2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.1.1 函數(shù)的概念學案 新人教A版必修第一冊

第1課時函數(shù)的概念1理解函數(shù)的概念2了解構(gòu)成函數(shù)的三要素3能正確使用函數(shù)、區(qū)間符號1函數(shù)的概念(1)函數(shù)的定義設(shè)A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作yf(x)，xA.(2)函數(shù)的定義域與值域函數(shù)yf(x)中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域顯然，值域是集合B的子集(3)對應(yīng)關(guān)系f：除解析式、圖象表格外，還有其他表示對應(yīng)關(guān)系的方法，引進符號f統(tǒng)一表示對應(yīng)關(guān)系溫馨提示：(1)當A，B為非空數(shù)集時，符號“f：AB”表示A到B的一個函數(shù)(2)集合A中的數(shù)具有任意性，集合B中的數(shù)具有唯一性(3)符號“f”它表示對應(yīng)關(guān)系，在不同的函數(shù)中f的具體含義不一樣2區(qū)間概念(a，b為實數(shù)，且a<b)3.其他區(qū)間的表示1某物體從高度為44.1 m的空中自由下落，物體下落的距離s與所用時間t的平方成正比，這個規(guī)律用數(shù)學式子可以描述為sgt2，其中g(shù)9.8 m/s2.(1)時間t和物體下落的距離s有何限制？(2)時間t(0t3)確定后，下落的距離s確定嗎？(3)下落后的某一時刻，能同時對應(yīng)兩個距離嗎？答案(1)0t3,0s44.1(2)確定(3)不能2判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)區(qū)間表示數(shù)集，數(shù)集一定能用區(qū)間表示()(2)數(shù)集x|x2可用區(qū)間表示為2，()(3)根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的一個x可以對應(yīng)著不同的y.()(4)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合()答案(1)×(2)×(3)×(4)×題型一函數(shù)關(guān)系的判斷【典例1】(1)判斷下列對應(yīng)是不是從集合A到集合B的函數(shù)AN，BN*，對應(yīng)法則f：對集合A中的元素取絕對值與B中元素對應(yīng)；A1,1,2，2，B1,4，對應(yīng)法則f：xyx2，xA，yB；A1,1,2，2，B1,2,4，對應(yīng)法則f：xyx2，xA，yB；A三角形，Bx|x>0，對應(yīng)法則f：對A中元素求面積與B中元素對應(yīng)(2)設(shè)Mx|2x2，Ny|0y2，函數(shù)yf(x)的定義域為M，值域為N，對于下列四個圖象，不可作為函數(shù)yf(x)的圖象的是()思路導(dǎo)引在“非空數(shù)集”A中“任取x”，在對應(yīng)關(guān)系“f”作用下，B中“有唯一”的“數(shù)f(x)”與之“對應(yīng)”，稱f：AB為集合A到集合B的一個函數(shù)解析(1)對于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不屬于B，即A中的元素0在B中沒有元素與之對應(yīng)，所以不是函數(shù)對于A中的元素±1，在f的作用下與B中的1對應(yīng)，A中的元素±2，在f的作用下與B中的4對應(yīng)，所以滿足A中的任一元素與B中唯一元素對應(yīng)，是“多對一”的對應(yīng)，故是函數(shù)對于A中的任一元素，在對應(yīng)關(guān)系f的作用下，B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，如±1對應(yīng)1，±2對應(yīng)4，所以是函數(shù)集合A不是數(shù)集，故不是函數(shù)(2)由函數(shù)定義可知，任意作一條直線xa，則與函數(shù)的圖象至多有一個交點，結(jié)合選項可知C中圖象不表示y是x的函數(shù)答案(1)見解析(2)C(1)判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的2個條件A、B必須是非空數(shù)集A中任意一元素在B中有且只有一個元素與之對應(yīng)(2)根據(jù)圖形判斷對應(yīng)是否為函數(shù)的方法任取一條垂直于x軸的直線l.在定義域內(nèi)平行移動直線l.若l與圖形有且只有一個交點，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數(shù)針對訓(xùn)練1若集合Mx|0x2，Ny|0y3，則下列圖形給出的對應(yīng)中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)f：MN的是()解析A中的對應(yīng)不滿足函數(shù)的存在性，即存在xM，但N中無與之對應(yīng)的y；B、C均不滿足函數(shù)的唯一性，只有D正確答案D2下列對應(yīng)為從集合A到集合B的一個函數(shù)的是_(填序號)AR，Bx|x>0，f：xy|x|；AZ，BN*，f：xyx2；AZ，BZ，f：xy；A1,1，B0，f：xy0.解析中，集合A中的元素0在集合B中沒有元素與之對應(yīng)，中同樣是集合A中的元素0在集合B中沒有元素與之對應(yīng)，對于，集合A中負整數(shù)沒有意義答案題型二用區(qū)間表示數(shù)集【典例2】把下列數(shù)集用區(qū)間表示，并在數(shù)軸上表示出來(1)x|x3；(2)x|x<5；(3)x|4x<2或3<x5思路導(dǎo)引用區(qū)間表示數(shù)集的關(guān)鍵是確定開、閉區(qū)間，含“或”的數(shù)集用符號“”連接區(qū)間解(1)x|x3用區(qū)間表示為3，)，用數(shù)軸表示如圖(2)x|x<5用區(qū)間表示為(，5)，用數(shù)軸表示如圖(3)x|4x<2或3<x5用區(qū)間表示為4,2)(3,5，用數(shù)軸表示如圖應(yīng)用區(qū)間時的3個注意點(1)區(qū)間是數(shù)集，區(qū)間的左端點小于右端點(2)在用區(qū)間表示集合時，開和閉不能混淆(3)用數(shù)軸表示區(qū)間時，用實心點表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點，用空心圈表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點針對訓(xùn)練3已知全集UR，Ax|1<x5，則UA用區(qū)間表示為_解析UAx|x1或x>5(，1(5，)答案(，1(5，)4用區(qū)間表示不等式x|x2x60的解集為_解析不等式x2x6(x3)(x2)0，解得x3或x2，所以不等式的解集為x|x2或x3(，23，)答案(，23，)題型三求函數(shù)的定義域【典例3】求下列函數(shù)的定義域(1)y2；(2)y(x1)0；(3)y·；(4)y.思路導(dǎo)引函數(shù)定義域即是使自變量x有意義的取值范圍解(1)當且僅當x20，即x2時，函數(shù)y2有意義，所以這個函數(shù)的定義域為x|x2(2)函數(shù)有意義，當且僅當解得x>1，且x1，所以這個函數(shù)的定義域為x|x>1且x1(3)函數(shù)有意義，當且僅當解得1x3，所以這個函數(shù)的定義域為x|1x3(4)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足即即解得3x2且x1，即函數(shù)定義域為x|3x2且x1變式(1)將本例(3)中“y·”改為“y”，則其定義域是什么？(2)將本例(3)中“y·”改為“y”，則其定義域是什么？解(1)要使函數(shù)有意義，只需(3x)(x1)0，解得1x3，即定義域為x|1x3(2)要使函數(shù)有意義，則解得1<x3，即定義域為x|1<x3求函數(shù)定義域的幾種類型(1)若f(x)是整式，則函數(shù)的定義域是R.(2)若f(x)是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零(3)若f(x)是偶次根式，則被開方數(shù)大于或等于零(4)若f(x)是由幾個式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個部分定義域的交集(5)若f(x)是實際問題的解析式，則應(yīng)符合實際問題，使實際問題有意義針對訓(xùn)練5求下列函數(shù)的定義域：(1)y；(2)y；(3)y.解(1)要使函數(shù)有意義，需x22x30，即(x3)(x1)0，所以x3或x1，即函數(shù)的定義域為x|x3或x1(2)要使函數(shù)有意義，則|x|x0，即|x|x，得x<0，所以函數(shù)的定義域為(，0)(3)要使函數(shù)有意義，則解得x，且x±3，即定義域為x|x，且x±3課堂歸納小結(jié)1函數(shù)的本質(zhì)：兩個非空數(shù)集間的一種確定的對應(yīng)關(guān)系由于函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系一旦確定，值域隨之確定2定義域是一個集合，所以需要寫成集合的形式，在已知函數(shù)解析式又對x沒有其他限制時，定義域就是使函數(shù)式有意義的x的集合3對區(qū)間的幾點認識(1)區(qū)間是集合，是數(shù)集，區(qū)間的左端點必須小于右端點(2)用數(shù)軸表示區(qū)間時，用實心點表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點，用空心點表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點(3)在用區(qū)間表示集合時，開和閉不能混淆(4)“”是一個符號，不是一個數(shù)，它表示數(shù)的變化趨勢.1函數(shù)f(x)的定義域為()A1,2)(2，) B(1，)C1,2) D1，)解析由題意可知，要使函數(shù)有意義，需滿足即x1且x2.答案A2函數(shù)y的定義域為()Ax|x1 Bx|x0Cx|x1或x1 Dx|0x1解析由題意可知解得0x1.答案D3函數(shù)f(x)的定義域為()Ax|2x1 Bx|2<x<1Cx|2<x1 Dx|x1解析要使函數(shù)有意義，需解得2x1，且x2，所以函數(shù)的定義域是x|2<x1答案C4集合x|1x<0或1<x2用區(qū)間表示為_解析結(jié)合區(qū)間的定義知，用區(qū)間表示為1,0)(1,2答案1,0)(1,25已知矩形的周長為1，它的面積S是其一邊長為x的函數(shù)，則其定義域為_(結(jié)果用區(qū)間表示)解析由實際意義知x>0，又矩形的周長為1，所以x<，所以定義域為.答案課后作業(yè)(十五)復(fù)習鞏固一、選擇題1若函數(shù)yf(x)的定義域Mx|2x2，值域為Ny|0y2，則函數(shù)yf(x)的圖象可能是()解析A中定義域是x|2x0，不是Mx|2x2，C中圖象不表示函數(shù)關(guān)系，D中值域不是Ny|0y2答案B2集合Ax|0x4，By|0y2，下列不表示從A到B的函數(shù)的是()Af：xyxBf：xyxCf：xyxDf：xy解析對于選項C，當x4時，y>2不合題意故選C.答案C3下列對應(yīng)關(guān)系或關(guān)系式中，是A到B的函數(shù)的是()Ax2y21，xA，yBBA1,2,3,4，B0,1，對應(yīng)關(guān)系如圖CAR，BR，f：xyDAZ，BZ，f：xy解析A錯誤，x2y21可化為y±，顯然對任意xA，y值不一定唯一B正確，符合函數(shù)的定義C錯誤，2A，在B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù)D錯誤，1A，在B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù)答案B4函數(shù)f(x)的定義域為M，g(x)的定義域為N，則MN()Ax|x2 Bx|2x<2Cx|2<x<2 Dx|x<2解析函數(shù)f(x)的定義域為x|x<2，g(x)的定義域為x|x2，從而Mx|x<2，Nx|x2，所以MNx|2x<2答案B5已知等腰ABC的周長為10，則底邊長y關(guān)于腰長x的函數(shù)關(guān)系為y102x，此函數(shù)的定義域為()ARBx|x>0Cx|0<x<5 D.解析ABC的底邊長顯然大于0，即y102x>0，x<5，又兩邊之和大于第三邊，2x>102x，x>，此函數(shù)的定義域為.答案D二、填空題6下列說法正確的是_(填所有正確說法的序號)函數(shù)的定義域可以是空集；函數(shù)的定義域和值域確定后，對應(yīng)關(guān)系也就確定了；函數(shù)的定義域、值域都是非空的數(shù)集；函數(shù)值域中的每一個值在定義域中都有唯一確定的數(shù)與之對應(yīng)解析由函數(shù)定義知，定義域和值域都是非空的數(shù)集，故錯誤，正確；函數(shù)的定義域和值域確定后，可以有不同的對應(yīng)關(guān)系，如y|x|，yx2，故錯誤；函數(shù)值域中的每一個值在定義域中有一個或多個確定的數(shù)與之對應(yīng)，故錯誤答案7函數(shù)y的定義域是_解析由已知得76xx20，即x26x70，解得1x7，故函數(shù)的定義域為1,7答案1,78設(shè)集合Ax|x28x20<0，B5,13)，則R(AB)_(用區(qū)間表示)解析Ax|x28x20<0x|2<x<10AB5,10)，R(AB)(，5)10，)答案(，5)10，)三、解答題9求下列函數(shù)的定義域(1)y；(2)y.解(1)由題意得化簡得即故函數(shù)的定義域為x|x<0且x3(2)由題意可得解得故函數(shù)的定義域為x|x7且x±10為了保護環(huán)境，某公交公司決定購買10臺全新的混合動力公交車，現(xiàn)有A、B兩種型號，其中每臺的價格，年省油量如下表：型號AB價格(萬元/臺)ab節(jié)省的油量(萬升/年)2.42經(jīng)調(diào)查，購買一臺A型車比購買一臺B型車多20萬元，購買兩臺A型車比購買三臺B型車少60萬元(1)請求出a和b；(2)若購買A型車x臺，每年節(jié)省汽油y升，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域解(1)根據(jù)題意得：，解得.(2)設(shè)購買A型車x臺，則購買B型車(10x)臺，根據(jù)題意得y2.4x2(10x)0.4x20其中0x10，xN.答：每年節(jié)約汽油y升與購買A型車x臺的函數(shù)關(guān)系式為y0.4x20(0x10，且xN)綜合運用11函數(shù)yf(x)的圖象與直線xa的交點個數(shù)有()A必有一個 B一個或兩個C至多一個 D可能兩個以上解析當a在f(x)定義域內(nèi)時，有一個交點，否則無交點答案C12給出四個結(jié)論：函數(shù)就是定義域到值域的對應(yīng)關(guān)系；若函數(shù)的定義域只含有一個元素，則值域也只有一個元素；因f(x)5(xR)，這個函數(shù)值不隨x的變化范圍而變化，所以f(0)5也成立；定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)值域也就確定了其中正確的有()A1個 B2個 C3個 D4個解析由函數(shù)的概念可知，不正確，其余三個結(jié)論都正確答案C13在下列從集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系中，不能確定y是x的函數(shù)的是()Ax|xZ，By|yZ，對應(yīng)法則f：xy；Ax|x>0，xR，By|yR，對應(yīng)法則f：xy23x；Ax|xR，By|yR，對應(yīng)法則f：xx2y225；AR，BR，對應(yīng)法則f：xyx2；A(x，y)|xR，yR，BR，對應(yīng)法則f：(x，y)sxy；Ax|1x1，xR，B0，對應(yīng)法則f：xy0.A BC D解析在對應(yīng)法則f下，A中不能被3整除的數(shù)在B中沒有元素與之對應(yīng)，所以不能確定y是x的函數(shù)在對應(yīng)法則f下，A中的數(shù)在B中有兩個數(shù)與之對應(yīng)，所以不能確定y是x的函數(shù)在對應(yīng)法則f下，A中的數(shù)(除去5與5外)在B中有兩個數(shù)或沒有數(shù)與之對應(yīng)，所以不能確定y是x的函數(shù)A不是數(shù)集，所以不能確定y是x的函數(shù)顯然滿足函數(shù)的特征，故能確定y是x的函數(shù)故選D.答案D14已知區(qū)間2a,3a5，則a的取值范圍為_解析由題意可知3a5>2a，解得a>1.故a的取值范圍是(1，)答案(1，)15函數(shù)y的定義域為_(用區(qū)間表示)解析使根式有意義的實數(shù)x的集合是x|32xx20即x|(3x)(x1)0x|1x3，使分式有意義的實數(shù)x的集合是x|x±2，所以函數(shù)y的定義域是x|1x3x|x±2x|1x3，且x2答案1,2)(2,316已知函數(shù)y的定義域是R，求實數(shù)m的取值范圍解當m0時，y，其定義域是R.當m0時，由定義域為R可知，mx26mxm80對一切實數(shù)x均成立，于是有解得0<m1.由可知，m0,112