（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第9講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

第9講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【課程要求】1了解指數(shù)冪的含義、掌握冪的運(yùn)算2理解指數(shù)函數(shù)的概念、理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與其圖象特征并能靈活應(yīng)用3知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型對應(yīng)學(xué)生用書p23【基礎(chǔ)檢測】1判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”)(1)()na(nN*)()(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪a可以理解為個(gè)a相乘()(3)函數(shù)y3·2x與y2x1都不是指數(shù)函數(shù)()(4)若aman(a0，且a1)，則mn.()(5)函數(shù)y2x在R上為單調(diào)減函數(shù)()答案 (1)×(2)×(3)(4)×(5)2必修1p59A組T4化簡(x0，y0)_答案2x2y3必修1p59A組T7已知a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是_解析y是減函數(shù)，>>，即a>b>1，又c<1，c<b<a.答案c<b<a4已知函數(shù)f(x)ax14的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A(1，5) B(1，4) C(0，4) D(4，0)解析函數(shù)f(x)ax14的圖象恒過定點(diǎn)P.即這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)不隨a的改變而改變，只需要讓a不起作用即可，令x10x1，此時(shí)y5，故圖象恒過(1，5)答案A5計(jì)算：×8×_解析原式×12×22.答案26已知函數(shù)f(x)ax(a>0，a1)在1，2上的最大值比最小值大，則a的值為_解析當(dāng)0<a<1時(shí)，aa2，a或a0(舍去)當(dāng)a>1時(shí)，a2a，a或a0(舍去)綜上所述，a或.答案或【知識要點(diǎn)】1分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)我們規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a(a>0，m，nN*，且n>1)于是，在條件a>0，m，nN*，且n>1下，根式都可以寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義相仿，我們規(guī)定a(a>0，m，nN*，且n>1).0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于_0_；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪_沒有意義_(2)根式的性質(zhì)：a的n(n>1，nN*)次方根，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，有一個(gè)n次方根為_；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，若a>0，有兩個(gè)互為相反數(shù)的n次方根為_±_，若a0，其n次方根為_0_，若a<0，則無實(shí)數(shù)根當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，_a_；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，|a|_(3)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras_ars_，(ar)s_ars_，(ab)r_arbr_，其中a>0，b>0，r，sQ.2指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)yaxa>10<a<1圖象定義域(1)R值域(2)_(0，)_性質(zhì)(3)過定點(diǎn)_(0，1)_(4)當(dāng)x>0時(shí)，_y>1_；當(dāng)x<0時(shí)，_0<y<1_(5)當(dāng)x>0時(shí)，_0<y<1_；當(dāng)x<0時(shí)，_y>1_(6)在(，)上是_增函數(shù)_(7)在(，)上是_減函數(shù)_3基本結(jié)論(1)指數(shù)函數(shù)圖象的畫法畫指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，.(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)yax(a>0，a1)的圖象越高，底數(shù)越大(3)指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a1與0a1來研究對應(yīng)學(xué)生用書p24指數(shù)冪的運(yùn)算例1求值與化簡：(1)÷；(2)(1.5)2(9.6)0.解析 (1)原式ab4a；(2)原式142123.小結(jié)指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則：(1)指數(shù)冪的運(yùn)算首先將根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以便利用法則計(jì)算(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)(4)運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又有負(fù)指數(shù)1(多選)若實(shí)數(shù)a>0，則下列等式成立的是()A(2)24B2a3C(2)01D.解析對于A，(2)2，故A錯(cuò)誤；對于B，2a3，故B錯(cuò)誤；對于C，(2)01，故C正確；對于D，故D正確答案CD2化簡：_解析原式a·b.答案指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2(1)若函數(shù)yaxb(a0，且a1)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則ab的取值范圍是()A(1，) B(0，)C(0，1) D無法確定解析因?yàn)楹瘮?shù)經(jīng)過第二、三、四象限，所以函數(shù)單調(diào)遞減且圖象與y軸的交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上令x0，則ya0b1b，由題意得解得故ab(0，1)，故選C.答案C(2)當(dāng)x1，2時(shí)，函數(shù)yx2與yax(a>0)的圖象有交點(diǎn)，則a的取值范圍是()A.B.C.D.解析當(dāng)a>1時(shí)，如圖所示，使得兩個(gè)函數(shù)圖象在1，2上有交點(diǎn)，需滿足·22a2，即1<a；當(dāng)0<a<1時(shí)，如圖所示，需滿足·12a1，即a<1；當(dāng)a1時(shí)，yx2與y1在1，2上有交點(diǎn)(，1)，滿足條件綜上可知，a.答案B(3)(多選)已知函數(shù)f(x)|2x1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，則下列結(jié)論中，一定成立的是()Ab<0Ba<0，c>0C2a<2cD2a2c<2解析作出函數(shù)f(x)|2x1|的圖象如圖中實(shí)線所示，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，結(jié)合圖象知0<f(a)<1，a<0，0<c<1，f(a)|2a1|12a，且1<2c<2，f(c)|2c1|2c1，又f(a)>f(c)，即12a>2c1，2a2c<2.答案BD小結(jié)(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過這些點(diǎn)，若不滿足則排除(2)對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象可從指數(shù)函數(shù)的圖象通過平移、伸縮、對稱變換而得到特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論(3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解(4)判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x1得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較3函數(shù)f(x)2|x1|的圖象是()解析由題意知f(x)結(jié)合圖象知選B.答案B4如圖，過原點(diǎn)O的直線與函數(shù)y2x的圖象交于A，B兩點(diǎn)，過B作y軸的垂線交函數(shù)y4x的圖象于點(diǎn)C，若AC平行于y軸，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_解析設(shè)A(n，2n)，B(m，2m)，則C，因?yàn)锳C平行于y軸，所以n，所以A，B(m，2m)，又因?yàn)锳，B，O三點(diǎn)共線，所以kOAkOB，所以，即nm1，又由n，解得n1，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，2)答案 (1，2)5若函數(shù)f(x)2|xa|(aR)滿足f(1x)f(1x)，f(x)在區(qū)間m，n上的最大值記為f(x)max，最小值記為f(x)min，若f(x)maxf(x)min3，則nm的取值范圍是_解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2|xa|(aR)滿足f(1x)f(1x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，所以a1，所以f(x)2|x1|.作出函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示當(dāng)mn1或1mn時(shí)，離對稱軸越遠(yuǎn)，nm差越小，由y2x1與y21x的性質(zhì)知極限值為0.當(dāng)m1n時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間m，n上的最大值與最小值的差為f(x)maxf(x)min2|±2|203，則nm取得最大值是2(2)4，所以nm的取值范圍是(0，4答案 (0，4指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例3(1)已知a，b(0，1)(1，)，當(dāng)x0時(shí)，1bxax，則()A0ba1B0ab1C1baD1ab解析x0時(shí)，1bx，b1.x0時(shí)，bxax，x0時(shí)，1.1，ab，1ba，故選C.答案C(2)已知函數(shù)f(x)的值域是8，1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，3 B3，0)C3，1 D3解析當(dāng)0x4時(shí)，f(x)8，1，當(dāng)ax0時(shí)，f(x)，8，1，即81，即3a0，實(shí)數(shù)a的取值范圍是3，0)答案B(3)已知函數(shù)ybax22x(a，b為常數(shù)，且a>0，a1)在區(qū)間上有最大值3，最小值，則a，b的值為_解析令tx22x(x1)21，x，t1，0若a>1，函數(shù)f(t)at在1，0上為增函數(shù)，at，bax22x，依題意得解得若0<a<1，函數(shù)f(t)at在1，0上為減函數(shù)，at，bax22x，依題意得解得綜上知，a2，b2或a，b.答案a2，b2或a，b小結(jié)(1)利用指數(shù)函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)比較大小或解不等式，最重要的是“同底”原則(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷6已知a，b，c，則()Aa<b<cBc<b<aCc<a<bDb<c<a解析y在R上為減函數(shù)，>，b<c.又yx在(0，)上為增函數(shù)，>，a>c，b<c<a.答案D7設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)<1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析當(dāng)a<0時(shí)，不等式f(a)<1可化為7<1，即<8，即<，a>3.又a<0，3<a<0.當(dāng)a0時(shí)，不等式f(a)<1可化為<1.0a<1，綜上，a的取值范圍是(3，1)答案 (3，1)8已知函數(shù)f(x)a|x1|(a0，且a1)的值域?yàn)?，)，則f(4)與f(1)的大小關(guān)系是_解析因?yàn)閨x1|0，函數(shù)f(x)a|x1|(a0，且a1)的值域?yàn)?，)，所以a1.由于函數(shù)f(x)a|x1|在(1，)上是增函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x1對稱，則函數(shù)f(x)在(，1)上是減函數(shù)，故f(1)f(3)，f(4)f(1)答案f(4)f(1)對應(yīng)學(xué)生用書p25(2019·全國卷理)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，則()Aa<b<cBa<c<bCc<a<bDb<c<a解析alog20.2<log210，b20.2>201，0<c0.20.3<0.201，即0<c<1，則a<c<b，故選B.答案B11