（新課標）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第33講 等比數(shù)列及其前n項和導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

第33講等比數(shù)列及其前n項和【課程要求】1掌握等比數(shù)列的定義與性質(zhì)、通項公式、前n項和公式等2掌握等比數(shù)列的判斷方法3掌握等比數(shù)列求和的方法對應(yīng)學(xué)生用書p89【基礎(chǔ)檢測】1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)滿足an1qan(nN*，q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列()(2)G為a，b的等比中項G2ab.()(3)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，bna2n1a2n，則數(shù)列bn也是等比數(shù)列()(4)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)nan是等差數(shù)列()(5)數(shù)列an的通項公式是anan，則其前n項和為Sn.()(6)數(shù)列an為等比數(shù)列，則S4，S8S4，S12S8成等比數(shù)列()答案 (1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×2必修5p51例3已知an是等比數(shù)列，a22，a5，則公比q_解析由題意知q3，q.答案3必修5p54A組T8在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)的和為_解析設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，2439×q3，q327，q3.插入的兩個數(shù)分別為9×327，27×381.所以這兩個數(shù)的和為108.答案1084已知1，a，b，c，4成等比數(shù)列，其中a，b，c為實數(shù)，則b_解析1，a，b，c，4成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則b21×44，且b1×q2>0，b2，答案25一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機病毒開機時占據(jù)內(nèi)存1KB，然后每3分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機_分鐘，該病毒占據(jù)內(nèi)存64MB(1MB210KB)解析由題意可知，病毒每復(fù)制一次所占內(nèi)存的大小構(gòu)成一等比數(shù)列an，且a12，q2，an2n，則2n64×210216，n16.即病毒共復(fù)制了16次所需時間為16×348(分鐘)答案48【知識要點】1等比數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母_q_表示(q0)2等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q，則它的通項ana1·qn1(nN*)3等比中項若G2a·b(ab0)，那么G叫做a與b的等比中項4等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列an的公比為q(q0)，其前n項和為Sn，當(dāng)q1時，Snna1；當(dāng)q1時，Sn.5等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：anam·qnm(n，mN*)(2)若an為等比數(shù)列，且klmn(k，l，m，nN*)，則ak·alam·an(3)若an，bn(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an(0)，a，an·bn，仍是等比數(shù)列(4)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項和為Sn，則Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比數(shù)列，其公比為_qn_對應(yīng)學(xué)生用書p90等比數(shù)列基本量的運算例1(1)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1a3，a2a4，則_解析由除以可得2，解得q，代入得a12，an2×，Sn4，2n1.答案2n1(2)已知an為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10()A7B5C7D5解析由題得a4a78，a4a72，a44，a72或a42，a74，即或或所以a1a108(8)7或a1a101(2)37.答案A小結(jié)1.等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解2等比數(shù)列求和公式中，用Sn時，注意前提是q1.1已知等比數(shù)列an滿足a1，a3a54(a41)，則a2等于()A2B1C.D.解析由an為等比數(shù)列，得a3a5a，又a3a54(a41)，所以a4(a41)，解得a42.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由a4a1q3，得2q3，解得q2，所以a2a1q.故選C.答案C等比數(shù)列的性質(zhì)例2(1)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a5a114，a6a128，則a8a9_解析由等比數(shù)列的性質(zhì)得aa5a114，aa6a128，因為數(shù)列的各項均為正，所以a82，a92，所以a8a94.答案4(2)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn為其前n項和，若a1a2a34，a4a5a68，則S12等于()A40B60C32D50解析由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4，8，S9S6，S12S9是等比數(shù)列，因此S1248163260，故選B.答案B小結(jié)(1)在等比數(shù)列的基本運算問題中，一般利用通項公式與前n項和公式，建立方程組求解，但如果能靈活運用等比數(shù)列的性質(zhì)“若mnpq，則有amanapaq”，可以減少運算量(2)等比數(shù)列的項經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕M合后構(gòu)成的新數(shù)列也具有某種性質(zhì)，例如等比數(shù)列Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比數(shù)列，公比為qk(q1)2已知等比數(shù)列an，且a6a84，則a8(a42a6a8)的值為()A2B4C8D16解析a6a84，a8(a42a6a8)a8a42a8a6a(a6a8)216.故選D.答案D等比數(shù)列的判定與證明例3已知數(shù)列an和bn滿足a1，an1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中為實數(shù)，n為正整數(shù)(1)證明：對任意實數(shù)，數(shù)列an不是等比數(shù)列；(2)證明：當(dāng)18時，數(shù)列bn是等比數(shù)列解析 (1)假設(shè)存在一個實數(shù)，使an是等比數(shù)列，則有aa1a3，即2492490，矛盾所以對任意實數(shù)，an不是等比數(shù)列(2)bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1(1)n·(an3n21)bn.又18，所以b1(18)0.由上式知bn0，所以(nN*)故當(dāng)18時，數(shù)列bn是以(18)為首項，為公比的等比數(shù)列小結(jié)等比數(shù)列的四種常用判定方法(1)定義法：若q(q為非零常數(shù)，nN*)或q(q為非零常數(shù)且n2，nN*)，則an是等比數(shù)列(2)中項公式法：若數(shù)列an中，an0且aan·an2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列(3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成anc·qn1(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列 (4)前n項和公式法：若數(shù)列an的前n項和Snk·qnk(k為常數(shù)且k0，q0，1)，則an是等比數(shù)列其中，(1)，(2)是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明，(3)，(4)常用于選擇題、填空題中的判定若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可3(2016·全國卷理)已知數(shù)列an的前n項和Sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項公式；(2)若S5，求.解析 (1)由題意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，由a10，0得an0，所以.因此an是首項為，公比為的等比數(shù)列，于是an.(2)由(1)得Sn1.由S5得1，即.解得1.等比數(shù)列前n項和的最值問題例4在等比數(shù)列中，an>0，公比q，且a1a52a3a5a2a825，又a3與a5的等比中項為2.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)bnlog2an，數(shù)列的前n項和為Sn，當(dāng)最大時，求n的值解析 (1)a1a52a3a5a2a825，a2a3a5a25，又an>0，a3a55.又a3與a5的等比中項為2，a3a54，而q，a3>a5，a34，a51，q，a116，an16×，即an25n.(2)bnlog2an5n，bn1bn1.是以b14為首項，1為公差的等差數(shù)列，Sn，當(dāng)n8時，>0；當(dāng)n9時，0；當(dāng)n>9時，<0.當(dāng)n8或9時，最大4已知數(shù)列滿足a113，3an1an40，Sn為其前n項和，則使不等式|Snn9|>成立的n的最大值為()A7B8C9D10解析由3an1an40可得30，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，又a113，所以a1112，故9>，解得1n8(nN*)，所以n的最大值為8.選B.答案B對應(yīng)學(xué)生用書p911(2019·全國卷理)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且a53a34a1，則a3()A16B8C4D2解析設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an的公比為q，則解得a3a1q24，故選C.答案C2(2018·全國卷理)等比數(shù)列an中，a11，a54a3.(1)求an的通項公式；(2)記Sn為an的前n項和若Sm63，求m.解析 (1)設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，則Sn.由Sm63得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.綜上，m6.11