f(x)的解析式解(1)解法一：已知f(x1)x24x，令x1t，則xt1，代入上式得，f(t)(t1)24(t1)t22t3，即f(x)x22x3(xR)解法二：f(x1)(x1)22(x1)3，f(x)x22x3(xR)(2)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，則依題意代入，a(x1)2b(x1)ca(x1)2b(x1)c2x24x，即2ax22bx2a2c2x24x，利用等式兩邊對應(yīng)項的系數(shù)相等，可得2a2,2b4,2a2c0，解得，a1，b2，c1，f(x)的解析式為f(x)x22x1.綜合運用11一水池有2個進水口，1個出水口，進出水速度如圖甲、乙所示某天0點到6點，該水池的蓄水量如圖丙所示(至少打開一個水口)給出以下3個論斷：0點到3點只進水不出水；3點到4點不進水只出水；4點到6點不進水不出水則正確論斷的個數(shù)是()A0 B1 C2 D3解析由題意可知在0點到3點這段時間，每小時進水量為2，即2個進水口同時進水且不出水，所以正確；從丙圖可知3點到4點水量減少了1，所以應(yīng)該是有一個進水口進水，同時出水口也出水，故錯；當兩個進水口同時進水，出水口也同時出水時，水量保持不變，也可由題干中的“至少打開一個水口”知錯答案B12從甲城市到乙城市t min的電話費由函數(shù)g(t)1.06×(0.75t1)給出，其中t>0，t為t的整數(shù)部分，則從甲城市到乙城市5.5 min的電話費為()A5.04元 B5.56元C5.84元 D5.38元解析g(5.5)1.06(0.75×51)5.0355.04.答案A13設(shè)f(x)2xa，g(x)(x23)，且gf(x)x2x1，則a的值為()A1 B1C1或1 D1或2解析因為g(x)(x23)，所以gf(x)(2xa)23(4x24axa23)x2x1，求得a1.故選B.答案B14已知x0，函數(shù)f(x)滿足fx2，則f(x)_.解析fx222，所以f(x)x22.答案x2215已知函數(shù)f(x)(a，b為常數(shù)，且a0)滿足f(2)1，且f(x)x有唯一解，求函數(shù)yf(x)的解析式和ff(3)的值解因為f(2)1，所以1，即2ab2，又因為f(x)x有唯一解，即x有唯一解，所以ax2(b1)x0有兩個相等的實數(shù)根，所以(b1)20，即b1.代入得a.所以f(x).所以ff(3)ff(6).13