（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第31講 數(shù)列的概念與通項公式導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

第6章數(shù)列知識體系p85第31講數(shù)列的概念與通項公式【課程要求】1了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)2了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)3會利用已知數(shù)列的通項公式或遞推關(guān)系式求數(shù)列的某項4會用數(shù)列的遞推關(guān)系求其通項公式對應(yīng)學(xué)生用書p85【基礎(chǔ)檢測】1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列()(2)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達(dá)()(3)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個()(4)1，1，1，1，不能構(gòu)成一個數(shù)列()(5)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列()(6)如果數(shù)列an的前n項和為Sn，則對nN*，都有an1Sn1Sn.()答案 (1)×(2)×(3)(4)×(5)×(6)2必修5p33A組T4在數(shù)列an中，a11，an1(n2)，則a5等于()A.B.C.D.解析a212，a31，a413，a51.答案D3必修5p33A組T5根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，寫出點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式an_答案5n44數(shù)列an中，ann211n(nN*)，則此數(shù)列最大項的值是_解析ann211n，nN*，當(dāng)n5或n6時，an取最大值30.答案305已知ann2n，且對于任意的nN*，數(shù)列an是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是_解析因為an是遞增數(shù)列，所以對任意的nN*，都有an1>an，即(n1)2(n1)>n2n，整理，得2n1>0，即<(2n1)(*)因為n1，所以2n13，要使不等式(*)恒成立，只需<3.答案 (，3)6已知數(shù)列an的前n項和Snn21，則an_解析當(dāng)n1時，a1S12，當(dāng)n2時，anSnSn1n21(n1)212n1，故an答案【知識要點】1數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項數(shù)列中的每一個數(shù)數(shù)列的通項數(shù)列an的第n項an通項公式如果數(shù)列an的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式前n項和數(shù)列an中，Sna1a2an叫做數(shù)列的前n項和2.數(shù)列的表示方法列表法列表格表示n與an的對應(yīng)關(guān)系圖象法把點(n，an)畫在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項公式把數(shù)列的通項使用公式表示的方法遞推公式使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等表示數(shù)列的方法3.an與Sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項和為Sn，則an4數(shù)列的分類單調(diào)性遞增數(shù)列nN*，an1>an遞減數(shù)列nN*，an1<an常數(shù)列nN*，an1an擺動數(shù)列從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列周期性周期數(shù)列nN*，存在正整數(shù)常數(shù)k，ankan對應(yīng)學(xué)生用書p86由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式例1根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出各數(shù)列的一個通項公式：(1)4，6，8，10，；(2)，；(3)a，b，a，b，a，b，(其中a，b為實數(shù))；(4)9，99，999，9999，.解析 (1)該數(shù)列中各數(shù)都是偶數(shù)，且最小為4，所以它的一個通項公式為an2(n1)，nN*.(2)這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式為an(1)n×，nN*.(3)這是一個擺動數(shù)列，奇數(shù)項是a，偶數(shù)項是b，所以此數(shù)列的一個通項公式為an(4)這個數(shù)列的前4項可以寫成101，1001，10001，100001，所以它的一個通項公式為an10n1，nN*.小結(jié)由數(shù)列的前幾項求數(shù)列通項公式的策略(1)根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征，并對此進(jìn)行歸納、聯(lián)想，具體如下：分式中分子、分母的特征；相鄰項的變化特征；拆項后的特征；各項符號特征等(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是利用不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗，對于正負(fù)符號變化，可用(1)n或(1)n1來調(diào)整1已知數(shù)列：2，0，2，0，2，0，前六項不適合下列哪個通項公式()Aan1(1)n1Ban2Can1(1)nDan2sin解析對于選項A，an1(1)n1取前六項得2，0，2，0，2，0滿足條件；對于選項B，an2|sin|取前六項得2，0，2，0，2，0滿足條件；對于選項C，an1(1)n取前六項得2，0，2，0，2，0滿足條件；對于選項D，an2sin取前六項得2，0，2，0，2，0不滿足條件答案D由遞推公式求通項公式例2數(shù)列an分別滿足下列條件，求數(shù)列an的通項公式：(1)a11，anan1(n2，nN*)；(2)a11，an1ann1(nN*)；(3)a11，an13an2(nN*)；(4)a11，an1(nN*)解析 (1)anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)個式子相乘得ana1····.當(dāng)n1時，a11，上式也成立an(nN*)(2)由題意有a2a12，a3a23，anan1n(n2)以上各式相加，得ana123n.又a11，an(n2)當(dāng)n1時也滿足此式，an(nN*)(3)an13an2，an113(an1)，3，數(shù)列an1為等比數(shù)列，公比q3.又a112，an12·3n1，當(dāng)n1時也滿足此式an2·3n11(nN*)(4)an1，a11，an0，即，又a11，則1，是以1為首項，為公差的等差數(shù)列(n1)×，an(nN*)小結(jié)已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項時，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解當(dāng)出現(xiàn)anan1f(n)時，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn)f(n)時，用累乘法求解；當(dāng)出現(xiàn)anxan1y時，構(gòu)造等比數(shù)列求解；當(dāng)出現(xiàn)an1時，構(gòu)造等差數(shù)列求解2若數(shù)列分別滿足下列條件，求數(shù)列的通項公式：(1)a11，anan1(n2，nN*)；(2)a12019，an13an2；(3)a12，an1.解析 (1)因為anan1(n2)，所以an1an2，an2an3，a2a1.以上(n1)個式子相乘得ana1····na1n，當(dāng)n1時，a11，上式也成立所以ann.(2)由an13an2得：an113，數(shù)列是以a112020為首項，3為公比的等比數(shù)列an12020×3n1，an2020×3n11.(3)an1，即2，數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列，×2，即an.an與Sn關(guān)系的應(yīng)用例3(1)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn2(an1)(nN*)，則an()A2nB2n1C2nD2n1解析當(dāng)n1時，a1S12(a11)，可得a12，當(dāng)n2時，anSnSn12an2an1，an2an1，數(shù)列an是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an2n.答案C(2)設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項和，且Sn0，a11，an1SnSn1，則Sn_解析an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首項為1，公差為1的等差數(shù)列1(n1)×(1)n，Sn.答案小結(jié)(1)Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為只含an，an1的關(guān)系式，再求解利用anSnSn1(n2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn1的關(guān)系式，再求解(2)應(yīng)用公式an求數(shù)列通項公式時應(yīng)注意驗證a1是否符合一般規(guī)律3在數(shù)列an中，an>0，且前n項和Sn滿足4Sn(an1)2(nN*)，則數(shù)列an的通項公式為_解析當(dāng)n1時，4S1(a11)2，解得a11；當(dāng)n2時，由4Sn(an1)2a2an1，得4Sn1a2an11，兩式相減得4Sn4Sn1aa2an2an14an，整理得(anan1)(anan12)0，因為an>0，所以anan120，即anan12，又a11，故數(shù)列an是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以an12(n1)2n1.答案an2n1對應(yīng)學(xué)生用書p87(2018·全國卷理)記Sn為數(shù)列an的前n項和若Sn2an1，則S6_解析法一：因為Sn2an1，所以當(dāng)n1時，a12a11，解得a11；當(dāng)n2時，a1a22a21，解得a22；當(dāng)n3時，a1a2a32a31，解得a34；當(dāng)n4時，a1a2a3a42a41，解得a48；當(dāng)n5時，a1a2a3a4a52a51，解得a516；當(dāng)n6時，a1a2a3a4a5a62a61，解得a632.所以S61248163263.法二：因為Sn2an1，所以當(dāng)n1時，a12a11，解得a11，當(dāng)n2時，anSnSn12an1(2an11)，所以an2an1，所以數(shù)列an是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an2n1，所以S663.答案639