（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第26講 平面向量的概念及線性運算導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

第五章 平面向量、復(fù)數(shù)知識體系p731平面向量2復(fù)數(shù)第26講平面向量的概念及線性運算【課程要求】1理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義；理解向量的幾何表示2掌握向量的加法、減法的運算，并理解其幾何意義3掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義4了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義對應(yīng)學(xué)生用書p73【基礎(chǔ)檢測】1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量()(2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無關(guān)()(3)若ab，bc，則ac.()(4)若向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上()(5)當(dāng)兩個非零向量a，b共線時，一定有ba，反之成立()(6)若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反()答案 (1)×(2)(3)×(4)×(5)(6)×2必修4p86例4已知ABCD的對角線AC和BD相交于點O，且a，b，則_，_(用a，b表示)解析如圖，ba，ab.答案ba；ab3必修4p108B組T5在平行四邊形ABCD中，若|，則四邊形ABCD的形狀為_解析如圖，因為，所以|.由對角線長相等的平行四邊形是矩形可知，四邊形ABCD是矩形答案矩形4(多選)已知m，nR，a，b是向量，則下列命題錯誤的是()Am(ab)mambB(mn)amanaC若mamb，則abD若mana，則mn解析由數(shù)乘向量的運算律知，數(shù)乘向量對數(shù)和向量都有分配律，所以A、B正確；當(dāng)m0時，a，b不一定相等，當(dāng)a0，m，n未必相等，所以C、D錯誤答案CD5設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，且ae1e2與be2e1共線，則實數(shù)()A1B3CD.解析ae1e2與be2e1共線，存在實數(shù)t，使得bta，即e2e1t(e1e2)，即e2e1te1te2，t1，t，即.答案D6設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC.若12(1，2為實數(shù))，則12的值為_解析()，1，2，即12.答案【知識要點】1向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為±平行向量方向相同或相反的非零向量共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量0與任一向量平行或共線相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律abba.(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc).減法求a與b的相反向量b的和的運算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算(1)|a|a|；(2)當(dāng)>0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)<0時，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab.3.共線向量定理向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使得ba.【知識拓展】1一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即An1An，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量2若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則()3.(，為實數(shù))，若點A，B，C共線，則1.對應(yīng)學(xué)生用書p74平面向量的概念例1給出下列結(jié)論：兩個單位向量是相等向量；若ab，bc，則ac；若一個向量的模為0，則該向量的方向不確定；若，則ab；若a與b共線，b與c共線，則a與c共線其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A1個B2個C3個D4個解析兩個單位向量的模相等，但方向不一定相同，錯誤；若ab，bc，則ac，向量相等具有傳遞性，正確；一個向量的模為0，則該向量一定是零向量，方向不確定，正確；若，則ab，還要方向相同才行，錯誤；a與b共線，b與c共線，則a與c共線，當(dāng)b為零向量時不成立，錯誤答案B小結(jié)向量有關(guān)概念的5個關(guān)鍵點(1)向量：方向、長度(2)非零共線向量：方向相同或相反(3)單位向量：長度是一個單位長度(4)零向量：方向沒有限制，長度是0.(5)相等向量：方向相同且長度相等1設(shè)a0為單位向量若a為平面內(nèi)的某個向量，則a|a|·a0；若a與a0平行，則a|a|a0；若a與a0平行且|a|1，則aa0.上述命題中，假命題的個數(shù)是()A0B1C2D3解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a|a|a0，故也是假命題綜上所述，假命題的個數(shù)是3.答案D平面向量的線性運算例2(1)如圖，ABC中，記a，b，則_(用a和b表示)解析ba(ab)(ba).答案(ba)(2)平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，A，B，C三點滿足，則()A1B2C3D.解析，3.答案C(3)如圖所示，下列結(jié)論正確的是()ab; ab；ab; ab.ABCD解析由ab，知ab，正確；由ab，從而錯誤；b，故ab，正確；2bab，錯誤綜上，正確的為.答案C小結(jié)向量的運算有兩種方法，一是幾何運算往往結(jié)合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運算法則是：平行四邊形法則(平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差)；三角形法則(兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和)；二是坐標(biāo)運算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答向量的加法、減法及數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運算，有了向量的線性運算，平面中的點、線段(直線)就可以利用向量表示，為用向量法解決幾何問題(或用幾何法解決向量問題)奠定了基礎(chǔ)對于用已知向量表示未知向量的問題，找準(zhǔn)待求向量所在三角形，然后利用條件進(jìn)行等量代換是關(guān)鍵，這一過程需要從“數(shù)”與“形”兩方面來把握2如圖，在ABC中，點D在BC邊上，且CD2DB，點E在AD邊上，且AD3AE，則用向量，表示為()A.B.C.D.解析由平面向量的三角形法則及向量共線的性質(zhì)可得().答案B共線向量定理的應(yīng)用例3已知非零向量a和b不共線(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A，B，D三點共線；(2)若kab和akb共線，求實數(shù)k的值解析 (1)因為ab，2a8b，3(ab)，所以2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5，所以與共線又，有公共點B，所以A，B，D三點共線(2)因為kab與akb共線，所以存在實數(shù)，使得kab(akb)，即kabakb，所以(k)a(k1)b.因為a，b是兩個不共線的非零向量，所以kk10，所以k210，所以k±1.經(jīng)檢驗，k±1均符合題意小結(jié)利用平面向量基本定理進(jìn)行點共線和向量共線的相關(guān)運算時，如果已知點共線，則很容易得到向量共線；如果已知向量共線來證明點共線，必須找到這兩個向量的公共點例4已知A，B，C是直線l上不同的三個點，點O不在直線l上，則使等式x2x0成立的實數(shù)x的取值集合為()A0BC1D0，1解析，x2x0，即x2(x1)，A，B，C三點共線，x2(x1)1，即x2x0，解得x0或x1.當(dāng)x0時，x2x0，此時B，C兩點重合，不合題意，舍去故x1.故選C.答案C小結(jié)共線向量定理的3個應(yīng)用(1)證明向量共線：對于向量a，b，若存在實數(shù)，使ab，則a與b共線(2)證明三點共線：若存在實數(shù)，使，則A，B，C三點共線(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值3已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，則一定共線的三點是()AA，B，DBA，B，CCB，C，DDA，C，D解析由a2b，5a6b，7a2b，可得2a4b2，即，共線，所以A，B，D三點共線，故選A.答案A對應(yīng)學(xué)生用書p761(2018·全國卷理)在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則()A.B.C.D.解析法一：如圖所示，×()().法二：×().答案A2(2015·全國卷理)設(shè)向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實數(shù)_解析因為向量ab與a2b平行，所以abk(a2b)，則所以.答案12