（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 第18講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

第四章 三角函數(shù)知識(shí)體系p51第18講任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)【課程要求】1了解任意角的概念與弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化2理解任意角三角函數(shù)(正弦，余弦，正切)的定義對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p51【基礎(chǔ)檢測(cè)】1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)銳角是第一象限的角，第一象限的角也都是銳角()(2)角的三角函數(shù)值與其終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)()(3)不相等的角終邊一定不相同()(4)若sinsin，則與的終邊相同(5)三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角(6)若為第一象限角，則sincos>1.()答案 (1)×(2)(3)× (4)×(5)× (6)2必修4p10A組T7角225°_弧度，這個(gè)角在第_象限答案；二3必修4p15T2設(shè)角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4，3)，那么cos2sin_解析由已知并結(jié)合三角函數(shù)的定義，得sin，cos，所以cos2sin2×2.答案24必修4p10A組T6一條弦的長(zhǎng)等于半徑，這條弦所對(duì)的圓心角大小為_弧度答案5下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A2k45°(kZ) Bk·360°(kZ)Ck·360°315°(kZ) Dk(kZ)解析與的終邊相同的角可以寫成2k(kZ)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確答案C6集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是()解析當(dāng)k2n(nZ)時(shí)，2n2n，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣；當(dāng)k2n1(nZ)時(shí)，2n2n，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣，故選C.答案C7如果2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為()Asin2B.C2sin1Dtan1解析由圖可知：弦長(zhǎng)AB2，所以半徑為，由弧長(zhǎng)公式可得：lABr.答案B8函數(shù)y的定義域?yàn)開解析2cosx10，cosx.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，x(kZ)答案(kZ)【知識(shí)要點(diǎn)】1角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著_端點(diǎn)_從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形(2)分類(3)終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S|k·360°，kZ2弧度制的定義和公式(1)定義：把長(zhǎng)度等于_半徑長(zhǎng)_的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式角的弧度數(shù)公式|(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算1°rad；1rad°弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l_|r_扇形面積公式S_lr_|r2_3.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么_y_叫做的正弦，記作sin_x_叫做的余弦，記作cos_叫做的正切，記作tan各象限符號(hào)三角函數(shù)線有向線段_MP_為正弦線有向線段_OM_為余弦線有向線段_AT_為正切線表中M：垂足，P：終邊與單位圓交點(diǎn)，O(0，0)，A(1，0)，T：?jiǎn)挝粓A的切線與終邊或反向延長(zhǎng)線的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p52象限角及終邊相同的角例1(1)若角45°k·180°，kZ，則角的終邊落在()A第一或第三象限B第一或第二象限C第二或第四象限D(zhuǎn)第三或第四象限解析45°k·180°，kZ，當(dāng)k0時(shí)，45°，此時(shí)為第一象限角，排除C，D；當(dāng)k1時(shí)，225°，此時(shí)是第三象限角，排除B；角的終邊落在第一或第三象限，故選A.答案A(2)(多選)若角是第二象限角，則可能是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析是第二象限角，2k<<2k，kZ，k<<k，kZ.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角答案AC(3)終邊在直線yx上，且在2，2)內(nèi)的角的集合為_解析如圖，在坐標(biāo)系中畫出直線yx，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是，在0，2)內(nèi)，終邊在直線yx上的角有兩個(gè)：，；在2，0)內(nèi)滿足條件的角有兩個(gè)：，故滿足條件的角構(gòu)成的集合為.答案小結(jié)(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角(2)確定k，(kN*)的終邊位置的方法：先寫出k或的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定k或的終邊所在位置1若是第三象限的角，則180°是第_象限角解析若是第三象限的角，則180°k·360°<<270°k·360°，kZ.所以90°k·360°<180°<k·360°，kZ，所以180°是第四象限角答案四弧度制及其應(yīng)用例2已知扇形的圓心角是，半徑為R，弧長(zhǎng)為l.(1)若75°，R12cm，求扇形的弧長(zhǎng)l和面積；(2)若扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？解析 (1)75°，l12×5(cm)所以SlR30(cm2)(2)由已知得，l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以當(dāng)R5cm時(shí)，S取得最大值25cm2，此時(shí)l10(cm)，2rad.小結(jié)1.在解決扇形問題時(shí)要注意：(1)扇形的圓心角、弧長(zhǎng)、半徑之間的關(guān)系：|.(2)扇形的面積S與圓心角、弧長(zhǎng)l、半徑r之間的關(guān)系：Sr2lr.(3)扇形的周長(zhǎng)為C2rl.2求扇形面積的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長(zhǎng)三個(gè)量中的任意兩個(gè)量2已知扇形的周長(zhǎng)是12，面積是8，則扇形的中心角的弧度數(shù)是()A1B4C1或4D2或4解析設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，則l2r12，Slr8, 解得r2，l8或r4，l4，4或1，故選C.答案C三角函數(shù)的定義例3(1)設(shè)角是第二象限角，P(x，4)為其終邊上的一點(diǎn)，且cosx，則sin()A.BC.D解析由題意可得x0，r|OP|，故cos.再由cosx可得x3，sin.答案A(2)已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y2x上，則cos2()ABC.D.解析設(shè)P(t，2t)(t0)為角終邊上任意一點(diǎn)，則cos.當(dāng)t>0時(shí)，cos；當(dāng)t<0時(shí)，cos.因此cos22cos211.答案B(3)函數(shù)ylg(2sinx1)的定義域?yàn)開解析要使原函數(shù)有意義，必須有即如圖，在單位圓中作出相應(yīng)的三角函數(shù)線，由圖可知，原函數(shù)的定義域?yàn)?(kZ)答案(kZ)小結(jié)用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況(1)已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解；(2)已知角的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求解3角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，則sincos_解析根據(jù)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，可得x，y，r1，cos，sin，則sincos×2.答案24已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x，6)，且cos，則_解析角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x，6)，且cos，cos，解得x或x(舍去)，P，sin，tan，則.答案對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p53(2017·北京理)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱若sin，則cos()_解析因?yàn)楹完P(guān)于y軸對(duì)稱，所以2k，那么sinsin，coscos，這樣cos()coscossinsincos2sin22sin21.答案11