（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第38講 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題導(dǎo)學(xué)案 新人教A版

第38講二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題【課程要求】1會從實際情境中抽象出二元一次不等式組，了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組，會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決2掌握確定平面區(qū)域的方法，理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，注意線性規(guī)劃問題與其他知識的綜合對應(yīng)學(xué)生用書p103【基礎(chǔ)檢測】1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的交集()(2)不等式AxByC>0表示的平面區(qū)域一定在直線AxByC0的上方()(3)點(x1，y1)，(x2，y2)在直線AxByC0同側(cè)的充要條件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)>0，異側(cè)的充要條件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)<0.()(4)第二、四象限表示的平面區(qū)域可以用不等式xy<0表示()(5)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是唯一的()(6)最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解()(7)目標(biāo)函數(shù)zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axbyz0在y軸上的截距()答案 (1)(2)×(3)(4)(5)×(6)(7)×2必修5p86T3不等式組表示的平面區(qū)域是()解析x3y60表示直線x3y60及其右下方部分，xy2<0表示直線xy20的左上方部分，故不等式組表示的平面區(qū)域為選項B中的陰影部分答案B3必修5p91T2投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元，需場地200平方米；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金300萬元，需場地100平方米現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場地900平方米，則上述要求可用不等式組表示為_(用x，y分別表示生產(chǎn)A，B產(chǎn)品的噸數(shù)，x和y的單位是百噸)解析用表格列出各數(shù)據(jù)AB總數(shù)產(chǎn)品噸數(shù)xy資金200x300y1400場地200x100y900所以不難看出，x0，y0，200x300y1400，200x100y900.答案4(多選)下列各點中，不在xy10表示的平面區(qū)域內(nèi)的是()A(0，0) B(1，1)C(1，3) D(2，3)解析把各點的坐標(biāo)代入可得(1，1)，(1，3)不適合，故選BC.答案BC5已知x，y滿足若使得zaxy取最大值的點(x，y)有無數(shù)個，則a的值為_解析先根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影部分所示，當(dāng)直線zaxy和直線AB重合時，z取得最大值的點(x，y)有無數(shù)個，akAB1，a1.答案1【知識要點】1二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)二元一次不等式AxByC>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線AxByC0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域(半平面)，_不包括_邊界直線不等式AxByC0所表示的平面區(qū)域(半平面)_包括_邊界直線(2)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線AxByC0(B不為0)及點P(x0，y0)，若B>0，Ax0By0C>0，則點P(x0，y0)在直線的上方，此時不等式AxByC>0表示直線AxByC0的上方的區(qū)域若B>0，Ax0By0C<0，則點P(x0，y0)在直線的下方，此時不等式AxByC<0表示直線AxByC0的下方的區(qū)域若是二元一次不等式組，則其平面區(qū)域是所有平面區(qū)域的公共部分2線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義約束條件目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿足的不等式組線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(或方程)組目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的函數(shù)_解析式_名稱意義可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行解組成的集合線性目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù)最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得_最大值或最小值_的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的_最大值_或_最小值_3.常見簡單的二元線性規(guī)劃實際問題一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們完成最多的任務(wù)；二是給定一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務(wù)解線性規(guī)劃問題的一般步驟：審題、設(shè)元_列出約束條件_(通常為不等式組)建立_目標(biāo)函數(shù)_作出_可行域_求_最優(yōu)解_對應(yīng)學(xué)生用書p104二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域例1(1)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為()A4B1C5D無窮大解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，ABC的面積即所求求出點A，B，C的坐標(biāo)分別為A(1，2)，B(2，2)，C(3，0)，則ABC的面積為S×(21)×21.答案B(2)如圖陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示為_解析兩直線方程分別為x2y20與xy10.由(0，0)點在直線x2y20右下方可知x2y20，又(0，0)點在直線xy10左下方，可知xy10，即為陰影部分所表示的可行域答案小結(jié)確定二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的方法：(1)“直線定界，特殊點定域”，即先作直線，再取特殊點代入不等式組若滿足不等式組，則不等式(組)表示的平面區(qū)域為直線與特殊點同側(cè)的那部分區(qū)域；否則就對應(yīng)于特殊點異側(cè)的平面區(qū)域(2)當(dāng)不等式中帶等號時，邊界為實線；不帶等號時，邊界應(yīng)畫為虛線，特殊點常取原點1已知約束條件表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則實數(shù)k的值為()A1B1C0D2解析作出約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，要使陰影部分為直角三角形，當(dāng)k0時，此三角形的面積為×3×31，所以不成立，所以k>0，則必有BCAB，因為xy40的斜率為1，所以直線kxy0的斜率為1，即k1，故選A.答案A求目標(biāo)函數(shù)的最值例2(1)(2017·全國卷文)設(shè)x，y滿足約束條件則zxy的取值范圍是()A3，0 B3，2C0，2 D0，3解析作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線l0：yx，平移直線l0，當(dāng)直線zxy過點A(2，0)時，z取得最大值2，當(dāng)直線zxy過點B(0，3)時，z取得最小值3，所以zxy的取值范圍是3，2答案B(2)已知實數(shù)x，y滿足約束條件則zx2y2的取值范圍是()A1，13 B1，4C.D.解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由此得zx2y2的最小值為點O到直線BC：2xy20的距離的平方，zmin；最大值為點O與點A(2，3)的距離的平方，zmax|OA|213.答案C小結(jié)(1)先準(zhǔn)確作出可行域，再借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最值(2)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是非線性的函數(shù)時，常利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義來解題，常見代數(shù)式的幾何意義有：表示點(x，y)與原點(0，0)的距離，表示點(x，y)與點(a，b)的距離；表示點(x，y)與原點(0，0)連線的斜率，表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率(3)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時，要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足的條件2已知實數(shù)x，y滿足約束條件則z的取值范圍是()A.B.C.D.解析不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，z表示點D(2，3)與平面區(qū)域內(nèi)的點(x，y)之間連線的斜率因為點D(2，3)與點B(8，1)連線的斜率為且C的坐標(biāo)為(2，2)，故由圖知，z的取值范圍為，故選B.答案B例3(1)若實數(shù)x，y滿足不等式組且xy的最大值為9，則實數(shù)m()A2B1C1D2解析令zxy，則yxz，z表示斜率為1的直線在y軸上的截距當(dāng)z最大值為9時，yxz過點A，因此xmy10過點A，所以m1.答案C(2)已知實數(shù)x，y滿足若zyax取得最大值時的最優(yōu)解有無數(shù)個，則a的值為_解析依題意，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示要使目標(biāo)函數(shù)zyax取得最大值時的最優(yōu)解有無數(shù)個，則直線zyax必平行于直線yx10，于是a1.答案1小結(jié)線性規(guī)劃問題是在約束條件是線性的、目標(biāo)函數(shù)也是線性的情況下的一類最優(yōu)解問題，在約束條件是線性的情況下，線性目標(biāo)函數(shù)只在可行域的頂點或者邊界上取得最值；當(dāng)求解目標(biāo)中含有參數(shù)時，要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足的條件3已知x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z3xy的最大值為10，則z的最小值為_解析畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作直線l：3xy0，平移l，從而可知經(jīng)過C點時z取到最大值，由解得2×31m0，m5.由圖知，平移l經(jīng)過B點時，z最小，當(dāng)x2，y2×251時，z最小，zmin3×215.答案5線性規(guī)劃的實際應(yīng)用例4某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為_元解析設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，由已知可得約束條件為即目標(biāo)函數(shù)為z2100x900y，由約束條件作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示作直線2100x900y0，即7x3y0，當(dāng)直線經(jīng)過點M時，z取得最大值，聯(lián)立解得M(60，100)則zmax2100×60900×100216000(元)答案216000小結(jié)解答線性規(guī)劃應(yīng)用題的一般步驟可歸納為：(1)審題仔細(xì)閱讀，明確有哪些限制條件，目標(biāo)函數(shù)是什么；(2)轉(zhuǎn)化設(shè)元，寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù)；(3)求解關(guān)鍵是明確目標(biāo)函數(shù)所表示的直線與可行域邊界直線斜率間的關(guān)系；(4)作答就應(yīng)用題提出的問題作出回答4某旅行社租用A，B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1600元/輛和2400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為()A31200元B36000元C36800元D38400元解析設(shè)旅行社租用A型客車x輛，B型客車y輛，租金為z，則線性約束條件為目標(biāo)函數(shù)為z1600x2400y.畫出可行域如圖中陰影部分所示，可知目標(biāo)函數(shù)過點N時，取得最小值，由解得故N(5，12)，故zmin1600×52400×1236800(元)答案C對應(yīng)學(xué)生用書p1051(2018·全國卷理)若x，y滿足約束條件則z3x2y的最大值為_解析作出可行域如圖所示，作出直線3x2y0，并平移該直線，當(dāng)直線過點A(2，0)時，目標(biāo)函數(shù)z3x2y取得最大值，且zmax3×22×06.答案62(2017·全國卷理)設(shè)x，y滿足約束條件則z2xy的最小值是()A15B9C1D9解析y2xz，其中z表示斜率為k2的直線系與可行域有交點時直線的截距值，數(shù)形結(jié)合可得目標(biāo)函數(shù)在點B(6，3)處取得最小值z12315，故選A.答案A12