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2020版高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 專(zhuān)題突破一 三角形中的隱含條件學(xué)案(含解析)新人教B版必修5

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2020版高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 專(zhuān)題突破一 三角形中的隱含條件學(xué)案(含解析)新人教B版必修5

專(zhuān)題突破一三角形中的隱含條件解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)由于公式較多且性質(zhì)靈活,解題時(shí)稍有不慎,常會(huì)出現(xiàn)增解、錯(cuò)解現(xiàn)象,其根本原因是對(duì)題設(shè)中的隱含條件挖掘不夠下面結(jié)合例子談?wù)勗诮馊切螘r(shí),題目中隱含條件的挖掘隱含條件1.兩邊之和大于第三邊例1已知鈍角三角形的三邊ak,bk2,ck4,求k的取值范圍解設(shè)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.c>b>a,且ABC為鈍角三角形,C為鈍角由余弦定理得cosC<0.k24k12<0,解得2<k<6.由兩邊之和大于第三邊得k(k2)>k4,k>2,綜上所述,k的取值范圍為2<k<6.反思感悟雖然是任意兩邊之和大于第三邊,但實(shí)際應(yīng)用時(shí)通常不用都寫(xiě)上,只需最小兩邊之和大于最大邊就可以跟蹤訓(xùn)練1在ABC中,AB6,AC8,第三邊上的中線ADx,則x的取值范圍是_答案(1,7)解析以AB,AC為鄰邊作平行四邊形ABEC,則BEAC8.AE2x.由解得1x7.x的取值范圍是(1,7)隱含條件2.三角形的內(nèi)角范圍例2已知ABC中,B30°,AB2,AC2,則ABC的面積是_答案2或解析由正弦定理,得sinC.C60°或C120°.當(dāng)C60°時(shí),A90°,則SABCAB·AC·sinA2;當(dāng)C120°時(shí),A30°,則SABCAB·AC·sinA.ABC的面積是2或.反思感悟利用正弦定理解決“已知兩邊及其中一邊對(duì)角,求另一角”問(wèn)題時(shí),由于三角形內(nèi)角的正弦值都為正的,而這個(gè)內(nèi)角可能為銳角,也可能為鈍角,容易把握不準(zhǔn)確出錯(cuò)跟蹤訓(xùn)練2在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab,則B_.答案或解析由正弦定理,得sinAsinBcosCsinCsinBcosAsinB.0B,sinB0.sinAcosCcosAsinC,sin(AC),sin(B).sinB.又B(0,),B或B.例3在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.,試判斷三角形的形狀解由和正弦定理,得,又A,B(0,),即sinAcosAsinBcosB,即sin2Asin2B,2A2B或2A2B.AB或AB.ABC是等腰三角形或直角三角形反思感悟在ABC中,sin Asin BAB是成立的,但sin 2Asin 2B2A2B或2A2B180°.跟蹤訓(xùn)練3ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若ca2acos B,則B2A_.答案0解析由正弦定理,得sinCsinA2sinAcosB.ABC,C(AB),sinCsinAsin(AB)sinAsinAcosBcosAsinBsinA2sinAcosB,sinBcosAcosBsinAsinA,sin(BA)sinA.A,B(0,)BAA或BAA(舍)B2A0.例4在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.B3A,求的取值范圍解由正弦定理得cos2A2cos2A4cos2A1.ABC180°,B3A,AB4A<180°,0°<A<45°,<cosA<1,1<4cos2A1<3,1<<3.反思感悟解三角形問(wèn)題,角的取值范圍至關(guān)重要一些問(wèn)題,角的取值范圍隱含在題目的條件中,若不仔細(xì)審題,深入挖掘,往往疏漏而導(dǎo)致解題失敗跟蹤訓(xùn)練4若在銳角ABC中,B2A,則A的取值范圍是_答案解析由ABC為銳角三角形,得解得A.例5設(shè)銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a2bsinA.(1)求B的大小;(2)求cosAsinC的取值范圍解(1)由正弦定理及a2bsinA得,2b,sinB,又B,B.(2)由ABC為銳角三角形,得解得A,cosAsinCcosAsinsin,A.sin,sin.cosAsinC的取值范圍為.反思感悟事實(shí)上,銳角三角形三個(gè)內(nèi)角均為銳角對(duì)角A的范圍都有影響,故CABA.由此得A.跟蹤訓(xùn)練5銳角ABC中,B60°,b,求ABC面積S的取值范圍解由正弦定理,asin Asin A2sin A.同理c2sin C,Sacsin B·2sin A·2sin C·sin 60°sin Asin C,ABC,CABA.又A,C為銳角,0<A<,<A<,Ssin Asinsin Asin Acos Asin2Asin 2A·sin,<A<,<2A<,<sin1,<sin.即S的取值范圍為.1在ABC中,必有()AsinAsinB0BsinAcosB0CsinAcosB0DcosAcosB0答案D解析在ABC中,AB,0AB.cosAcos(B)cosB.cosAcosB0.2在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若c<bcosA,則ABC為()A鈍角三角形B直角三角形C銳角三角形D等邊三角形答案A解析由已知得sinC<sinBcosA,sin(AB)<sinBcosA,sinA·cosBcosA·sinB<sinB·cosA,又sinA>0,cosB<0,B為鈍角,故ABC為鈍角三角形3在ABC中,已知sinA,cosB,則cosC_.答案解析若A為鈍角,由sinA,知A.又由cosB.知B.從而AB.與ABC矛盾A為銳角,cosA.由cosB,得sinB.cosCcos(AB)(cosAcosBsinAsinB).4在ABC中,C120°,ca,則a與b的大小關(guān)系是a_b.答案解析方法一由余弦定理cosC,得cos120°,整理得a2b2abb2,ab.方法二由正弦定理,得,整理得sin Asin 30°.C120°,AB60°,A30°,B30°,ab.5在ABC中,若b2ac,則的取值范圍是_答案解析設(shè)q,則由b2ac,得q.baq,caq2.由得解得q.6在鈍角ABC中,2BAC,C為鈍角,m,則m的取值范圍是_答案(2,)解析由ABC3B,知B.又C,0A,(,)·2,m(2,)7在ABC中,若c,C,求ab的取值范圍解C,AB,外接圓直徑2R2.ab2Rsin A·2Rsin B2sin Asin B2sin Asinsin.0A,A,sin1.1sin.即ab(1,)一、選擇題1已知三角形三邊之比為578,則最大角與最小角的和為()A90°B120°C135°D150°答案B解析設(shè)最小邊為5,則三角形的三邊分別為5,7,8,設(shè)邊長(zhǎng)為7的邊對(duì)應(yīng)的角為,則由余弦定理可得49256480cos ,解得cos ,(0°,180°),60°.則最大角與最小角的和為180°60°120°.2在ABC中,A,BC3,AB,則C等于()A.或B.C.D.答案C解析由,得sin C.BC3,AB,A>C,則C為銳角,故C.3在ABC中,a15,b20,A30°,則cosB等于()A±B.CD.答案A解析因?yàn)?,所以,解得sin B. 因?yàn)閎>a,所以B>A,故B有兩解,所以cos B±.4已知ABC中,sinAsinBsinCk(k1)2k,則k的取值范圍是()A(2,) B(,0) C.D.答案D解析由正弦定理得amk,bm(k1),c2mk(m>0),即k>.5在ABC中,三邊長(zhǎng)分別為a2,a,a2,最大角的正弦值為,則這個(gè)三角形的面積為()A.B.C.D.答案B解析三邊不等,最大角大于60°.設(shè)最大角為,故所對(duì)的邊長(zhǎng)為a2,sin ,120°.由余弦定理得(a2)2(a2)2a2a(a2),即a25a,故a5,故三邊長(zhǎng)為3,5,7,SABC×3×5×sin 120°.6ABC中,若lgalgclgsinBlg且B,則ABC的形狀是()A等邊三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D直角三角形答案C解析lg alg clg sin Blg ,sin B,sin B.B,B.,sin Csin Asin,cos C0,C(0,),C.ABC.ABC是等腰直角三角形故選C.7(2017·全國(guó))ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0,a2,c,則C等于()A.B.C.D.答案B解析因?yàn)閍2,c,所以由正弦定理可知,故sin Asin C.又B(AC),故sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC)sin Asin CsinAcos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又C為ABC的內(nèi)角,故sin C0,則sin Acos A0,即tan A1.又A(0,),所以A.從而sin Csin A×.由A知,C為銳角,故C.故選B.二、填空題8設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a,sinB,C,則b_.答案1解析因?yàn)閟inB且B(0,),所以B或.又因?yàn)镃,所以B,ABC.又因?yàn)閍,由正弦定理得,即,解得b1.9ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C,b2c2a28,則ABC的面積為_(kāi)答案解析bsin Ccsin B4asin Bsin C,由正弦定理得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C.又sin Bsin C0,sin A.由余弦定理得cos A0,cos A,bc,SABCbcsin A××.10若ABC的面積為(a2c2b2),且C為鈍角,則B_;的取值范圍是_答案(2,)解析由余弦定理得a2c2b22accos B.S(a2c2b2),acsin B×2accos B,tan B,又B(0,),B.又C為鈍角,CA,0A.由正弦定理得·.0tan A,×2,即2.的取值范圍是(2,)三、解答題11在ABC中,設(shè)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知C,c,求ABC周長(zhǎng)的取值范圍解由正弦定理得2,a2sin A,b2sin B,則ABC的周長(zhǎng)為L(zhǎng)abc2(sin Asin B)2222sin .0<BA<,0<A<,<A<,<sin1,2<2sin2,ABC周長(zhǎng)的取值范圍是(2,212在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知bsinAacos.(1)求角B的大?。?2)設(shè)a2,c3,求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中,由正弦定理,可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos,得asin Bacos,即sin Bcos,所以tan B.又因?yàn)锽(0,),所以B.(2)在ABC中,由余弦定理及a2,c3,B,得b2a2c22accos B7,故b.由bsin Aacos,可得sin A .因?yàn)閍c,所以cos A .因此sin 2A2sin Acos A,cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B××.13.(2018·河北省衡水中學(xué)調(diào)研)如圖,在ABC中,B,D為邊BC上的點(diǎn),E為AD上的點(diǎn),且AE8,AC4,CED.(1)求CE的長(zhǎng);(2)若CD5,求cosDAB的值解(1)由題意可得AEC,在AEC中,由余弦定理得AC2AE2CE22AE·CEcosAEC,所以16064CE28CE,整理得CE28CE960,解得CE4.故CE的長(zhǎng)為4.(2)在CDE中,由正弦定理得,即,所以5sinCDE4sin 4×4,所以sinCDE.因?yàn)辄c(diǎn)D在邊BC上,所以CDE>B,而<,所以CDE只能為鈍角,所以cosCDE,所以cosDABcoscosCDEcossinCDEsin××.14(2018·福建省三明市第一中學(xué)月考)在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b2a2bc,A,則角C等于()A.B.或C.D.答案D解析在ABC中,由余弦定理,得cos A,即,b2c2a2bc,又b2a2bc,c2bcbc,c(1)b<b,ab,cos C,C(0,),C,故選D.15銳角ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足(ab)(sin Asin B)(cb)sin C,若a,則b2c2的取值范圍是()A(3,6 B(3,5) C(5,6 D5,6答案C解析因?yàn)?ab)(sin Asin B)(cb)sin C,由正弦定理得(ab)(ab)(cb)c,即b2c2a2bc,cos A,A,A,BC,又ABC為銳角三角形,<B<,由正弦定理2,得b2sin B,c2sin C,b2c24442cos,又<B<,可得b2c2(5,615

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