2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 第七節(jié) 拋物線學(xué)案 文（含解析）新人教A版

第七節(jié)拋物線2019考綱考題考情1拋物線的概念平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(Fl)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)注：拋物線上P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)。拋物線焦點(diǎn)弦的4個(gè)常用結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y22px(p0)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2，y1y2p2。(2)弦長(zhǎng)|AB|x1x2p(為弦AB的傾斜角)。(3)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。(4)過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)等于2p(通徑)。一、走進(jìn)教材1(選修11P63練習(xí)T1改編)過點(diǎn)P(2,3)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ay2x或x2yBy2x或x2yCy2x或x2yDy2x或x2y解析設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2kx或x2my，代入點(diǎn)P(2,3)，解得k，m，所以y2x或x2y。故選A。答案A2(選修11P64A組T3改編)拋物線y28x上到其焦點(diǎn)F距離為5的點(diǎn)P有()A0個(gè) B1個(gè)C2個(gè) D4個(gè)解析設(shè)P(x1，y1)，則|PF|x125，y8x1，所以x13，y1±2。故滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)。故選C。答案C二、走近高考3(2018·北京高考)已知直線l過點(diǎn)(1,0)且垂直于x軸。若l被拋物線y24ax截得的線段長(zhǎng)為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_。解析由題意知，直線l的方程為x1且a>0，對(duì)于y24ax，當(dāng)x1時(shí)，y±2，由于l被拋物線y24ax截得的線段長(zhǎng)為4，所以44，所以a1，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)。答案(1,0)4(2017·天津高考)設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l。已知點(diǎn)C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A。若FAC120°，則圓的方程為_。解析由拋物線的方程可知F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1，設(shè)點(diǎn)C(1，t)，t>0，則圓C的方程為(x1)2(yt)21，因?yàn)镕AC120°，CAy軸，所以O(shè)AF30°，在AOF中，OF1，所以O(shè)A，即t，故圓C的方程為(x1)2(y)21。答案(x1)2(y)21三、走出誤區(qū)微提醒：忽視p的幾何意義；忽視k0的討論；易忽視焦點(diǎn)的位置出現(xiàn)錯(cuò)誤。5已知拋物線C與雙曲線x2y21有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線C的方程是()Ay2±2xBy2±2xCy2±4xDy2±4x解析由已知可知雙曲線的焦點(diǎn)為(，0)，(，0)。設(shè)拋物線方程為y2±2px(p>0)，則，所以p2，所以拋物線方程為y2±4x。故選D。答案D6設(shè)拋物線y28x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是_。解析Q(2,0)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不滿足題意，故設(shè)直線l的方程為yk(x2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，當(dāng)k0時(shí)，l與拋物線有公共點(diǎn)；當(dāng)k0時(shí)，64(1k2)0得1k<0或0<k1。綜上，1k1。答案1,17若拋物線的焦點(diǎn)在直線x2y40上，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_。解析令x0，得y2；令y0，得x4。所以拋物線的焦點(diǎn)是(4,0)或(0，2)，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216x或x28y。答案y216x或x28y考點(diǎn)一拋物線的定義及應(yīng)用【例1】(1)已知拋物線x24y上一點(diǎn)A縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)A到拋物線焦點(diǎn)的距離為()AB4C5 D(2)已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為C上一點(diǎn)，PQ垂直l于點(diǎn)Q，M，N分別為PQ，PF的中點(diǎn)，MN與x軸相交于點(diǎn)R，若NRF60°，則|FR|等于()AB1C2 D4解析(1)拋物線x24y的準(zhǔn)線方程為y1，點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為5，根據(jù)拋物線定義可知點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為5。故選C。(2)因?yàn)镸，N分別是PQ，PF的中點(diǎn)，所以MNFQ，且PQx軸。又NRF60°，所以FQP60°。由拋物線定義知|PQ|PF|，所以FQP為正三角形。則FMPQ，所以|QM|p2，正三角形邊長(zhǎng)為4。因?yàn)閨PQ|4，|FN|PF|2，且FRN為正三角形，所以|FR|2。故選C。答案(1)C(2)C利用拋物線的定義解決問題時(shí)，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與其到準(zhǔn)線距離間的等價(jià)轉(zhuǎn)化?！翱吹綔?zhǔn)線應(yīng)該想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)應(yīng)該想到準(zhǔn)線”，這是解決拋物線距離有關(guān)問題的有效途徑?！咀兪接?xùn)練】(1)(2019·重慶調(diào)研)已知點(diǎn)F是拋物線y24x的焦點(diǎn)，P是該拋物線上任意一點(diǎn)，M(5,3)，則|PF|PM|的最小值是()A6 B5C4 D3(2)如果點(diǎn)P1，P2，P3，P10是拋物線y22x上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為x1，x2，x3，x10，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，若x1x2x3x105，則|P1F|P2F|P3F|P10F|_。解析(1)由題意知，拋物線的準(zhǔn)線l的方程為x1，過點(diǎn)P作PEl于點(diǎn)E，由拋物線的定義，得|PE|PF|，易知當(dāng)P，E，M三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，|PF|PM|取得最小值，即(|PF|PM|)min5(1)6。故選A。(2)由拋物線的定義可知，拋物線y22px(p>0)上的點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離|PF|x0，在y22x中，p1，所以|P1F|P2F|P10F|x1x2x105p10。答案(1)A(2)10考點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】如圖，過拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為()Ay29xBy26xCy23xDy2x解析如圖，過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|a，則由已知得|BC|2a，由拋物線定義得|BD|a，故BCD30°，在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AE|AF|3，|AC|33a,2|AE|AC|，所以33a6，從而得a1，|FC|3a3，所以p|FG|FC|，因此拋物線的方程為y23x，故選C。答案C求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)注意以下幾點(diǎn)1當(dāng)坐標(biāo)系已建立時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程屬于四種類型中的哪一種。2要注意把握拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、開口方向與方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。3要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用它的幾何意義來(lái)解決問題?！咀兪接?xùn)練】(1)(2019·湖北聯(lián)考)已知拋物線y22px(p>0)，點(diǎn)C(4,0)，過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若CAB的面積為24，則以直線AB為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()Ay24xBy24xCy28xDy28x(2)已知雙曲線C1：1(a>0，b>0)的離心率為2，若拋物線C2：x22py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程是()Ax216yBx28yCx2yDx2y解析(1)因?yàn)锳Bx軸，且AB過點(diǎn)F，所以AB是焦點(diǎn)弦，且|AB|2p，所以SCAB×2p×24，解得p4或12(舍)，所以拋物線方程為y28x，所以直線AB的方程為x2，所以以直線AB為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x。故選D。(2)因?yàn)殡p曲線C1：1(a>0，b>0)的離心率為2，所以2。因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為bx±ay0，拋物線C2：x22py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為2，所以·2，解得p8，所以拋物線C2的方程是x216y。答案(1)D(2)A考點(diǎn)三拋物線的幾何性質(zhì)【例3】(2019·山西八校聯(lián)考)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)N在x軸上且在點(diǎn)F的右側(cè)，線段FN的垂直平分線l與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為M，直線MN的傾斜角為135°，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線OM的斜率為()A22 B21C1 D34解析設(shè)點(diǎn)M(m>0)，因?yàn)辄c(diǎn)M在FN的垂直平分線上且點(diǎn)N在焦點(diǎn)F的右側(cè)，所以N，又MN的傾斜角為135°，所以kMN1，解得m(1)p，所以點(diǎn)M，所以直線OM的斜率為22。故選A。解析：如圖，設(shè)直線L為拋物線的準(zhǔn)線，過點(diǎn)M向準(zhǔn)線引垂線，垂足為A，交y軸于點(diǎn)B，設(shè)|MF|t，因?yàn)辄c(diǎn)M在FN的垂直平分線上，且直線MN的傾斜角為135°，所以直線MF的傾斜角為45°，由拋物線的定義得t|MA|pt，即t(2)p，所以|OB|t(1)p，|BM|t，設(shè)直線OM的傾斜角為，則OMB，所以直線OM的斜率為tan22。故選A。答案A解析幾何的核心思想是數(shù)形結(jié)合思想，如本題中：點(diǎn)在拋物線上即點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，直線的斜率是傾斜角的正切值，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等?！咀兪接?xùn)練】如圖，拋物線W：y24x與圓C：(x1)2y225交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為劣弧上不同于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與x軸平行的直線PQ交拋物線W于點(diǎn)Q，則PQC的周長(zhǎng)的取值范圍是()A(10,12) B(12,14)C(10,14) D(9,11)解析由題意得，拋物線W的準(zhǔn)線l：x1，焦點(diǎn)為C(1,0)，由拋物線的定義可得|QC|xQ1，圓(x1)2y225的圓心為(1,0)，半徑為5，故PQC的周長(zhǎng)為|QC|PQ|PC|xQ1(xPxQ)56xP。聯(lián)立，得得A(4,4)，則xP(4,6)，故6xP(10,12)，故PQC的周長(zhǎng)的取值范圍是(10,12)。故選A。解析：平移直線PQ，當(dāng)點(diǎn)A在直線PQ上時(shí)，屬于臨界狀態(tài)，此時(shí)結(jié)合|CA|5可知PQC的周長(zhǎng)趨于2×510；當(dāng)直線PQ與x軸重合時(shí)，屬于臨界狀態(tài)，此時(shí)結(jié)合圓心坐標(biāo)(1,0)及圓的半徑為5可知PQC的周長(zhǎng)趨于2×(15)12。綜上，PQC的周長(zhǎng)的取值范圍是(10,12)。故選A。答案A考點(diǎn)四直線與拋物線的位置關(guān)系【例4】(2018·全國(guó)卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|8。(1)求l的方程；(2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程。解(1)由題意得F(1,0)，l的方程為yk(x1)(k>0)。設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)。由得k2x2(2k24)xk20。16k216>0，故x1x2。所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)。由題設(shè)知8，解得k1(舍去)，k1。因此l的方程為yx1。(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5。設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144。(1)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1x2|p(或|AB|y1y2|p)，若不過焦點(diǎn)，則必須使用一般的弦長(zhǎng)公式；(2)求圓的方程主要是確定圓心坐標(biāo)與半徑；(3)涉及直線與圓相交所得弦長(zhǎng)問題通常是利用公式L2來(lái)求解，其中R為圓的半徑，d為圓心到直線的距離。【變式訓(xùn)練】(2019·濰坊市統(tǒng)一考試)已知拋物線y24x與直線2xy30相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA，OB的斜率分別為k1，k2，則的值為()ABCD解析設(shè)A，B，易知y1y20，則k1，k2，所以，將x代入y24x，得y22y60，所以y1y22，。故選D。答案D1(配合例1使用)設(shè)拋物線y22x的焦點(diǎn)為F，過F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，則|AF|4|BF|的最小值為_。解析易知拋物線y22x的焦點(diǎn)為F。當(dāng)ABx軸時(shí)，|AF|4|BF|145；當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，可設(shè)直線AB的方程為yk，代入拋物線方程得4k2x2(4k28)xk20，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21，x1x2，所以|AF|4|BF|x14x14x22，當(dāng)且僅當(dāng)x14x21，即x11，x2時(shí)，|AF|4|BF|取得最小值。答案2(配合例2使用)已知拋物線E：y22px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為1的直線交E于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，其垂直平分線交x軸于點(diǎn)C，MNy軸于點(diǎn)N。若四邊形CMNF的面積等于7，則拋物線E的方程為()Ay2xBy22x Cy24xDy28x解析由題意，得F，直線AB的方程為yx，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，聯(lián)立yx和y22px得，y22pyp20，則y1y22p，所以y0p。故N(0，p)，又因?yàn)辄c(diǎn)M在直線AB上，所以x0，即M，因?yàn)镸CAB，所以kAB·kMC1，故kMC1，從而直線MC的方程為yxp，令y0，得xp，故C，四邊形CMNF是梯形，則S四邊形CMNF(|MN|CF|)·|NO|·pp27，所以p24，又p>0，所以p2，故拋物線E的方程為y24x。故選C。答案C3(配合例3使用)已知直線yk(x2)(k>0)與拋物線C：y28x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)。若|FA|2|FB|，則k()ABCD解析設(shè)拋物線C：y28x的準(zhǔn)線為l，易知l：x2，直線yk(x2)恒過定點(diǎn)P(2,0)，如圖，過A，B分別作AMl于點(diǎn)M，BNl于點(diǎn)N，由|FA|2|FB|，知|AM|2|BN|，所以點(diǎn)B為線段AP的中點(diǎn)，連接OB，則|OB|AF|，所以|OB|BF|，所以點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，因?yàn)閗>0，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2)，所以k。故選D。答案D11