（新課標）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 第6講 函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

第6講函數(shù)的單調(diào)性【課程要求】1了解函數(shù)單調(diào)性的概念，會討論和證明一些簡單函數(shù)的單調(diào)性2利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，求單調(diào)區(qū)間及參數(shù)的取值范圍對應(yīng)學(xué)生用書p14【基礎(chǔ)檢測】1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)若定義在R上的函數(shù)f(x)，有f(1)<f(3)，則函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)()(2)函數(shù)yf(x)在1，)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是1，)()(3)函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間是(，0)(0，)()(4)函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間為非空集合A，函數(shù)yf(x)在區(qū)間B上單調(diào)遞增，則AB.()答案 (1)×(2)×(3)×(4)×2必修1p39B組T1函數(shù)f(x)x22x的單調(diào)遞增區(qū)間是_答案 1，)(或(1，)3必修1p44A組T9若函數(shù)f(x)x22mx1在2，)上是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是_解析由題意知，2，)m，)，m2.答案 (，24函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，2 B(，1C1，) D4，)解析由x22x80得x4或x2，令x22x8t，則y為增函數(shù)，tx22x8在4，)上的增區(qū)間便是原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為4，)答案D5已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間0，)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足f(2x1)f的x的取值范圍是()A.B.C.D.解析因為函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間0，)上的增函數(shù)，滿足f(2x1)f.所以02x1，解得x.答案D6如圖，AOD是一直角邊長為1的等腰直角三角形，平面圖形OBD是四分之一圓的扇形，點P在線段AB上，PQAB，且PQ交AD或交弧DB于點Q，設(shè)APx(0<x<2)，圖中陰影部分表示的平面圖形APQ(或APQD)的面積為y，則函數(shù)yf(x)的大致圖象是()解析觀察可知陰影部分的面積y的變化情況為：(1)當0<x1時，y隨x的增大而增大，而且增加的速度越來越快(2)當1<x<2時，y隨x的增大而增大，而且增加的速度越來越慢分析四個答案中的圖象，只有選項A符合條件，故選A.答案A【知識要點】1函數(shù)的單調(diào)性(1)增函數(shù)、減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是_增函數(shù)_當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是_減函數(shù)_圖象特征自左向右看圖象是_上升的_自左向右看圖象是_下降的_(2)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)_單調(diào)性_，區(qū)間D叫做f(x)的_單調(diào)區(qū)間_2函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(1)定義法：取值、作差、變形、定號、結(jié)論(2)復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時，為增函數(shù)，不同時為減函數(shù)(3)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(4)圖象法：利用圖象研究函數(shù)的單調(diào)性對應(yīng)學(xué)生用書p15函數(shù)單調(diào)性的證明例1已知定義域為R的奇函數(shù)f(x)2x.(1)求a的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明解析 (1)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(0)0，即f(0)1a0，解得a1，經(jīng)檢驗，符合題意，a1.(2)f(x)在R上是增函數(shù)證明如下：由(1)可得，f(x)2x，設(shè)x1，x2R，且x1>x2，則f(x1)f(x2)2x12x2(2x12x2)(2x12x2)(2x12x2).x1，x2R，且x1>x2，2x1>2x2，1>0，f(x1)f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，因此，f(x)在R上是增函數(shù)小結(jié)利用定義證明函數(shù)f(x)在給定區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：任取x1，x2D，且x1<x2；作差；變形(通常是因式分解、通分、配方)；判斷符號(即判斷f(x1)f(x2)的符號)；下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定區(qū)間D上的單調(diào)性)1判斷并證明函數(shù)f(x)ax2(其中1a3)在1，2上的單調(diào)性解析法一：函數(shù)f(x)ax2(1<a<3)在1，2上單調(diào)遞增證明：設(shè)1x1x22，則f(x2)f(x1)axax(x2x1)，由1x1x22，得x2x10，2x1x24, 1x1x24，1.又因為1a3，所以2a(x1x2)12，得a(x1x2)0，從而f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故當a(1，3)時，f(x)在1，2上單調(diào)遞增法二：因為f(x)2ax，因為1x2，1x38，又1a3，所以2ax310，所以f(x)0，所以函數(shù)f(x)ax2(其中1a3)在1，2上是增函數(shù)函數(shù)單調(diào)性(區(qū)間)的判斷例2(1)(多選)下列函數(shù)f(x)中，滿足“任意x1，x2(0，)，且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是()Af(x)xBf(x)x3Cf(x)lnxDf(x)解析“任意x1，x2(0，)，且x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”等價于函數(shù)為減函數(shù)，四個選項中，只有AD選項符合答案AD(2)函數(shù)f(x)x23|x|2的單調(diào)減區(qū)間是_解析去絕對值，得函數(shù)f(x)當x0時，函數(shù)f(x)x23x2的單調(diào)遞減區(qū)間為；當x0時，函數(shù)f(x)x23x2的單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，.答案，小結(jié)1.掌握確定函數(shù)單調(diào)性(區(qū)間)的常用方法 (1)定義法和導(dǎo)數(shù)法，證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義法和導(dǎo)數(shù)法；(2)復(fù)合函數(shù)法，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律是“同增異減”；(3)圖象法2熟記函數(shù)單調(diào)性的4個常用結(jié)論(1)若f(x)，g(x)均是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則f(x)g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)；(2)若k>0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同；若k<0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反；(3)函數(shù)yf(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與yf(x)，y的單調(diào)性相反；(4)函數(shù)yf(x)(f(x)0)在公共定義域內(nèi)與y的單調(diào)性相同3謹防3種失誤(1)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，故求單調(diào)區(qū)間應(yīng)以“定義域優(yōu)先”為原則(2)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示(3)圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”連接，不能用“”連接2函數(shù)f(x)ln(x22x8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，2) B(，1)C(1，) D(4，)解析由x22x80，得x4或x2.設(shè)tx22x8，則ylnt為增函數(shù)要求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)tx22x8的單調(diào)遞增區(qū)間函數(shù)tx22x8的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，)故選D.答案D3函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間是()A.B.C(0，e) D(e，)解析y，令y<0，解得x>e.所以單調(diào)遞減區(qū)間是，選D.答案D函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例3(1)已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，當x2>x1>1時，f(x2)f(x1)(x2x1)<0恒成立，設(shè)af，bf(2)，cf(e)(e2.71828為自然對數(shù)的的底數(shù))，則a，b，c的大小關(guān)系為()Ac>a>bBc>b>aCa>c>bDb>a>c解析因為f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，所以ff.由x2>x1>1時，f(x2)f(x1)·(x2x1)<0恒成立，知f(x)在(1，)上單調(diào)遞減1<2<<e，f(2)>f>f(e)，b>a>c.答案D(2)已知函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.B.C.D.解析由對數(shù)函數(shù)的定義可得a>0，且a1.又函數(shù)f(x)在R上單調(diào)，而二次函數(shù)yax2x的圖象開口向上，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，故有即所以a.答案B(3)已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，A(0，3)，B(3，1)是其圖象上的兩點，那么不等式3f(x1)1的解集的補集是(全集為R)()A(1，2) B(1，4)C(，1)4，) D(，12，)解析由函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，A(0，3)，B(3，1)是其圖象上的兩點，知不等式3f(x1)1即為f(0)f(x1)f(3)，所以0x13，所以1x2，故不等式3f(x1)1的解集的補集是(，12，)答案D小結(jié)1.比較函數(shù)值大小的解題思路：比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上進行比較，對于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解2解函數(shù)不等式的解題思路：先利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x)>f(h(x)的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)<h(x)3利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的方法： (1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)； (2)需注意若函數(shù)在區(qū)間a，b上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的4已知函數(shù)f(x)若f(2x2)>f(x)，則實數(shù)x的取值范圍是()A(，1)(2，)B(，2)(1，)C(1，2)D(2，1)解析當x0時，兩個表達式對應(yīng)的函數(shù)值都為0，函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲線又當x0時，函數(shù)f(x)x3為增函數(shù)，當x>0時，f(x)ln(x1)也是增函數(shù)，函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)因此，不等式f(2x2)>f(x)等價于2x2>x，即x2x2<0，解得2<x<1.答案D5若函數(shù)f(x)x2a|x|2，xR在區(qū)間3，)和2，1上均為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.B6，4C.D.解析由于f(x)為R上的偶函數(shù)，因此只需考慮函數(shù)f(x)在(0，)上的單調(diào)性即可由題意知函數(shù)f(x)在3，)上為增函數(shù)，在1，2上為減函數(shù)，故2，3，即a6，4答案B6已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞減，若f(x22xa)f(x1)對任意的x1，2恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A.B(，3)C(3，) D.解析依題意得f(x)在R上是減函數(shù)，所以f(x22xa)f(x1)對任意的x1，2恒成立，等價于x22xax1對任意的x1，2恒成立，等價于ax23x1對任意的x1，2恒成立設(shè)g(x)x23x1(1x2)，則g(x)(1x2)，當x時，g(x)取得最大值，且g(x)maxg，因此a，故選D.答案D對應(yīng)學(xué)生用書p16(2019·全國卷理)設(shè)f是定義域為R的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則AfffBfffCfffDfff解析f是定義域為R的偶函數(shù)，ff(log34)log34>log331，120>2>2，log34>2>2，又f在(0，)上單調(diào)遞減，f(log34)<f<f，即f>f>f.故選C.答案C11