2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.3 冪函數(shù)學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)

33冪函數(shù)1理解冪函數(shù)的概念2掌握yx(1，1,2,3)的圖象與性質(zhì)3理解和掌握冪函數(shù)在第一象限的分類特征，能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法處理冪函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題1冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)yx叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，是常數(shù)2常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)溫馨提示：冪函數(shù)在區(qū)間(0，)上，當(dāng)a>0時(shí)，yx是增函數(shù)；當(dāng)<0時(shí)，yx是減函數(shù)1y2x2和y是冪函數(shù)嗎？答案不是2判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)yx0(x0)是冪函數(shù)()(2)冪函數(shù)的圖象必過(guò)點(diǎn)(0,0)和(1,1)()(3)冪函數(shù)的圖象都不過(guò)第二、四象限()(4)當(dāng)>0時(shí)，yx是增函數(shù)()答案(1)(2)×(3)×(4)×題型一冪函數(shù)的概念【典例1】(1)在函數(shù)y，yx2，y2x，y1，y2x2，yx中，是冪函數(shù)的是()ABCD(2)已知冪函數(shù)y(m2m1)xm22m3，求此冪函數(shù)的解析式，并指出其定義域思路導(dǎo)引緊扣冪函數(shù)的定義求解解析(1)冪函數(shù)是形如yx(為常數(shù))的函數(shù)，是1的情形，是2的情形，是的情形，所以都是冪函數(shù)；是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；中x2的系數(shù)是2，所以不是冪函數(shù)；是常函數(shù)，不是冪函數(shù)所以只有是冪函數(shù)故選C.(2)y(m2m1)x m22m3為冪函數(shù)，m2m11，解得m2或m1.當(dāng)m2時(shí)，m22m33，則yx3，且有x0；當(dāng)m1時(shí)，m22m30，則yx0，且有x0.故所求冪函數(shù)的解析式為yx3或yx0，它們的定義域都是x|x0答案(1)C(2)見(jiàn)解析判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為yx(為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為一個(gè)冪的形式，且需滿足：(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)系數(shù)為1.針對(duì)訓(xùn)練1下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是()AyByxCy22xDyx1解析函數(shù)y22x4x不是冪函數(shù)，故選C.答案C2若冪函數(shù)f(x)滿足f(9)3，則f(100)_.解析設(shè)f(x)x，由f(9)3，得93，f(x)x，f(100)10010.答案10題型二冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例2】已知冪函數(shù)f(x)x的圖象過(guò)點(diǎn)P，試畫出f(x)的圖象并指出該函數(shù)的定義域與單調(diào)區(qū)間思路導(dǎo)引求出，結(jié)合圖象確定定義域和值域解由f(2)，得2，解得2，所以f(x)x2.f(x)的圖象如圖所示，定義域?yàn)?，0)(0，)，單調(diào)減區(qū)間為(0，)，單調(diào)增區(qū)間為(，0)變式(1)本例條件不變，試判斷f(x)的奇偶性(2)本例中點(diǎn)P變?yōu)椋袛嗪瘮?shù)f(x)的奇偶性與單調(diào)性解(1)由f(x)(x)2x2f(x)，得f(x)是偶函數(shù)(2)由f(8)，得8，解得，所以f(x)x，其定義域?yàn)?，0)(0，)，是奇函數(shù)，在(，0)和(0，)上都是減函數(shù)解決冪函數(shù)圖象問(wèn)題應(yīng)把握的2個(gè)原則(1)依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0,1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡(jiǎn)記為指大圖低)；在(1，)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡(jiǎn)記為指大圖高)(2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)與0,1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于yx1或yx或yx3)來(lái)判斷針對(duì)訓(xùn)練3如圖，圖中曲線是冪函數(shù)yx在第一象限的大致圖象，已知取2，2四個(gè)值，則相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的的值依次為()A2，2B2，2C，2,2，D2，2，解析令x2，則22>2>2>22，故相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的值依次為2，2.故選B.答案B4如圖是冪函數(shù)yxm與yxn在第一象限內(nèi)的圖象，則()A1<n<0<m<1Bn<1,0<m<1C1<n<0，m>1Dn<1，m>1解析在(0,1)內(nèi)取x0，作直線xx0，與各圖象有交點(diǎn)，則“點(diǎn)低指數(shù)大”如圖，0<m<1，n<1.答案B題型三利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小【典例3】(1)比較下列各題中兩個(gè)值的大?。核悸穼?dǎo)引構(gòu)造冪函數(shù)，利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小(2)因?yàn)閥x在定義域0，)上是增函數(shù)，所以解得1m<.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.比較冪值大小的方法(1)若指數(shù)相同，底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)(2)若指數(shù)不同，底數(shù)相同，則考慮借助圖象求解(3)若指數(shù)與底數(shù)都不同，則考慮插入中間數(shù)，使這個(gè)數(shù)的底數(shù)與所比較數(shù)的一個(gè)底數(shù)相同，指數(shù)與另一個(gè)數(shù)的指數(shù)相同，那么這個(gè)數(shù)就介于所比較的兩數(shù)之間，進(jìn)而比較大小針對(duì)訓(xùn)練5比較下列各組數(shù)的大?。?已知冪函數(shù)f(x)x，若f(a1)<f(102a)，則a的取值范圍是_解析f(x)x(x>0)，易知f(x)在(0，)上為減函數(shù)，又f(a1)<f(102a)，解得3<a<5.答案(3,5)課堂歸納小結(jié)1冪函數(shù)yx的底數(shù)是自變量，指數(shù)是常數(shù)2冪函數(shù)在第一象限內(nèi)指數(shù)變化規(guī)律在第一象限內(nèi)直線x1的右側(cè)，圖象從上到下，相應(yīng)的指數(shù)由大變?。辉谥本€x1的左側(cè)，圖象從下到上，相應(yīng)的指數(shù)由大變小3簡(jiǎn)單冪函數(shù)的性質(zhì)(1)所有冪函數(shù)在(0，)上都有定義，并且當(dāng)自變量為1時(shí)，函數(shù)值為1，即f(1)1.(2)如果>0，冪函數(shù)在0，)上有意義，且是增函數(shù)(3)如果<0，冪函數(shù)在x0處無(wú)意義，在(0，)上是減函數(shù).1下列函數(shù)是冪函數(shù)的是()Ay5xByx5Cy5xDy(x1)3解析函數(shù)y5x是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；函數(shù)y5x是正比例函數(shù)，不是冪函數(shù)；函數(shù)y(x1)3的底數(shù)不是自變量x，不是冪函數(shù)；函數(shù)yx5是冪函數(shù)答案B2設(shè)a20.3，b30.2，c70.1，則a，b，c的大小關(guān)系為()Ac<a<bBa<c<bCa<b<cDc<b<a解析a20.380.1，b30.290.1，c70.1，由冪函數(shù)yx0.1在(0，)上單調(diào)遞增，可知c<a<b.答案A3函數(shù)yx的圖象是()解析由冪函數(shù)yx的性質(zhì)知，圖象過(guò)點(diǎn)(0,0)，(1,1)，故排除A，D.因?yàn)閥x中0<<1，所以函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)上凸遞增，排除C.故選B.答案B4已知冪函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，則f_.解析設(shè)冪函數(shù)為yx(為常數(shù))函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，24，f(x)x，f.答案5已知冪函數(shù)yx3m9(mN*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)，求f(x)的解析式解冪函數(shù)yx3m9在(0，)上是減函數(shù)，3m9<0，即m<3.又mN*，m1,2.又y33m9的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即該函數(shù)是偶函數(shù)，3m9是偶數(shù)m1.f(x)x6.課后作業(yè)(二十三)復(fù)習(xí)鞏固一、選擇題1下列函數(shù)中，其定義域和值域不同的函數(shù)是()解析yx，其定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，)，故定義域與值域不同答案D2設(shè)a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是()Aa>b>cBc>a>bCa<b<cDb>c>a解析構(gòu)造冪函數(shù)yx，x>0，由該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，知1>a>b；又c2>1，知a<c.故c>a>b.答案B3函數(shù)yx的圖象大致是圖中的()解析函數(shù)yx是奇函數(shù)，且>1，函數(shù)在R上單調(diào)遞增故選B.答案B4若冪函數(shù)y(m23m3)xm22m3的圖象不過(guò)原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則()Am2Bm1Cm2或m1D3m1解析根據(jù)冪函數(shù)的概念，得m23m31，解得m1或m2.若m1，則yx4，其圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不符合題意，舍去；若m2，則yx3，其圖象不過(guò)原點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱答案A5下列結(jié)論中，正確的是()A冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)，(1,1)B冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在第四象限C當(dāng)冪指數(shù)取1,3，時(shí)，冪函數(shù)yx是增函數(shù)D當(dāng)1時(shí)，冪函數(shù)yx在其整個(gè)定義域上是減函數(shù)解析當(dāng)冪指數(shù)1時(shí)，冪函數(shù)yx1的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)樗械膬绾瘮?shù)在區(qū)間(0，)上都有定義，且yx(R)>0，所以冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限，故B錯(cuò)誤；當(dāng)>0時(shí)，yx是增函數(shù)，故C正確；當(dāng)1時(shí)，yx1在區(qū)間(，0)，(0，)上是減函數(shù)，但在整個(gè)定義域上不是減函數(shù)，故D錯(cuò)誤故選C.答案C二、填空題6若yax是冪函數(shù)，則該函數(shù)的值域是_解析由已知yax是冪函數(shù)，得a1，所以yx，所以y0，故該函數(shù)的值域?yàn)?，)答案0，)7函數(shù)y3x2的圖象過(guò)定點(diǎn)_解析依據(jù)冪函數(shù)yx性質(zhì)，x1時(shí)，y1恒成立，所以函數(shù)y3x2中，x1時(shí)，y1恒成立，即過(guò)定點(diǎn)(1,1)答案(1,1)8已知當(dāng)x(1，)時(shí)，函數(shù)yx的圖象恒在直線yx的上方，則的取值范圍是_解析由冪函數(shù)的圖象特征知>1.答案(1，)三、解答題9已知冪函數(shù)yf(x)的圖象過(guò)點(diǎn)，試求出此函數(shù)的解析式，判斷奇偶性解設(shè)yx(R)，圖象過(guò)點(diǎn)，2，f(x)x.函數(shù)yx，定義域?yàn)?0，)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)10已知冪函數(shù)yf(x)x2m2m3，其中mx|2<x<2，xZ，滿足：是區(qū)間(0，)上的增函數(shù)；對(duì)任意的xR，都有f(x)f(x)0.求同時(shí)滿足，的冪函數(shù)f(x)的解析式，并求x0,3時(shí)f(x)的值域解因?yàn)閙x|2<x<2，xZ，所以m1,0,1.因?yàn)閷?duì)任意xR，都有f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)當(dāng)m1時(shí)，f(x)x2只滿足條件而不滿足條件；當(dāng)m1時(shí)，f(x)x0條件、都不滿足當(dāng)m0時(shí)，f(x)x3條件、都滿足，且在區(qū)間0,3上是增函數(shù)所以x0,3時(shí)，函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,27綜合運(yùn)用11已知冪函數(shù)f(x)x3m5(mN)在(0，)上是減函數(shù)，且f(x)f(x)，則m可能等于()A0B1C2D3解析f(x)在(0，)上是減函數(shù)，3m5<0(mN)，則m0或m1，當(dāng)m0時(shí)，f(x)x5是奇函數(shù)，不合題意當(dāng)m1時(shí)，f(x)x2是偶函數(shù)，因此m1，故選B.答案B12在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)yxa(a0)和yax的圖象可能是()解析當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)yax是減函數(shù)，且在y軸上的截距>0，yxa在(0，)上是減函數(shù)，A、D項(xiàng)均不正確對(duì)于B、C項(xiàng)，若a>0則yax是增函數(shù)，B項(xiàng)錯(cuò)，C項(xiàng)正確，故選C.答案C13.如圖所示，曲線C1與C2分別是函數(shù)yxm和yxn在第一象限內(nèi)的圖象，則下列結(jié)論正確的是()An<m<0Bm<n<0Cn>m>0Dm>n>0解析由圖象可知，兩函數(shù)在第一象限內(nèi)遞減，故m<0，n<0.當(dāng)x2時(shí)，2m>2n，所以n<m<0.答案A14已知函數(shù)f(x)x在(，0)上是增函數(shù)，在(0，)上是減函數(shù)，那么最小的正整數(shù)_.解析取值驗(yàn)證1時(shí)，yx0，不滿足；2時(shí)，yx，在(0，)上是減函數(shù)它為奇函數(shù)，則在(，0)上也是減函數(shù)，不滿足；3時(shí)，yx滿足題意答案315已知冪函數(shù)yx3m9(mN*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，)上函數(shù)是減函數(shù)，求滿足(a1)<(32a)的a的取值范圍解函數(shù)yx3m9在(0，)上單調(diào)遞減，3m9<0，解得m<3.又mN*，m1,2.又函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，3m9為偶數(shù)故m1.有(a1)<(32a).又yx在(，0)，(0，)上均遞減，a1>32a>0或0>a1>32a或a1<0<32a.解得<a<或a<1.故a的取值范圍為(，1)16