2022年高考總復習文數(shù)(北師大版)講義:第9章 第05節(jié) 橢圓及其性質(zhì) Word版含答案
2022年高考總復習文數(shù)(北師大版)講義:第9章 第05節(jié) 橢圓及其性質(zhì) Word版含答案考點高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)橢圓方程xx·全國卷·T20·12分求橢圓方程證明定值問題數(shù)學運算邏輯推理xx·全國卷·T20·12分求橢圓方程證明定值問題數(shù)學運算邏輯推理xx·全國卷·T12·5分求橢圓方程數(shù)學運算橢圓的性質(zhì)xx·全國卷·T5·5分已知橢圓的離心率求橢圓與拋物線綜合問題數(shù)學運算xx·全國卷·T12·5分求橢圓的離心率數(shù)學運算xx·全國卷·T11·5分求橢圓離心率數(shù)學運算命題分析橢圓的定義、標準方程、幾何性質(zhì)一直是高考的熱點,其中離心率考查比較頻繁直線與橢圓的位置關(guān)系多以解答題的形式出現(xiàn),解題時要注意數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想.標準方程1(ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍_a_x_a_,_b_y_b_b_x_b_,_a_y_a_對稱性對稱軸:_坐標軸_,對稱中心:_(0,0)_頂點A1_(a,0)_,A2_(a,0)_,B1_(0,b)_,B2_(0,b)_A1_(0,a)_,A2_(0,a)_,B1_(b,0)_,B2_(b,0)_軸長軸A1A2的長為_2a_,短軸B1B2的長為_2b_焦距|F1F2|_2c_離心率e,e_(0,1)_a,b,c的關(guān)系c2_a2b2_提醒:1辨明兩個易誤點(1)橢圓的定義中易忽視2a|F1F2|這一條件,當2a|F1F2|時,其軌跡為線段F1F2,當2a|F1F2|時,不存在軌跡(2)求橢圓的標準方程時易忽視判斷焦點的位置,而直接設(shè)方程為1(ab0)2求橢圓標準方程的兩種方法(1)定義法:根據(jù)橢圓的定義,確定a2,b2的值,結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程(2)待定系數(shù)法:若焦點位置明確,則可設(shè)出橢圓的標準方程,結(jié)合已知條件求出a、b;若焦點位置不明確,則需要分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論,也可設(shè)橢圓的方程為Ax2By21(A0,B0,AB)1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與兩個定點F1,F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓()(2)動點P到兩定點A(0,2),B(0,2)的距離之和為4,則點P的軌跡是橢圓()(3)橢圓的離心率e越大,橢圓就越圓()(4)橢圓既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形()(5)方程mx2ny21(m>0,n>0,mn)表示的曲線是橢圓()答案:(1)×(2)×(3)×(4)(5)2(教材習題改編)設(shè)P是橢圓1上的點,若F1,F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點,則|PF1|PF2|等于()A4B5C8D10解析:選D依橢圓的定義知:|PF1|PF2|2×5103(教材習題改編)已知橢圓的一個焦點為F(6,0),離心率e,則橢圓的標準方程為()A1 B1C1 D1解析:選Cc6,e,所以ac×610,b2a2c264,又因為焦點在x軸上,故橢圓的標準方程為14已知點P是橢圓1上y軸右側(cè)的一點,且以點P及焦點F1,F(xiàn)2為頂點的三角形的面積等于1,則點P的坐標為_解析:a25,b24,c2a2b21,c1.|F1F2|2c2設(shè)P(x,y),SPF1F2|F1F2|·|y|,×2|y|1,|y|1,y±11,x±,x0,x,P答案:橢圓的定義及應(yīng)用明技法(1)橢圓定義的應(yīng)用范圍確認平面內(nèi)與兩定點有關(guān)的軌跡是否為橢圓解決與焦點有關(guān)的距離問題(2)焦點三角形的應(yīng)用橢圓上一點P與橢圓的兩焦點F1,F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點三角形”,利用定義可求其周長;利用定義和余弦定理可求|PF1|PF2|;通過整體代入可求其面積等提能力【典例】 (xx·徐州模擬)已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:1(ab0)的兩個焦點,P為橢圓C上的一點,且PF1PF2,若PF1F2的面積為9,則b_解析:設(shè)|PF1|r1,|PF2|r2,則所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2,所以SPF1F2r1r2b29,所以b3答案:3刷好題1設(shè)F1,F(xiàn)2是橢圓1的兩個焦點,P是橢圓上的一點,且|PF1|PF2|21,則PF1F2的面積為()A4B6C2D4解析:選A因為點P在橢圓上,所以|PF1|PF2|6,又因為|PF1|PF2|21,所以|PF1|4,|PF2|2,又易知|F1F2|2,顯然|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,故PF1F2為直角三角形,所以PF1F2的面積為×2×44.故選A2已知兩圓C1:(x4)2y2169,C2:(x4)2y29,動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切,和圓C2相外切,則動圓圓心M的軌跡方程為_解析:設(shè)動圓M的半徑為r,則|MC1|MC2|(13r)(3r)16,又|C1C2|816,所以動圓圓心M的軌跡是以C1、C2為焦點的橢圓,且2a16,2c8,則a8,c4,所以b248,又焦點C1、C2在x軸上,故所求的軌跡方程為1答案:1橢圓的標準方程明技法用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的四個步驟提能力【典例】 (1)(xx·湖南聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點,離心率e,且它的一個焦點與拋物線y24x的焦點重合,則此橢圓方程為()A1 B1Cy21 Dy21(2)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x21(0b1)的左、右焦點,過點F1的直線交橢圓E于A,B兩點,若|AF1|3|F1B|,AF2x軸,則橢圓E的標準方程為_解析:(1)依題意,可設(shè)橢圓的標準方程為1(ab0),由已知可得拋物線的焦點為(1,0),所以c1,又離心率e,解得a2,b2a2c23,所以橢圓方程為1(2)不妨設(shè)點A在第一象限,如圖所示因為AF2x軸,所以|AF2|b2因為|AF1|3|BF1|,所以B將B點代入橢圓方程,得21,所以c21又因為b2c21,所以故所求的方程為x21答案:(1)A(2)x21刷好題求滿足下列各條件的橢圓的標準方程:(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點A(3,0);(2)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形,且焦點到同側(cè)頂點的距離為;(3)經(jīng)過點P(2,1),Q(,2)兩點;(4)與橢圓1有相同離心率且經(jīng)過點(2,)解:(1)若焦點在x軸上,設(shè)方程為1(a>b>0)橢圓過點A(3,0)1,a3,2a3×2b,b1,方程為y21若焦點在y軸上,設(shè)方程為1(a>b>0)橢圓過點A(3,0),1,b3又2a3×2b,a9,方程為1綜上所述,橢圓方程為y21或1(2)由已知,有解得從而b2a2c29所求橢圓方程為1或1(3)設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m>0,n>0,mn)點P(2,1),Q(,2)在橢圓上,解得m,n故1為所求橢圓的方程(4)方法一e,若焦點在x軸上,設(shè)所求橢圓方程為1(m>n>0),則12從而2,. 又1,m28,n26方程為1若焦點在y軸上,設(shè)方程為1(m>n>0),則1,且,解得m2,n2故所求方程為1方法二若焦點在x軸上,設(shè)所求橢圓方程為t(t>0),將點(2,)代入,得t2故所求方程為1若焦點在y軸上,設(shè)方程為(>0)代入點(2,),得,1橢圓的幾何性質(zhì)析考情橢圓幾何性質(zhì)的內(nèi)容很豐富,因此在高考中對橢圓幾何性質(zhì)的考查也非常廣泛,但離心率及其范圍卻是每年高考的熱點. 應(yīng)用平面幾何知識往往是解決這類問題的關(guān)鍵提能力命題點1:由橢圓的方程研究其性質(zhì)【典例1】 已知橢圓1(ab0)的一個焦點是圓x2y26x80的圓心,且短軸長為8,則橢圓的左頂點為()A(3,0)B(4,0)C(10,0) D(5,0)解析:選D因為圓的標準方程為(x3)2y21,所以圓心坐標為(3,0),所以c3,又b4,所以a5因為橢圓的焦點在x軸上,所以橢圓的左頂點為(5,0)命題點2:由橢圓的性質(zhì)求參數(shù)的值或范圍【典例2】 已知橢圓mx24y21的離心率為,則實數(shù)m等于()A2 B2或C2或6 D2或8解析:選D顯然m0且m4,當0m4時,橢圓長軸在x軸上,則,解得m2;當m4時,橢圓長軸在y軸上,則,解得m8命題點3:求離心率的值或范圍【典例3】 (xx·全國卷)已知橢圓C:1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切,則C的離心率為()A BC D解析:選A由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0),半徑為a又直線bxay2ab0與圓相切,圓心到直線的距離da,解得ab,e.故選A悟技法應(yīng)用橢圓幾何性質(zhì)的2個技巧與1種方法2個技巧(1)與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進行分析,即使畫不出圖形,思考時也要聯(lián)想到一個圖形(2)橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式例如axa,byb,0e1,在求橢圓的相關(guān)量的范圍時,要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系1種方法求橢圓離心率的方法:(1)直接求出a,c的值,利用離心率公式直接求解(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式),借助于b2a2c2消去b,轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解刷好題1(xx·全國卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為()A BC D解析:選B如圖,由題意得,BFa,OFc,OBb,OD×2bb在RtOFB中,|OF|×|OB|BF|×|OD|,即cba·b,代入解得a24c2,故橢圓離心率e,故選B2(xx·東北三省三校聯(lián)考)若橢圓y21的兩個焦點分別是F1,F(xiàn)2,點P是橢圓上任意一點,則·的取值范圍是()A1,4 B1,3C2,1 D1,1解析:選C橢圓y21兩個焦點分別是F1(,0),F(xiàn)2(,0),設(shè)P(x,y),則(x,y),(x,y),·(x)(x)y2x2y23.因為y21,代入可得·x22,而2x2,所以·的取值范圍是2,1,故選C3設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:x22y22的左、右焦點,P是該橢圓上的一個動點則| 的最小值是_解析:將方程變形為y21,則F1(1,0),F(xiàn)2(1,0)設(shè)P(x0,y0),則(1x0,y0),(1x0,y0)(2x0,2y0),|22點P在橢圓上,0y1當y1時,|的最小值為2答案:2