2022年高考總復習文數(shù)（北師大版）講義：第9章 第05節(jié) 橢圓及其性質(zhì) Word版含答案

2022年高考總復習文數(shù)（北師大版）講義：第9章 第05節(jié) 橢圓及其性質(zhì) Word版含答案考點高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)橢圓方程xx·全國卷·T20·12分求橢圓方程證明定值問題數(shù)學運算邏輯推理xx·全國卷·T20·12分求橢圓方程證明定值問題數(shù)學運算邏輯推理xx·全國卷·T12·5分求橢圓方程數(shù)學運算橢圓的性質(zhì)xx·全國卷·T5·5分已知橢圓的離心率求橢圓與拋物線綜合問題數(shù)學運算xx·全國卷·T12·5分求橢圓的離心率數(shù)學運算xx·全國卷·T11·5分求橢圓離心率數(shù)學運算命題分析橢圓的定義、標準方程、幾何性質(zhì)一直是高考的熱點，其中離心率考查比較頻繁直線與橢圓的位置關(guān)系多以解答題的形式出現(xiàn)，解題時要注意數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想.標準方程1(ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍_a_x_a_，_b_y_b_b_x_b_，_a_y_a_對稱性對稱軸：_坐標軸_，對稱中心：_(0,0)_頂點A1_(a,0)_，A2_(a,0)_，B1_(0，b)_，B2_(0，b)_A1_(0，a)_，A2_(0，a)_，B1_(b,0)_，B2_(b,0)_軸長軸A1A2的長為_2a_，短軸B1B2的長為_2b_焦距|F1F2|_2c_離心率e，e_(0,1)_a，b，c的關(guān)系c2_a2b2_提醒：1辨明兩個易誤點(1)橢圓的定義中易忽視2a|F1F2|這一條件，當2a|F1F2|時，其軌跡為線段F1F2，當2a|F1F2|時，不存在軌跡(2)求橢圓的標準方程時易忽視判斷焦點的位置，而直接設(shè)方程為1(ab0)2求橢圓標準方程的兩種方法(1)定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定a2，b2的值，結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程(2)待定系數(shù)法：若焦點位置明確，則可設(shè)出橢圓的標準方程，結(jié)合已知條件求出a、b；若焦點位置不明確，則需要分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為Ax2By21(A0，B0，AB)1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓()(2)動點P到兩定點A(0，2)，B(0,2)的距離之和為4，則點P的軌跡是橢圓()(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓()(4)橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形()(5)方程mx2ny21(m>0，n>0，mn)表示的曲線是橢圓()答案：(1)×(2)×(3)×(4)(5)2(教材習題改編)設(shè)P是橢圓1上的點，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|PF2|等于()A4B5C8D10解析：選D依橢圓的定義知：|PF1|PF2|2×5103(教材習題改編)已知橢圓的一個焦點為F(6,0)，離心率e，則橢圓的標準方程為()A1 B1C1 D1解析：選Cc6，e，所以ac×610，b2a2c264，又因為焦點在x軸上，故橢圓的標準方程為14已知點P是橢圓1上y軸右側(cè)的一點，且以點P及焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的面積等于1，則點P的坐標為_解析：a25，b24，c2a2b21，c1.|F1F2|2c2設(shè)P(x，y)，SPF1F2|F1F2|·|y|，×2|y|1，|y|1，y±11，x±，x0，x，P答案：橢圓的定義及應(yīng)用明技法(1)橢圓定義的應(yīng)用范圍確認平面內(nèi)與兩定點有關(guān)的軌跡是否為橢圓解決與焦點有關(guān)的距離問題(2)焦點三角形的應(yīng)用橢圓上一點P與橢圓的兩焦點F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長；利用定義和余弦定理可求|PF1|PF2|；通過整體代入可求其面積等提能力【典例】 (xx·徐州模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且PF1PF2，若PF1F2的面積為9，則b_解析：設(shè)|PF1|r1，|PF2|r2，則所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，所以SPF1F2r1r2b29，所以b3答案：3刷好題1設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩個焦點，P是橢圓上的一點，且|PF1|PF2|21，則PF1F2的面積為()A4B6C2D4解析：選A因為點P在橢圓上，所以|PF1|PF2|6，又因為|PF1|PF2|21，所以|PF1|4，|PF2|2，又易知|F1F2|2，顯然|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，故PF1F2為直角三角形，所以PF1F2的面積為×2×44.故選A2已知兩圓C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為_解析：設(shè)動圓M的半徑為r，則|MC1|MC2|(13r)(3r)16，又|C1C2|816，所以動圓圓心M的軌跡是以C1、C2為焦點的橢圓，且2a16,2c8，則a8，c4，所以b248，又焦點C1、C2在x軸上，故所求的軌跡方程為1答案：1橢圓的標準方程明技法用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的四個步驟提能力【典例】 (1)(xx·湖南聯(lián)考)已知橢圓的中心在原點，離心率e，且它的一個焦點與拋物線y24x的焦點重合，則此橢圓方程為()A1 B1Cy21 Dy21(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0b1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點，若|AF1|3|F1B|，AF2x軸，則橢圓E的標準方程為_解析：(1)依題意，可設(shè)橢圓的標準方程為1(ab0)，由已知可得拋物線的焦點為(1,0)，所以c1，又離心率e，解得a2，b2a2c23，所以橢圓方程為1(2)不妨設(shè)點A在第一象限，如圖所示因為AF2x軸，所以|AF2|b2因為|AF1|3|BF1|，所以B將B點代入橢圓方程，得21，所以c21又因為b2c21，所以故所求的方程為x21答案：(1)A(2)x21刷好題求滿足下列各條件的橢圓的標準方程：(1)長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點A(3,0)；(2)短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側(cè)頂點的距離為；(3)經(jīng)過點P(2，1)，Q(，2)兩點；(4)與橢圓1有相同離心率且經(jīng)過點(2，)解：(1)若焦點在x軸上，設(shè)方程為1(a>b>0)橢圓過點A(3,0)1，a3，2a3×2b，b1，方程為y21若焦點在y軸上，設(shè)方程為1(a>b>0)橢圓過點A(3,0)，1，b3又2a3×2b，a9，方程為1綜上所述，橢圓方程為y21或1(2)由已知，有解得從而b2a2c29所求橢圓方程為1或1(3)設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m>0，n>0，mn)點P(2，1)，Q(，2)在橢圓上，解得m，n故1為所求橢圓的方程(4)方法一e，若焦點在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為1(m>n>0)，則12從而2，. 又1，m28，n26方程為1若焦點在y軸上，設(shè)方程為1(m>n>0)，則1，且，解得m2，n2故所求方程為1方法二若焦點在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為t(t>0)，將點(2，)代入，得t2故所求方程為1若焦點在y軸上，設(shè)方程為(>0)代入點(2，)，得，1橢圓的幾何性質(zhì)析考情橢圓幾何性質(zhì)的內(nèi)容很豐富，因此在高考中對橢圓幾何性質(zhì)的考查也非常廣泛，但離心率及其范圍卻是每年高考的熱點. 應(yīng)用平面幾何知識往往是解決這類問題的關(guān)鍵提能力命題點1：由橢圓的方程研究其性質(zhì)【典例1】 已知橢圓1(ab0)的一個焦點是圓x2y26x80的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點為()A(3,0)B(4,0)C(10,0) D(5,0)解析：選D因為圓的標準方程為(x3)2y21，所以圓心坐標為(3,0)，所以c3，又b4，所以a5因為橢圓的焦點在x軸上，所以橢圓的左頂點為(5,0)命題點2：由橢圓的性質(zhì)求參數(shù)的值或范圍【典例2】 已知橢圓mx24y21的離心率為，則實數(shù)m等于()A2 B2或C2或6 D2或8解析：選D顯然m0且m4，當0m4時，橢圓長軸在x軸上，則，解得m2；當m4時，橢圓長軸在y軸上，則，解得m8命題點3：求離心率的值或范圍【典例3】 (xx·全國卷)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為()A BC D解析：選A由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0)，半徑為a又直線bxay2ab0與圓相切，圓心到直線的距離da，解得ab，e.故選A悟技法應(yīng)用橢圓幾何性質(zhì)的2個技巧與1種方法2個技巧(1)與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進行分析，即使畫不出圖形，思考時也要聯(lián)想到一個圖形(2)橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式例如axa，byb,0e1，在求橢圓的相關(guān)量的范圍時，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系1種方法求橢圓離心率的方法：(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解刷好題1(xx·全國卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()A BC D解析：選B如圖，由題意得，BFa，OFc，OBb，OD×2bb在RtOFB中，|OF|×|OB|BF|×|OD|，即cba·b，代入解得a24c2，故橢圓離心率e，故選B2(xx·東北三省三校聯(lián)考)若橢圓y21的兩個焦點分別是F1，F(xiàn)2，點P是橢圓上任意一點，則·的取值范圍是()A1,4 B1,3C2,1 D1,1解析：選C橢圓y21兩個焦點分別是F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，設(shè)P(x，y)，則(x，y)，(x，y)，·(x)(x)y2x2y23.因為y21，代入可得·x22，而2x2，所以·的取值范圍是2,1，故選C3設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x22y22的左、右焦點，P是該橢圓上的一個動點則| 的最小值是_解析：將方程變形為y21，則F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)設(shè)P(x0，y0)，則(1x0，y0)，(1x0，y0)(2x0，2y0)，|22點P在橢圓上，0y1當y1時，|的最小值為2答案：2