（全國通用版）2022高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題七 系列4選講 第1講 坐標系與參數(shù)方程學案 文

（全國通用版）2022高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題七 系列4選講 第1講 坐標系與參數(shù)方程學案 文考情考向分析高考主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程、參數(shù)方程與普通方程的互化、常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用以極坐標、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線的位置關(guān)系等解析幾何知識熱點一極坐標與直角坐標的互化直角坐標與極坐標的互化把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位如圖，設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x，y)和(，)，則例1(2018·東北三省四市模擬)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1：cos 3，曲線C2：4cos .(1)求C1與C2交點的極坐標；(2)設(shè)點Q在C2上，求動點P的極坐標方程解(1)聯(lián)立得cos ±，0<，2，所求交點的極坐標為.(2)設(shè)P，Q且04cos 0，0，由已知，得4cos ，即10cos ，點P的極坐標方程為10cos ，.思維升華(1)在由點的直角坐標化為極坐標時，一定要注意點所在的象限和極角的范圍，否則點的極坐標將不唯一(2)在與曲線的直角坐標方程進行互化時，一定要注意變量的范圍，要注意轉(zhuǎn)化的等價性跟蹤演練1(2018·山西省榆社中學模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線M的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t>0且t)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為4cos .(1)將曲線M的參數(shù)方程化為普通方程，并將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)求曲線M與曲線C交點的極坐標(0,0<2)解(1)t，x，即y(x2)，又t>0且t，由x，得t，>0且，x>2或x<0，曲線M的普通方程為y(x2)(x>2或x<0)4cos ，24cos ，x2y24x，即曲線C的直角坐標方程為x24xy20.(2)由得x24x30，x11(舍去)，x23，則交點的直角坐標為(3，)，極坐標為.熱點二參數(shù)方程與普通方程的互化1直線的參數(shù)方程過定點M(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))2圓的參數(shù)方程圓心為點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))3圓錐曲線的參數(shù)方程(1)橢圓1(a>b>0)的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)拋物線y22px(p>0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))例2(2018·全國)在平面直角坐標系xOy中，O的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過點(0，)且傾斜角為的直線l與O交于A，B兩點(1)求的取值范圍；(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程解(1)O的直角坐標方程為x2y21.當時，l與O交于兩點當時，記tan k，則l的方程為ykx.l與O交于兩點當且僅當<1，解得k<1或k>1，即或.綜上，的取值范圍是.(2)l的參數(shù)方程為.設(shè)A，B，P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP，且tA，tB滿足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又點P的坐標(x，y)滿足所以點P的軌跡的參數(shù)方程是.思維升華(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當?shù)南麉⒎椒ǔＲ姷南麉⒎椒ㄓ写胂麉⒎?、加減消參法、平方消參法等(2)將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解、漏解，若x，y有范圍限制，要標出x，y的取值范圍跟蹤演練2(2018·北京朝陽區(qū)模擬)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點M的極坐標是.(1)求直線l的普通方程；(2)求直線l上的點到點M距離最小時的點的直角坐標解(1)直線l的普通方程為3xy60.(2)點M的直角坐標是(1，)，過點M作直線l的垂線，垂足為M，則點M即為所求的直線l上到點M距離最小的點直線MM的方程是y(x1)，即yx.由解得所以直線l上到點M距離最小的點的直角坐標是.熱點三極坐標、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用解決與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問題時，要注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式，主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上動點有關(guān)的問題，如最值、范圍等例3(2018·泉州質(zhì)檢)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線m：(>0)(1)求C和l的極坐標方程；(2)設(shè)點A是m與C的一個交點(異于原點)，點B是m與l的交點，求的最大值解(1)曲線C的普通方程為(x1)2y21，由得22sin21，化簡得C的極坐標方程為2cos .因為l的普通方程為xy40，所以極坐標方程為cos sin 40，所以l的極坐標方程為sin2.(2)設(shè)A(1，)，B(2，)，則2cos ·(sin cos cos2)sin，由射線m與C，直線l相交，則不妨設(shè)，則2，所以當2，即時，取得最大值，即max.思維升華(1)利用參數(shù)方程解決問題，要理解參數(shù)的幾何意義(2)在解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問題時，常常將極坐標方程化為直角坐標方程或?qū)?shù)方程化為普通方程，有助于認識方程所表示的曲線，從而達到化陌生為熟悉的目的，這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用跟蹤演練3(2018·黑龍江省哈爾濱師范大學附屬中學模擬)在平面直角坐標系中，以原點為極點，以x軸的正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為2cos .(1)若曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))，求曲線C1的直角坐標方程和曲線C2的普通方程；(2)若曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，A(0,1)，且曲線C1與曲線C2的交點分別為P，Q，求的取值范圍解(1)2cos ，22cos ，又2x2y2，cos x，曲線C1的直角坐標方程為x2y22x0，曲線C2的普通方程為x2(y1)2t2.(2)將C2的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入C1的方程x2y22x0，得t2(2sin 2cos )t10.(2sin 2cos )248sin24>0，sin.t1t2(2sin 2cos )2sin，t1t21>0，t1t21>0，t1，t2同號，|t1|t2|t1t2|.由點A在曲線C2上，根據(jù)t的幾何意義，可得2(2,2(2,2真題體驗1(2018·全國)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)求C和l的直角坐標方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2)，求l的斜率解(1)曲線C的直角坐標方程為1.當cos 0時，l的直角坐標方程為ytan ·x2tan ，當cos 0時，l的直角坐標方程為x1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程，整理得關(guān)于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi)，所以有兩個解，設(shè)為t1，t2，則t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直線l的斜率ktan 2.2(2017·全國)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為cos 4.(1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；(2)設(shè)點A的極坐標為，點B在曲線C2上，求OAB面積的最大值解(1)設(shè)點P的極坐標為(，)(>0)，點M的極坐標為(1，)(1>0)，由題設(shè)知，|OP|，|OM|1.由|OM|·|OP|16，得C2的極坐標方程4cos (>0)所以C2的直角坐標方程為(x2)2y24(x0)(2)設(shè)點B的極坐標為(B，)(B>0)由題設(shè)知|OA|2，B4cos .于是OAB的面積S|OA|·B·sinAOB4cos 4cos |sin 2cos 2|22.當2，即時，S取得最大值2，所以O(shè)AB面積的最大值為2.押題預(yù)測1已知曲線C的極坐標方程是4cos .以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程是(t是參數(shù))(1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|AB|，求直線的傾斜角的值押題依據(jù)極坐標方程和參數(shù)方程的綜合問題一直是高考命題的熱點本題考查了等價轉(zhuǎn)換思想，代數(shù)式變形能力，邏輯推理能力，是一道頗具代表性的題解(1)由4cos ，得24cos .因為x2y22，xcos ，所以x2y24x，即曲線C的直角坐標方程為(x2)2y24.(2)將代入圓的方程(x2)2y24，得(tcos 1)2(tsin )24，化簡得t22tcos 30.設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得所以|AB|t1t2|，故4cos21，解得cos ±.因為直線的傾斜角0，)，所以或.2在平面直角坐標系xOy中，曲線C1：(為參數(shù))，其中a>b>0.以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：2cos ，射線l：(0)若射線l與曲線C1交于點P，當0時，射線l與曲線C2交于點Q，|PQ|1；當時，射線l與曲線C2交于點O，|OP|.(1)求曲線C1的普通方程；(2)設(shè)直線l：(t為參數(shù)，t0)與曲線C2交于點R，若，求OPR的面積押題依據(jù)將橢圓和直線的參數(shù)方程、圓和射線的極坐標方程相交匯，考查相應(yīng)知識的理解和運用，解題中，需要將已知條件合理轉(zhuǎn)化，靈活變形，符合高考命題趨勢解(1)因為曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，且a>b>0，所以曲線C1的普通方程為1，而其極坐標方程為1.將0(0)代入1，得a，即點P的極坐標為；將0(0)代入2cos ，得2，即點Q的極坐標為(2,0)因為|PQ|1，所以|PQ|a2|1，所以a1或a3.將(0)代入1，得b，即點P的極坐標為，因為|OP|，所以b.又因為a>b>0，所以a3，所以曲線C1的普通方程為1.(2)因為直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t0)，所以直線l的普通方程為yx(x0)，而其極坐標方程為(R，0)，所以將直線l的方程代入曲線C2的方程2cos ，得1，即|OR|1.因為將射線l的方程(0)代入曲線C1的方程1，得，即|OP|，所以SOPR|OP|OR|sinPOR××1×sin .A組專題通關(guān)1(2018·河南省六市聯(lián)考)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為4sin .(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程；(2)已知曲線C3的極坐標方程為(0<<，R)，點A是曲線C3與C1的交點，點B是曲線C3與C2的交點，且A，B均異于原點O，若|AB|4，求實數(shù)的值解(1)由曲線 C1 的參數(shù)方程為(為參數(shù))，消去參數(shù)得曲線 C1 的普通方程為(x2)2y24.又曲線 C2 的極坐標方程為4sin ，得24sin ， C2 的直角坐標方程為 x2 y24y，整理得x2(y2)24.(2)曲線 C1：(x2)2y24 化為極坐標方程為4cos .設(shè) A(1，1)，B(2，2)，又曲線 C3 的極坐標方程為，0<<，R，點 A是曲線C3 與 C1 的交點，B是曲線 C3 與C2 的交點，且均異于原點O，且|AB|4，|AB|12|4sin 4cos |44 ，sin±1，又0<<，<<，解得 .2(2018·石嘴山適應(yīng)性測試)在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))現(xiàn)以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為6cos .(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；(2)若點P的坐標為(1,0)，直線l交曲線C于A，B兩點，求|PA|PB|的值解(1)由消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為xy10.又由6cos ，得26cos ，由得曲線C的直角坐標方程為x2y26x0.(2)將代入x2y26x0中，得t24t70，則t1t24，t1t27>0，所以|PA|PB|t1|t2|t1t2|4.3在直角坐標系xOy中，曲線C1：y21，曲線C2：(為參數(shù))，以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系(1)求曲線C1，C2的極坐標方程；(2)已知射線l：(0)與曲線C1，C2分別交于點A，B(異于原點O)，當0<<時，求|OA|2|OB|2的取值范圍解(1)因為C2：所以曲線C2的普通方程為x2(y1)21，由得曲線C2的極坐標方程2sin .對于曲線C1：y21，由得曲線C1的極坐標方程為2.(2)由(1)得|OA|22，|OB|224sin2，|OA|2|OB|24sin244.因為0<<，1<1sin2<，所以|OA|2|OB|2.4(2018·濰坊模擬)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，點M為曲線C1上的動點，動點P滿足a(a>0且a1)，點P的軌跡為曲線C2.(1)求曲線C2的方程，并說明C2是什么曲線；(2)在以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，A點的極坐標為，射線與C2的異于極點的交點為B，已知AOB面積的最大值為42，求a的值解(1)設(shè)P(x，y)，M，由a，得點M在C1上，即(為參數(shù))，消去參數(shù)，得2y24a2(a>0且a1)曲線C2是以為圓心，以2a為半徑的圓(2)方法一A點的直角坐標為(1，)，直線OA的普通方程為yx，即xy0.設(shè)B點坐標為(2a2acos ，2asin )，則B點到直線xy0的距離da.當時，dmax(2)a.SAOB的最大值為×2×(2)a42，a2.方法二將xcos ，ysin 代入2y24a2，并整理得4acos ，令，得4acos .B.SAOB|OA|·|OB|·sinAOB4acos a|2sin cos 2cos2|a|sin 2cos 2|a，當時，SAOB取得最大值(2)a，依題意知(2)a42，a2.5(2018·揭陽模擬)在直角坐標系xOy中，圓C的圓心為，半徑為，現(xiàn)以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系(1)求圓C的極坐標方程；(2)設(shè)M，N是圓C上兩個動點，滿足MON，求|OM|ON|的最小值解(1)圓C的直角坐標方程為x22，即x2y2y0，化為極坐標方程為2sin 0，整理可得sin .(2)設(shè)M，N，|OM|ON|12sin sinsin cos sin.由得0，故sin1，即|OM|ON|的最小值為.B組能力提高6在直角坐標系xOy中，已知曲線E經(jīng)過點P，其參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系(1)求曲線E的極坐標方程；(2)若直線l交E于點A，B，且OAOB，求證：為定值，并求出這個定值解(1)將點P代入曲線E的方程，得解得a23，所以曲線E的普通方程為1，極坐標方程為21.(2)不妨設(shè)點A，B的極坐標分別為A(1，)，B，1>0，2>0，則即所以，即，所以為定值.7已知在平面直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，P點的極坐標為，曲線C的極坐標方程為2cos(為參數(shù))(1)寫出點P的直角坐標及曲線C的直角坐標方程；(2)若Q為曲線C上的動點，求PQ的中點M到直線l：2cos 4sin 的距離的最小值解(1)點P的直角坐標為，由2cos，得2cos sin ，將2x2y2，cos x，sin y代入，可得曲線C的直角坐標方程為221.(2)直線2cos 4sin 的直角坐標方程為2x4y0，設(shè)點Q的直角坐標為，則M，點M到直線l的距離d，其中tan .d(當且僅當sin()1時取等號)，點M到直線l：2cos 4sin 的距離的最小值為.8已知0，)，在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))；在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l2的極坐標方程為cos()2sin(為參數(shù))(1)求證：l1l2；(2)設(shè)點A的極坐標為，P為直線l1，l2的交點，求|OP|AP|的最大值(1)證明易知直線l1的普通方程為xsin ycos 0.又cos()2sin可變形為cos cos sin sin 2sin，即直線l2的直角坐標方程為xcos ysin 2sin0.因為sin cos (cos )sin 0，根據(jù)兩直線垂直的條件可知，l1l2.(2)解當2，時，cos()2cos2sin，所以點A在直線cos()2sin上設(shè)點P到直線OA的距離為d，由l1l2可知，d的最大值為1.于是|OP|AP|d·|OA|2d2，所以|OP|AP|的最大值為2.