（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級 重點增分 專題五 三角恒等變換與解三角形講義 理（普通生含解析）

（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 第二層級 重點增分 專題五 三角恒等變換與解三角形講義 理（普通生，含解析）全國卷3年考情分析年份全國卷全國卷全國卷2018正、余弦定理的應(yīng)用·T17二倍角公式及余弦定理·T6二倍角公式·T4同角三角函數(shù)關(guān)系及兩角和的正弦公式·T15三角形的面積公式及余弦定理·T92017正、余弦定理、三角形的面積公式及兩角和的余弦公式·T17余弦定理、三角恒等變換及三角形的面積公式·T17余弦定理、三角形的面積公式·T172016正、余弦定理、三角形面積公式、兩角和的正弦公式·T17誘導(dǎo)公式、三角恒等變換、給值求值問題·T9同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式·T5正弦定理的應(yīng)用、誘導(dǎo)公式·T13利用正、余弦定理解三角形·T8(1)高考對此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命題形式出現(xiàn)(2)若無解答題，一般在選擇題或填空題各有一題，主要考查三角恒等變換、解三角形，難度一般，一般出現(xiàn)在第49或第1315題位置上(3)若以解答題命題形式出現(xiàn)，主要考查三角函數(shù)與解三角形的綜合問題，一般出現(xiàn)在解答題第17題位置上，難度中等 保分考點·練后講評大穩(wěn)定1.()AB1C. D1解析：選D原式2×2× 2sin 30°1.故選D.2.(2018·全國卷)若sin ，則cos 2()A. B.C D解析：選Bsin ，cos 212sin212×2.故選B.3.已知sin ，sin()，均為銳角，則角等于()A. B.C. D.解析：選C0<<，0<<，<<.sin()，sin ，cos()，cos ，cos cos()cos cos()sin sin()××，.解題方略三角函數(shù)求值的類型及方法給角求值解決給角求值問題的關(guān)鍵是兩種變換：一是角的變換，注意各角之間是否具有和差關(guān)系、互補(余)關(guān)系、倍半關(guān)系，從而選擇相應(yīng)公式進行轉(zhuǎn)化，把非特殊角的三角函數(shù)相約或相消，從而轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)；二是結(jié)構(gòu)變換，在熟悉各種公式的結(jié)構(gòu)特點、符號特征的基礎(chǔ)上，結(jié)合所求式子的特點合理地進行變形給值求值給值求值的關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異，一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外某些函數(shù)式的值，以備應(yīng)用同時也要注意變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達到解題的目的給值求角實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍 小創(chuàng)新1.已知sin()，sin()，則log 2等于()A2 B3C4 D5解析：選C因為sin()，sin()，所以sin cos cos sin ， sin cos cos sin ，所以sin cos ，cos sin ，所以5，所以log2log524.故選C.2.已知tan 2，函數(shù)f(x)sin(x)sin(x)2sin ，且對任意的實數(shù)x，不等式f(x)0恒成立，則sin的值為()A BC D解析：選A由tan 2，即，得tan 或tan 3.又f(x)sin(x)sin(x)2sin 2cos xsin 2sin 0恒成立，所以sin 0，tan 3，sin ，cos ，所以sinsin coscos sin，故選A.3.設(shè)向量a(cos ，1)，b(2，sin )，若ab，則tan_.解析：a(cos ，1)，b(2，sin )，ab，2cos sin 0，tan 2，tan.答案： 分點研究題型一利用正、余弦定理進行邊、角計算例1(2018·石家莊質(zhì)檢)已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且tan Atan B.(1)求角A的大??；(2)設(shè)D為AC邊上一點，且BD5，DC3，a7，求c.解(1)在ABC中，tan Atan B，即，則tan A，又0<A<，A.(2)由BD5，DC3，a7，得cosBDC，又0<BDC<，BDC.又A，ABD為等邊三角形，c5.變式1若本例(2)變?yōu)椋篴，求bc的取值范圍解：由余弦定理a2b2c22bccos A，可得b2c23bc，即(bc)233bc(bc)2，當(dāng)且僅當(dāng)bc時取等號，bc2，又由兩邊之和大于第三邊可得bc>，bc(，2變式2若本例(2)變?yōu)椋篈DBC，且a，求AD的取值范圍解：SABCAD·BCbcsin A，ADbc.由余弦定理得cos A，0<bc3(當(dāng)且僅當(dāng)bc時等號成立)，0<AD，即AD的取值范圍為.解題方略正、余弦定理的適用條件(1)“已知兩角和一邊”或“已知兩邊和其中一邊的對角”應(yīng)采用正弦定理(2)“已知兩邊和這兩邊的夾角”或“已知三角形的三邊”應(yīng)采用余弦定理注意應(yīng)用定理要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”題型二利用正、余弦定理進行面積計算例2(2018·鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)已知ABC內(nèi)接于半徑為R的圓，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C，c3.(1)求A；(2)若AD是BC邊上的中線，AD，求ABC的面積解(1)對于2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C，由正弦定理得，bsin Basin Absin Ccsin C，即b2a2bcc2，所以cos A.因為0°<A<180°，所以A60°.(2)以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ABEC，連接DE，易知A，D，E三點共線在ABE中，ABE120°，AE2AD，由余弦定理得AE2AB2BE22AB·BEcos 120°，即199AC22×3×AC×，解得AC2.故SABCbcsinBAC.解題方略三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個角就使用含該角的公式(2)與面積有關(guān)的問題，一般要利用正弦定理或余弦定理進行邊和角的互化題型三正、余弦定理的實際應(yīng)用例3如圖，為了估測某塔的高度，在同一水平面的A，B兩點處進行測量，在點A處測得塔頂C在西偏北20°的方向上，仰角為60°；在點B處測得塔頂C在東偏北40°的方向上，仰角為30°.若A，B兩點相距130 m，則塔的高度CD_m.解析設(shè)CDh，則AD，BDh.在ADB中，ADB180°20°40°120°，則由余弦定理AB2BD2AD22BD·AD·cos 120°，可得13023h22·h··，解得h10，故塔的高度為10 m.答案10解題方略解三角形實際應(yīng)用問題的步驟多練強化1(2018·全國卷)在ABC中，cos，BC1，AC5，則AB()A4B.C. D2解析：選Acos，cos C2cos212×21.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22AC·BC·cos C52122×5×1×32，AB4.2甲船從位于海島B正南10海里的A處，以4海里/時的速度向海島B行駛，同時乙船從海島B以6海里/時的速度向北偏東60°方向行駛，當(dāng)兩船相距最近時，兩船行駛的時間為_小時解析：如圖，設(shè)經(jīng)過x小時后，甲船行駛到D處，乙船行駛到C處，則AD4x，BC6x，則BD104x，由余弦定理得，CD2(104x)2(6x)22×(104x)×6xcos 120°28x220x100282.若甲船行駛2.5小時，則甲船到達海島B，因而若x<2.5，則當(dāng)x時距離最小，且最小距離為 ，若x2.5，則BC6×2.515>，因而當(dāng)兩船相距最近時，兩船行駛的時間為小時答案：3(2018·南寧摸底)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c(1cos B)b(2cos C)(1)求證：2bac；(2)若B，ABC的面積為4，求b.解：(1)證明：c(1cos B)b(2cos C)，由正弦定理可得sin Csin Ccos B2sin Bsin Bcos C，可得sin Ccos Bsin B cos Csin C2sin B，sin(BC)sin C2sin B，sin Asin C2sin B，ac2b.(2)B，ABC的面積Sacsin Bac4，ac16.由余弦定理可得b2a2c22accos Ba2c2ac(ac)23ac.ac2b，b24b23×16，解得b4. 解三角形與三角函數(shù)的交匯問題 典例如圖，在ABC中，三個內(nèi)角B，A，C成等差數(shù)列，且AC10，BC15.(1)求ABC的面積；(2)已知平面直角坐標(biāo)系xOy中點D(10,0)，若函數(shù)f(x)Msin(x)M>0，>0，|<的圖象經(jīng)過A，C，D三點，且A，D為f(x)的圖象與x軸相鄰的兩個交點，求f(x)的解析式解(1)在ABC中，由角B，A，C成等差數(shù)列，得BC2A，又ABC，所以A.設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，由余弦定理可知a2b2c22bccos ，所以c210c1250，解得cAB55.因為CO10×sin 5，所以SABC×(55)×5(3)(2)因為AO10×cos 5，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T2×(105)30，故.因為f(5)Msin0，所以sin0，所以k，kZ.因為|<，所以.因為f(0)Msin 5，所以M10，所以f(x)10sin.解題方略解三角形與三角函數(shù)交匯問題一般步驟多練強化(2019屆高三·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)cos2xsin(x)cos(x).(1)求函數(shù)f(x)在0，上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知f(A)1，a2，bsin Casin A，求ABC的面積解：(1)f(x)cos2xsin xcos xsin 2xsin，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，又x0，函數(shù)f(x)在0，上的單調(diào)遞減區(qū)間為0，和.(2)由(1)知f(x)sin，f(A)sin1，ABC為銳角三角形，0<A<，<2A<，2A，即A.又bsin Casin A，bca24，SABCbcsin A.數(shù)學(xué)建模解三角形的實際應(yīng)用典例為了應(yīng)對日益嚴(yán)重的氣候問題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣候儀器，這種儀器可以彈射到空中進行氣候觀測如圖所示，A，B，C三地位于同一水平面上，這種儀器在C地進行彈射實驗，觀測點A，B兩地相距100 m，BAC60°，在A地聽到彈射聲音的時間比B地晚 s，在A地測得該儀器至最高點H處的仰角為30°.(1)求A，C兩地間的距離；(2)求這種儀器的垂直彈射高度HC.(已知聲音的傳播速度為340 m/s)解(1)設(shè)BCx m，由條件可知ACx×340(x40)m.在ABC中，由余弦定理，可得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC，即x21002(x40)22×100×(x40)×，解得x380.所以AC38040420(m)，故A，C兩地間的距離為420 m.(2)在RtACH中，AC420，HAC30°，所以HCACtan 30°420×140，故這種儀器的垂直彈射高度為140 m.素養(yǎng)通路數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題本題中把求A，C兩地間的距離問題建立數(shù)學(xué)模型，在ABC中，通過解三角形求AC的長，把求高度HC建立數(shù)學(xué)模型，在RtACH中，通過解三角形求HC的長考查了數(shù)學(xué)建模這一核心素養(yǎng)