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(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題跟蹤檢測(十三)圓錐曲線的方程與性質(zhì) 理(重點(diǎn)生含解析)

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(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題跟蹤檢測(十三)圓錐曲線的方程與性質(zhì) 理(重點(diǎn)生含解析)

(通用版)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題跟蹤檢測(十三)圓錐曲線的方程與性質(zhì) 理(重點(diǎn)生,含解析)1直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),若橢圓中心到l的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為()A.BC. D解析:選B不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)B(0,b)和一個(gè)焦點(diǎn)F(c,0),則直線l的方程為1,即bxcybc0.由題意知×2b,解得,即e.故選B2(2019屆高三·湖南長郡中學(xué)模擬)已知F為雙曲線C:1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),其關(guān)于雙曲線C的一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在另一條漸近線上,則雙曲線C的離心率為()A. BC2 D解析:選C依題意,設(shè)雙曲線的漸近線yx的傾斜角為,則有3,tan ,雙曲線C的離心率e 2.3(2019屆高三·南寧、柳州名校聯(lián)考)已知雙曲線1(b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y28x的焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±3x Dy±x解析:選B由題意知,拋物線的焦點(diǎn)是(2,0),即雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0),則c2,且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,所以3b22,即b1,于是雙曲線的漸近線方程為y±x.4(2018·昆明調(diào)研)過拋物線C:y22px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),過線段AB的中點(diǎn)N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M,若|MN|AB|,則l的傾斜角為()A15° B30°C45° D60°解析:選B分別過A,B,N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為A,B,Q,由拋物線的定義知|AF|AA|,|BF|BB|,|NQ|(|AA|BB|)|AB|,因?yàn)閨MN|AB|,所以|NQ|MN|,所以MNQ60°,即直線MN的傾斜角為120°,又直線MN與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角,所以直線l的傾斜角為30°.5(2018·南昌模擬)已知F1,F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),P是它們的一個(gè)公共點(diǎn),且F1PF2,則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為()A. BC1 D解析:選B如圖,設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓和雙曲線的左、右焦點(diǎn),P是第一象限的點(diǎn),橢圓的長半軸長為a1,雙曲線的實(shí)半軸長為a2,則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得|PF1|PF2|2a1,|PF1|PF2|2a2,|PF1|a1a2,|PF2|a1a2.設(shè)|F1F2|2c,又F1PF2,則在PF1F2中,由余弦定理得,4c2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos ,化簡得(2)a(2)a4c2,設(shè)橢圓的離心率為e1,雙曲線的離心率為e2,4,又2,4,即e1·e2,橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為.6(2018·長春質(zhì)檢)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)F1,F(xiàn)2分別是雙曲線x2y21的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線上任意一點(diǎn),過點(diǎn)F1作F1PF2的平分線的垂線,垂足為H,則|OH|()A1 B2C4 D解析:選A不妨設(shè)P在雙曲線的左支,如圖,延長F1H交PF2于點(diǎn)M,由于PH既是F1PF2的平分線又垂直于F1M,故PF1M為等腰三角形,|PF1|PM|且H為F1M的中點(diǎn),所以O(shè)H為MF1F2的中位線,所以|OH|MF2|(|PF2|PM|)(|PF2|PF1|)1.7已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為,E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y28x的焦點(diǎn)重合,A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn),則|AB|_.解析:拋物線C:y28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),準(zhǔn)線方程為x2.從而橢圓E的半焦距c2.可設(shè)橢圓E的方程為1(a>b>0),因?yàn)殡x心率e,所以a4,所以b2a2c212.由題意知|AB|2×6.答案:68(2018·南寧模擬)已知橢圓1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是xy50,弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(4,1),則橢圓的離心率是_解析:設(shè)直線xy50與橢圓1相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),因?yàn)锳B的中點(diǎn)M(4,1),所以x1x28,y1y22.易知直線AB的斜率k1.由兩式相減得,0,所以·,所以,于是橢圓的離心率e.答案:9(2019屆高三·惠州調(diào)研)已知F1,F(xiàn)2是雙曲線1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),過其中一個(gè)焦點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)M,若點(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓內(nèi),則雙曲線離心率的取值范圍是_解析:如圖,不妨設(shè)F1(0,c),F(xiàn)2(0,c),則過點(diǎn)F1與漸近線yx平行的直線為yxc,聯(lián)立解得即M.因?yàn)辄c(diǎn)M在以線段F1F2為直徑的圓x2y2c2內(nèi),故22<c2,化簡得b2<3a2,即c2a2<3a2,解得<2,又雙曲線的離心率e1,所以雙曲線離心率的取值范圍是(1,2)答案:(1,2)10(2018·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)已知橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,上頂點(diǎn)為B,若BF1F2的周長為6,且點(diǎn)F1到直線BF2的距離為B(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)A1,A2是橢圓C長軸的兩個(gè)端點(diǎn),P是橢圓C上不同于A1,A2的任意一點(diǎn),直線A1P交直線xm于點(diǎn)M,若以MP為直徑的圓過點(diǎn)A2,求實(shí)數(shù)m的值解:(1)由題意得F1(c,0),F(xiàn)2(c,0),B(0,b),則2a2c6.直線BF2的方程為bxcybc0,所以b,即2ca.又a2b2c2,所以由可得a2,b,所以橢圓C的方程為1.(2)不妨設(shè)A1(2,0),A2(2,0),P(x0,y0),則直線A1P的方程為y(x2),所以M.又點(diǎn)P在橢圓C上,所以y3.若以MP為直徑的圓過點(diǎn)A2,則A2MA2P,即·0,所以·(x02,y0)(m2)(x02)(m2)(m2)(x02)(m2)(x02)0.又點(diǎn)P不同于點(diǎn)A1,A2,所以x0±2,所以m0,解得m14.11(2018·唐山模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中,長為1的線段的兩端點(diǎn)C,D分別在x軸、y軸上滑動(dòng), .記點(diǎn)P的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)經(jīng)過點(diǎn)(0,1)作直線與曲線E相交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M在曲線E上時(shí),求四邊形AOBM的面積解:(1)設(shè)C(m,0),D(0,n),P(x,y)由 ,得(xm,y)(x,ny),所以得由| |1,得m2n2(1)2,所以(1)2x2y2(1)2,整理,得曲線E的方程為x21.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由,知點(diǎn)M坐標(biāo)為(x1x2,y1y2)由題意知,直線AB的斜率存在設(shè)直線AB的方程為ykx1,代入曲線E的方程,得(k22)x22kx10,則x1x2,x1x2.y1y2k(x1x2)2.由點(diǎn)M在曲線E上,知(x1x2)21,即1,解得k22.所以|AB|x1x2|,又原點(diǎn)到直線AB的距離d,所以平行四邊形OAMB的面積S|AB|·d.12(2019屆高三·洛陽第一次統(tǒng)考)已知短軸長為2的橢圓E:1(a>b>0),直線n的橫、縱截距分別為a,1,且原點(diǎn)O到直線n的距離為.(1)求橢圓E的方程;(2)直線l經(jīng)過橢圓E的右焦點(diǎn)F且與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),若橢圓E上存在一點(diǎn)C滿足 2 0,求直線l的方程解:(1)橢圓E的短軸長為2,b1.依題意設(shè)直線n的方程為y1,由,解得a,故橢圓E的方程為y21.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),顯然不符合題意當(dāng)直線l的斜率不為0或直線l的斜率不存在時(shí),F(xiàn)(,0),設(shè)直線l的方程為xty,由消去x,得(t23)y22ty10,y1y2,y1y2, 20,x3x1x2,y3y1y2,又點(diǎn)C在橢圓E上,y221,又y1,y1,x1x2y1y20,將x1ty1,x2ty2及代入得t21,即t1或t1.故直線l的方程為xy0或xy0.二、強(qiáng)化壓軸考法拉開分1(2018·全國卷)設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線C:1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn)過F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為P.若|PF1|OP|,則C的離心率為()A. B2C. D解析:選C法一:不妨設(shè)一條漸近線的方程為yx,則F2到y(tǒng)x的距離db.在RtF2PO中,|F2O|c,所以|PO|a,所以|PF1|a,又|F1O|c,所以在F1PO與RtF2PO中,根據(jù)余弦定理得cosPOF1cosPOF2,即3a2c2(a)20,得3a2c2,所以e.法二:如圖,過點(diǎn)F1向OP的反向延長線作垂線,垂足為P,連接PF2,由題意可知,四邊形PF1PF2為平行四邊形,且PPF2是直角三角形因?yàn)閨F2P|b,|F2O|c,所以|OP|a.又|PF1|a|F2P|,|PP|2a,所以|F2P|ab,所以ca,所以e.2(2018·合肥質(zhì)檢)已知橢圓M:y21,圓C:x2y26a2在第一象限有公共點(diǎn)P,設(shè)圓C在點(diǎn)P處的切線斜率為k1,橢圓M在點(diǎn)P處的切線斜率為k2,則的取值范圍為()A(1,6) B(1,5)C(3,6) D(3,5)解析:選D由于橢圓M:y21,圓C:x2y26a2在第一象限有公共點(diǎn)P,所以解得3<a2<5.設(shè)橢圓M:y21與圓C:x2y26a2在第一象限的公共點(diǎn)P(x0,y0),則橢圓M在點(diǎn)P處的切線方程為y0y1,圓C在P處的切線方程為x0xy0y6a2,所以k1,k2,a2,所以(3,5)3(2019屆高三·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)一條動(dòng)直線l與拋物線C:x24y相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若2,則()242的最大值為()A24 B16C8 D16解析:選B由2知G是線段AB的中點(diǎn),(),()242()2()24·.由A,B是動(dòng)直線l與拋物線C:x24y的交點(diǎn),不妨設(shè)A,B,4·44164216,()242的最大值為16.4(2018·合肥檢測)已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F,直線l過點(diǎn)F交拋物線于A,B兩點(diǎn),且|AF|3|FB|.直線l1,l2分別過點(diǎn)A,B,且與x軸平行,在直線l1,l2上分別取點(diǎn)M,N(M,N分別在點(diǎn)A,B的右側(cè)),分別作ABN和BAM的角平分線并相交于點(diǎn)P,則PAB的面積為()A. BC. D解析:選C因?yàn)閽佄锞€方程為y24x,所以其焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x1,如圖所示,不妨設(shè)點(diǎn)B在x軸上方,過點(diǎn)B向l1作垂線,垂足為C.設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),因?yàn)閨AF|3|FB|,所以xA13(xB1),所以xAxB2(xB1)2|FB|,所以cosBAC,所以BAC60°,因?yàn)锳P,BP分別為BAM與ABN的角平分線,所以BAP60°,ABP30°,所以APB90°,所以|AP|2|FB|2xB2,所以SPAB|AP|AB|sin 60°×2(xB1)×4(xB1)×2(xB1)2.由BAC60°,F(xiàn)(1,0)可得直線AB的方程為y(x1),聯(lián)立解得x或x3,易知xB,所以SPAB2×2.5已知等腰梯形ABCD中,ABCD,AB2CD4,BAD60°,雙曲線以A,B為焦點(diǎn),且與線段CD(包括端點(diǎn)C,D)有兩個(gè)交點(diǎn),則該雙曲線的離心率的取值范圍是_解析:以AB所在直線為x軸,AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,過點(diǎn)O且垂直于AB的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則A(2,0),B(2,0),C(1,)設(shè)以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線方程為1(a>0,b>0),則c2.由a2b2c2,得b24a2,當(dāng)x1時(shí),y2a25.要使雙曲線與線段CD(包括端點(diǎn)C,D)有兩個(gè)交點(diǎn),則a253,解得a242或0a242,由a242得a12,舍去,a242,即0a1.雙曲線的離心率e1.即該雙曲線的離心率的取值范圍是1,)答案:1,)6(2018·洛陽統(tǒng)考)已知F1,F(xiàn)2分別為雙曲線C:1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),P(x0,y0)是雙曲線C右支上的一點(diǎn),連接PF1并過F1作垂直于PF1的直線交雙曲線左支于R,Q,其中R(x0,y0),QF1P為等腰三角形,則雙曲線C的離心率為_解析:設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),連接OP,OR,F(xiàn)2P,F(xiàn)2R,因?yàn)镻,R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以|OP|OR|,又|OF1|OF2|,PF1RQ,故四邊形F1RF2P為矩形設(shè)|PF1|m,由雙曲線的定義,得|PF2|m2a.法一:因?yàn)镼F1P為等腰直角三角形,所以|QF1|PF1|m,|PQ|m,連接QF2,則|QF2|m2a.在QPF2中,QPF245°90°135°,由余弦定理得(m2a)2(m2a)2(m)22(m2a)·m·cos 135°,化簡得m3a.在RtF1PF2中,|PF1|3a,|PF2|a,|F1F2|2c,所以(3a)2a2(2c)2,即5a22c2,即雙曲線的離心率為.法二:因?yàn)镼F1P為等腰直角三角形,所以|QF1|PF1|m,連接QF2,則在RtQRF2中,|RQ|2m2a,|RF2|m,|QF2|m2a,由勾股定理得(2m2a)2m2(m2a)2,化簡得m3a.在RtF1PF2中,|PF1|3a,|PF2|a,|F1F2|2c,所以(3a)2a2(2c)2,即5a22c2,即雙曲線的離心率為.答案:

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