（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第14講 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識(shí)體系p37第14講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算【課程要求】1了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景2理解導(dǎo)數(shù)的意義及幾何意義3能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)yC(C為常數(shù))，yx，yx2，yx3，y，y的導(dǎo)數(shù)4能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行某些函數(shù)的求導(dǎo)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p37【基礎(chǔ)檢測】1判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)f(x0)與f(x0)表示的意義相同()(2)f(x0)是導(dǎo)函數(shù)f(x)在xx0處的函數(shù)值()(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)()(4)因?yàn)?lnx)，所以lnx()(5)ycos3x由函數(shù)ycosu，u3x復(fù)合而成()答案 (1)×(2)(3)(4)×(5)2選修22p11B組T1個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s1tt2，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在5秒末的瞬時(shí)速度是()A6米/秒B7米/秒C8米/秒D9米/秒解析物體的運(yùn)動(dòng)方程為s1tt2, s12t，s|t59.答案D3選修22p18練習(xí)T2下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A.1B(log2x)C(3x)3xlog3eD(x2cosx)2sinx解析x1；(3x)3xln3；(x2cosx)(x2)cosxx2(cosx)2xcosxx2sinx.答案B4選修22p18A組T7曲線y在點(diǎn)M處的切線方程為_解析由已知y，所以曲線y在點(diǎn)M處的切線方程為y，即xy0.答案xy05已知直線yx1是函數(shù)f(x)·ex圖象的切線，則實(shí)數(shù)a_解析設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則f(x0)·ex01，ex0a，又·ex0x01，x02，ae2.答案e26若函數(shù)f(x)f(1)ex1f(0)xx2，則f(1)_解析f(x)f(1)ex1f(0)2x，則f(1)f(1)f(0)2，所以f(0)2，故f(x)f(1)ex12xx2，則有f(0)f(1)e1，解得f(1)2e.答案2e【知識(shí)要點(diǎn)】1平均變化率及瞬時(shí)變化率及導(dǎo)數(shù)的概念(1)函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率用_表示，且.(2)函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0).(3)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)：稱函數(shù)f(x)_lim_為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(4)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義幾何意義：函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線yf(x)上_點(diǎn)(x0，f(x0)處切線_的斜率k，即k_f(x0)_；切線方程為_yf(x0)f(x0)(xx0)_物理意義：若物體位移隨時(shí)間變化的關(guān)系為sf(t)，則f(t0)是物體運(yùn)動(dòng)在tt0時(shí)刻的_瞬時(shí)速度_2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)xn(nQ*)f(x)_n·xn1_f(x)sinxf(x)_cos_x_f(x)cosxf(x)_sin_x_f(x)ax(a>0)f(x)_axln_a_f(x)exf(x)_ex_f(x)logax(a>0，且a1)f(x)_f(x)lnxf(x)_3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)f(x)±g(x)_f(x)±g(x)_；(2)f(x)·g(x)_f(x)·g(x)f(x)·g(x)_；(3)_(g(x)0)_4復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)對(duì)于兩個(gè)函數(shù)yf(u)和ug(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這兩個(gè)函數(shù)(函數(shù)yf(u)和ug(x)的復(fù)合函數(shù)為yf(g(x)(2)復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為_yxyu·ux_，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p38導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及應(yīng)用例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)y3xex2xe；(3)y.解析 (1)y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，y18x210x4.(2)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln33xex2xln2(ln31)·(3e)x2xln2.(3)y.小結(jié)1.應(yīng)用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行導(dǎo)數(shù)計(jì)算時(shí)應(yīng)注意：公式(xn)nxn1中，n為有理數(shù)；公式(ax)axlna，(logax)與(ex)ex，(lnx)，清楚地區(qū)分和熟記2求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)；遇到函數(shù)的商的形式時(shí)，如能化簡則化簡，這樣可避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx2sinx；(2)y.解析 (1)y(x2)sinxx2(sinx)2xsinxx2cosx.(2)y.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y；(2)yxsincos；(3)yx.解析 (1)設(shè)u13x，則yu4，yxyu·ux(u4)u·(13x)x4u5·(3)12u5.(2)yxsincosxsin(4x)xsin4x，ysin4xx·4cos4xsin4x2xcos4x.(3)y(x)x·x·().小結(jié)1.掌握求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般步驟：(1)分清復(fù)合關(guān)系，適當(dāng)選定中間變量，正確分解關(guān)系；(2)分層求導(dǎo)，弄清每一步中是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)數(shù)2復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算關(guān)鍵是聯(lián)想基本初等函數(shù)，準(zhǔn)確地通過中間量對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分拆，同時(shí)最后結(jié)果是關(guān)于x的函數(shù)解析式2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y(2x1)5；(2)ysin2.解析 (1)設(shè)u2x1，則yu5，yyu·ux(u5)u·(2x1)x5u4·25(2x1)4·210(2x1)4.(2)y2sin·2sin·cos·2sin·cos·22sin.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用例3(1)若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，f(x)exlnxx3f(1)，則f(1)_解析由已知可得f(x)ex3x2f(1)，故f(1)e3f(1)，解得f(1).答案(2)已知f(x)x2sin，f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則f(x)的圖象是()解析f(x)x2sinx2cosx，f(x)xsinx，它是一個(gè)奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除B，D.又f(x)cosx，當(dāng)x時(shí)，cosx，f(x)0，故函數(shù)yf(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故排除C，選A.答案A小結(jié)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是所有導(dǎo)數(shù)問題的基礎(chǔ)，高考中直接考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的題目較少，但凡是涉及導(dǎo)數(shù)的問題不用計(jì)算導(dǎo)數(shù)的也極其罕見因此，必須牢牢掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則3已知函數(shù)f(x)(x22)(ax2b)，且f(1)2，則f(1)()A1B2C2D0解析f(x)(x22)(ax2b)ax4(2ab)x22b，f(x)4ax32(2ab)x為奇函數(shù)，所以f(1)f(1)2.答案B4已知f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f(x)ex(2x2)f(x)，f(0)1，則()Af(x)ex(x1) Bf(x)ex(x1)Cf(x)ex(x1)2Df(x)ex(x1)2解析令G(x)，則G(x)2x2，可設(shè)G(x)x22xc，G(0)f(0)1.c1.f(x)(x22x1)exex(x1)2.答案D導(dǎo)數(shù)的幾何意義例4(1)曲線f(x)x3x3在點(diǎn)P處的切線平行于直線y2x1，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()A(1，3) B(1，3)C(1，3)和(1，3) D(1，3)解析f(x)3x21，令f(x)2，則3x212，解得x1或x1，P(1，3)或(1，3)，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(1，3)，(1，3)均不在直線y2x1上，故選C.答案C(2)已知f(x)lnx，g(x)x2mx(m<0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點(diǎn)為(1，f(1)，則m的值為()A1B3C4D2解析f(x)，直線l的斜率為kf(1)1，又f(1)0，切線l的方程為yx1.g(x)xm，設(shè)直線l與g(x)的圖象的切點(diǎn)為(x0，y0)，則有解得m2.答案D小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)幾何意義基本題型：(1)是求曲線的切線方程，其關(guān)鍵是理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并能準(zhǔn)確求導(dǎo)；(2)是求切點(diǎn)坐標(biāo)，其思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后讓導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率，從而得出切線方程或求出切點(diǎn)坐標(biāo)； (3)是求參數(shù)的值(范圍)，其關(guān)鍵是列出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率的方程2解決此類問題的先決條件是應(yīng)先正確求導(dǎo)，再根據(jù)其他條件求解，求曲線的切線應(yīng)注意：(1)“過點(diǎn)A的曲線的切線方程”與“在點(diǎn)A處的切線方程”是不相同的，后者A必為切點(diǎn)，前者未必是切點(diǎn)； (2)曲線在某點(diǎn)處的切線若有則只有一條，曲線過某點(diǎn)的切線往往不止一條；切線與曲線的公共點(diǎn)不一定只有一個(gè)5設(shè)曲線y在點(diǎn)處的切線與直線xay10平行，則實(shí)數(shù)a_解析因?yàn)閥，所以y|x1，由條件知1，所以a1.答案16函數(shù)g(x)x3x23lnxb(bR)在x1處的切線過點(diǎn)(0，5)，則b的值為()A.B.C.D.解析當(dāng)x1時(shí)，g(1)1bb，又g(x)3x25x，所以切線斜率kg(1)35311，從而切線方程為y11x5，由于點(diǎn)在切線上，所以b115，解得b.故選B.答案B導(dǎo)數(shù)的幾何意義的綜合應(yīng)用例5已知fln(xm)，gex.(1)m2時(shí)，證明：f<g(x)；(2)設(shè)直線l為函數(shù)f(x)上一點(diǎn)A(x0，f(x0)(0<x0<1)處的切線，若直線l也與g(x)相切，求正整數(shù)m的值解析 (1)法一：設(shè)Fgfexln(x2)，則Fex，F(xiàn)(x)遞增，且F，F(xiàn)1<0，因而F(x)在(1，0)上存在零點(diǎn)a，且F(x)在(2，a)上單調(diào)遞減，在(a，)上單調(diào)遞增，從而F(x)的最小值為Fealna>0.所以F(x)F(a)>0，即g(x)>f(x)法二：exx1ln(x2)，注意兩個(gè)等號(hào)成立條件不一致；(2)f，故f，故切線l的方程為yln(x0m)，設(shè)直線l與g(x)相切于點(diǎn)(x1，ex1)，注意到gex，從而切線斜率為ex1，因此x1ln(x0m)，而gex1，從而直線l的方程也為y，由可知ln(x0m)，故lnx01，由m為正整數(shù)可知，x0m1>0，因此解得ln，0<x0<1，構(gòu)造函數(shù)hln(0<x<1)，則h>0，當(dāng)m1時(shí)，hln為單調(diào)遞增函數(shù)，且hln22<0，從而h(x)在(0，1)上無零點(diǎn)；當(dāng)m>1時(shí)，要使得h在(0，1)上存在零點(diǎn)，則只需hlnm<0，hln>0，由h1lnm為單調(diào)遞增函數(shù)，且h1ln3>0，因此m<3；由h2(m)ln為單調(diào)遞增函數(shù)，且h2ln22<0，因此m>1；由于m為正整數(shù)，且1<m<3，因此m2.小結(jié)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是高考考查的熱點(diǎn)問題，應(yīng)特別注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”意義完全不一樣，前者點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，而后者點(diǎn)P一定是切點(diǎn)，且在曲線上7已知函數(shù)fe2x，aR.(1)當(dāng)a4時(shí)，求證：過點(diǎn)P有三條直線與曲線yf相切；(2)當(dāng)x0時(shí)，f10，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析 (1)當(dāng)a4時(shí)，fe2x，f4e2x.設(shè)過點(diǎn)P的直線與曲線yf相切于點(diǎn)，則切線方程為yff，將點(diǎn)P代入得ff，即e2x04e2x0，又e2x0>0，得8x14x010，令g8x314x1，g24x21424，所以函數(shù)g在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且g35<0，g1>0，g5<0，g37>0，所以g8x314x1在區(qū)間，上均有一個(gè)零點(diǎn)，故過點(diǎn)P有三條直線與曲線yf相切(2)因?yàn)楫?dāng)x0時(shí)，f10，即當(dāng)x0時(shí)，e2x1，所以當(dāng)x0時(shí)，ax22x10，設(shè)hax22x1，則h2ax22，設(shè)max1，則ma.當(dāng)a2時(shí)，由x0得2，從而m0，(當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立)，所以max1在區(qū)間上單調(diào)遞增，又m0，所以當(dāng)x0時(shí)，m0，從而當(dāng)x0時(shí)，h0，所以hax22x1在區(qū)間上單調(diào)遞減，又h0，所以當(dāng)x0時(shí)，h0，即ax22x10，所以當(dāng)x0時(shí)，f10；當(dāng)a<2時(shí)，令m0，得a0，xln<0，故當(dāng)x時(shí)，m<0，max1在上單調(diào)遞減，又m0，當(dāng)x時(shí)，m0，從而當(dāng)x時(shí)，h0，hax22x1在上單調(diào)遞增，又h0，從而當(dāng)x時(shí)，h<0，即ax22x1<0，于是當(dāng)x時(shí)，f1<0，綜合得a的取值范圍是.對(duì)應(yīng)學(xué)生用書p401(2019·全國卷理)曲線y3(x2x)ex在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為_解析y3(2x1)ex3(x2x)ex3(x23x1)ex，所以切線的斜率ky|x03，則曲線y3(x2x)ex在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為y3x，即3xy0.答案3xy02(2019·全國卷理)已知函數(shù)flnx.(1)討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線ylnx在點(diǎn)A(x0，lnx0)處的切線也是曲線yex的切線解析 (1)f(x)的定義域?yàn)?0，1)(1，)因?yàn)閒(x)>0，所以f(x)在(0，1)，(1，)單調(diào)遞增因?yàn)閒(e)1<0，f(e2)2>0，所以f(x)在(1，)有唯一零點(diǎn)x1，即f(x1)0.又0<<1，flnx1f(x1)0，故f(x)在(0，1)有唯一零點(diǎn).綜上，f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)(2)因?yàn)閑lnx0，故點(diǎn)B在曲線yex上由題設(shè)知f(x0)0，即lnx0，故直線AB的斜率k.曲線yex在點(diǎn)B處切線的斜率是，曲線ylnx在點(diǎn)A(x0，lnx0)處切線的斜率也是，所以曲線ylnx在點(diǎn)A(x0，lnx0)處的切線也是曲線yex的切線13