（通用版）2022年高考數(shù)學二輪復習 第一部分 專題十七 坐標系與參數(shù)方程講義 理（重點生含解析）（選修4-4）

（通用版）2022年高考數(shù)學二輪復習 第一部分 專題十七 坐標系與參數(shù)方程講義 理（重點生，含解析）（選修4-4）卷卷卷2018極坐標與直角坐標的互化、曲線方程的求解參數(shù)方程與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程的應用參數(shù)方程與普通方程的互化、參數(shù)方程的應用2017參數(shù)方程與普通方程的互化、點到直線的距離直角坐標與極坐標的互化、動點軌跡方程的求法、三角形面積的最值問題直線的參數(shù)方程與極坐標方程、動點軌跡方程的求法2016參數(shù)方程與普通方程的互化、極坐標方程與直角坐標方程的互化及應用極坐標方程與直角坐標方程的互化及應用、直線與圓的位置關(guān)系參數(shù)方程、極坐標方程及點到直線的距離、三角函數(shù)的最值縱向把握趨勢考題主要考查極坐標與直角坐標的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化、曲線方程的求解及點到直線距離的應用預計2019年會以直線與圓為載體考查直線與圓參數(shù)方程和極坐標方程的應用考題主要涉及直角坐標方程與參數(shù)方程和極坐標方程的互化、軌跡方程的求法、三角形面積的最值問題、直線與圓位置關(guān)系的應用，難度適中預計2019年會以極坐標或參數(shù)方程為載體，考查直線與圓的方程及性質(zhì)橫向把握重點1.坐標系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，高考考查的重點主要有兩個方面：一是簡單曲線的極坐標方程；二是參數(shù)方程、極坐標方程與曲線的綜合應用2.全國卷對此部分內(nèi)容的考查以解答題形式出現(xiàn)，難度中等，備考此部分內(nèi)容時應注意轉(zhuǎn)化思想的應用極坐標方程及應用(3)直線過M且平行于極軸：sin b.(2019屆高三·廣州七校第一次聯(lián)考)已知曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系(1)求曲線C的極坐標方程；(2)設(shè)l1：，l2：，若l1，l2與曲線C相交于異于原點的兩點A，B，求AOB的面積解(1)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線C的普通方程為(x2)2(y1)25.將代入并化簡得4cos 2sin ，曲線C的極坐標方程為4cos 2sin .(2)在極坐標系中，曲線C：4cos 2sin ，由得|OA|21.同理可得|OB|2.又AOB，SAOB|OA|·|OB|sinAOB.AOB的面積為.類題通法1極坐標方程與普通方程的互化技巧(1)巧用極坐標方程兩邊同乘以或同時平方技巧，將極坐標方程構(gòu)造成含有cos ，sin ，2的形式，然后利用公式代入化簡得到普通方程(2)巧借兩角和差公式，轉(zhuǎn)化sin(±)或cos(±)的結(jié)構(gòu)形式，進而利用互化公式得到普通方程(3)將直角坐標方程中的x轉(zhuǎn)化為cos ，將y換成sin ，即可得到其極坐標方程2求解與極坐標有關(guān)的問題的主要方法(1)直接利用極坐標系求解，可與數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合使用(2)轉(zhuǎn)化為直角坐標系，用直角坐標求解若結(jié)果要求的是極坐標，還應將直角坐標化為極坐標 應用通關(guān)1(2019屆高三·南寧模擬)已知曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為4sin，直線l的直角坐標方程為yx.(1)求曲線C1和直線l的極坐標方程；(2)已知直線l分別與曲線C1、曲線C2相交于異于極點的A，B兩點，若A，B的極徑分別為1，2，求|21|的值解：(1)由曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，得曲線C1的普通方程為x2(y1)21，則C1的極坐標方程為2sin .易知直線l過原點，且傾斜角為，故直線l的極坐標方程為(R)(2)曲線C1的極坐標方程為2sin ，直線l的極坐標方程為，將代入C1的極坐標方程得11，將代入C2的極坐標方程得24，|21|3.2(2018·全國卷)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為yk|x|2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為22cos 30.(1)求C2的直角坐標方程；(2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程解：(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐標方程為(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圓心為A(1,0)，半徑為2的圓由題設(shè)知，C1是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于點B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點當l1與C2只有一個公共點時，點A到l1所在直線的距離為2，所以2，故k或k0.經(jīng)檢驗，當k0時，l1與C2沒有公共點；當k時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點當l2與C2只有一個公共點時，點A到l2所在直線的距離為2，所以2，故k0或k.經(jīng)檢驗，當k0時，l1與C2沒有公共點；當k時，l2與C2沒有公共點綜上，所求C1的方程為y|x|2.參數(shù)方程及應用 由題知法常見的幾種曲線的普通方程和參數(shù)方程點的軌跡普通方程參數(shù)方程直線yy0tan (xx0)(t為參數(shù))圓(xx0)2(yy0)2r2(為參數(shù))橢圓1(a>b>0)(為參數(shù))拋物線y22px(t為參數(shù))已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)若直線l與圓C的相交弦長不小于，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若點A的坐標為(2,0)，動點P在圓C上，試求線段PA的中點Q的軌跡方程解(1)由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，得直線l的普通方程為ymx，由圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，得圓C的普通方程為x2(y1)21.則圓心(0,1)到直線l的距離d，故相交弦長為2 ，所以2 ，解得m1或m1.所以實數(shù)m的取值范圍為(，11，)(2)設(shè)P(cos ，1sin )，Q(x，y)，則x(cos 2)，y(1sin )，消去，整理可得線段PA的中點Q的軌跡方程為(x1)22.類題通法1參數(shù)方程化為普通方程消去參數(shù)的方法(1)代入消參法：將參數(shù)解出來代入另一個方程消去參數(shù)，直線的參數(shù)方程通常用代入消參法(2)三角恒等式法：利用sin2cos21消去參數(shù)，圓的參數(shù)方程和橢圓的參數(shù)方程都是運用三角恒等式法(3)常見消參數(shù)的關(guān)系式：t·1；224；221.2與參數(shù)方程有關(guān)問題的求解方法(1)過定點P0(x0，y0)，傾斜角為的直線參數(shù)方程的標準形式為(t為參數(shù))，|t|等于直線上的點P到點P0(x0，y0)的距離若直線上任意兩點P1，P2對應的參數(shù)分別為t1，t2，則|P1P2|t1t2|，P1P2的中點對應的參數(shù)為(t1t2)(2)解決與直線、圓錐曲線的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問題時，要注意普通方程與參數(shù)方程的互化，主要是通過互化解決與圓錐曲線上動點有關(guān)的問題，如最值、范圍等應用通關(guān)1(2018·全國卷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)求C和l的直角坐標方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2)，求l的斜率解：(1)曲線C的直角坐標方程為1.當cos 0時，l的直角坐標方程為ytan ·x2tan ，當cos 0時，l的直角坐標方程為x1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標方程，整理得關(guān)于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi)，所以有兩個解，設(shè)為t1，t2，則t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直線l的斜率ktan 2.2(2018·石家莊質(zhì)檢)在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線l的極坐標方程為cos.(1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標方程；(2)設(shè)直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點，點P是圓C上任意一點，求A，B兩點的極坐標和PAB面積的最小值解：(1)由消去參數(shù)t，得(x5)2(y3)22，所以圓C的普通方程為(x5)2(y3)22.由cos，得cos sin 2，所以直線l的直角坐標方程為xy20.(2)直線l與x軸，y軸的交點分別為A(2,0)，B(0,2)，化為極坐標為A(2，)，B，設(shè)點P的坐標為(5cos t,3sin t)，則點P到直線l的距離為d.所以dmin2，又|AB|2.所以PAB面積的最小值是S×2×24.極坐標方程與參數(shù)方程的綜合問題由題知法(2018·鄭州第一次質(zhì)量預測)在平面直角坐標系xOy中，直線l過點(1,0)，傾斜角為，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是.(1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程；(2)若，設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點，求AOB的面積解(1)由題意可得直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))曲線C的極坐標方程為，sin28cos ，2sin28cos ，即曲線C的直角坐標方程為y28x.(2)法一：當時，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，代入y28x可得t28t160，設(shè)A，B兩點對應的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t28，t1t216，|AB|t1t2|8.又點O到直線AB的距離d1×sin，SAOB×|AB|×d×8×2.法二：當時，直線l的方程為yx1，設(shè)M(1,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y28y80，則y1y28，y1y28，SAOB|OM|y1y2|×1×××42.類題通法解極坐標方程與參數(shù)方程綜合問題的策略(1)對于參數(shù)方程或極坐標方程應用不夠熟練的情況下，我們可以先化成直角坐標的普通方程，這樣思路可能更加清晰(2)對于一些運算比較復雜的問題，用參數(shù)方程計算會比較簡捷(3)利用極坐標方程解決問題時，要注意題目所給的限制條件及隱含條件應用通關(guān)1(2018·合肥第一次質(zhì)量檢測)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：2cos 0.(1)求曲線C2的直角坐標方程；(2)若曲線C1上有一動點M，曲線C2上有一動點N，求|MN|的最小值解：(1)由2cos 0得22cos 0.2x2y2，cos x，x2y22x0，即曲線C2的直角坐標方程為(x1)2y21.(2)由(1)可知，圓C2的圓心為C2(1,0)，半徑為1.設(shè)曲線C1上的動點M(3cos ，2sin )，由動點N在圓C2上可得|MN|min|MC2|min1.|MC2|，當cos 時，|MC2|min，|MN|min|MC2|min11.2(2018·陜西質(zhì)檢)在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程為(t0，為參數(shù))以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為sin3.(1)當t1時，求曲線C上的點到直線l的距離的最大值；(2)若曲線C上的所有點都在直線l的下方，求實數(shù)t的取值范圍解：(1)由sin3，得sin cos 3，把xcos ，ysin 代入，得直線l的直角坐標方程為xy30，當t1時，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，消去參數(shù)得曲線C的普通方程為x2y21，曲線C為圓，且圓心為O，半徑r1，則點O到直線l的距離d，曲線C上的點到直線l的距離的最大值為1.(2)曲線C上的所有點均在直線l的下方，對任意的R，tcos sin 30恒成立，即cos()3恒成立， 3，又t0，0t2.實數(shù)t的取值范圍為(0,2)專題跟蹤檢測(對應配套卷P207)1(2018·全國卷)在平面直角坐標系xOy中，O的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過點(0，)且傾斜角為的直線l與O交于A，B兩點(1)求的取值范圍；(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程解：(1)O的直角坐標方程為x2y21.當時，l與O交于兩點當時，記tan k，則l的方程為ykx.l與O交于兩點需滿足<1，解得k<1或k>1，即或.綜上，的取值范圍是.(2)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，<<）.設(shè)A，B，P對應的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP，且tA，tB滿足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又點P的坐標(x，y)滿足所以點P的軌跡的參數(shù)方程是（為參數(shù)，<<）.2(2018·開封模擬)在直角坐標系xOy中，直線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C2：(x2)2y24，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系(1)求C1，C2的極坐標方程和交點A的坐標(非坐標原點)；(2)若直線C3的極坐標方程為(R)，設(shè)C2與C3的交點為B(非坐標原點)，求OAB的最大面積解：(1)由(t為參數(shù))，得曲線C1的普通方程為yxtan ，故曲線C1的極坐標方程為(R)將xcos ，ysin 代入(x2)2y24，得C2的極坐標方程為4cos .故交點A的坐標為(4cos ，)(也可寫出直角坐標)(2)由題意知，點B的極坐標為.SOAB，當sin1時，(SOAB)max22，故OAB的最大面積是22.3(2018·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)極坐標系的極點為直角坐標系xOy的原點，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標系中的長度單位相同已知曲線C的極坐標方程為2sin ，.(1)求曲線C的直角坐標方程；(2)在曲線C上求一點D，使它到直線l：(t為參數(shù))的距離最短，寫出D點的直角坐標解：(1)由2sin ，可得22sin ，曲線C的直角坐標方程為x2y22y0.(2)由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，消去t得l的普通方程為xy50，由(1)得曲線C的圓心為(0,1)，半徑為1，又點(0,1)到直線l的距離為21，所以曲線C與l相離因為點D在曲線C上，所以可設(shè)D(cos ，1sin )，則點D到直線l的距離d，當sin1時，點D到直線l的距離d最短，此時，故點D的直角坐標為.4(2019屆高三·昆明調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，已知傾斜角為的直線l過點A(2,1)以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系曲線C的極坐標方程為2sin ，直線l與曲線C分別交于P，Q兩點(1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程；(2)若|PQ|2|AP|·|AQ|，求直線l的斜率k.解：(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的直角坐標方程為x2y22y.(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程，得t2(4cos )t30，由(4cos )24×30，得cos2，則t1t24cos ，t1·t23，由參數(shù)的幾何意義知，|AP|t1|，|AQ|t2|，|PQ|t1t2|，由題意知，(t1t2)2t1·t2，則(t1t2)25t1·t2，得(4cos )25×3，解得cos2，滿足cos2，所以sin2，tan2，所以直線l的斜率ktan ±.5已知曲線C：(為參數(shù))和定點A(0，)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是此曲線的左、右焦點，以坐標原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系(1)求直線AF2的極坐標方程；(2)經(jīng)過點F1且與直線AF2垂直的直線l交曲線C于M，N兩點，求|MF1|NF1|的值解：(1)曲線C：可化為1，故曲線C為橢圓，則焦點F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)所以經(jīng)過點A(0，)和F2(1,0)的直線AF2的方程為x1，即xy0，所以直線AF2的極坐標方程為cos sin .(2)由(1)知，直線AF2的斜率為，因為lAF2，所以直線l的斜率為，即傾斜角為30°，所以直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，代入橢圓C的方程中，得13t212t360.則t1t2.因為點M，N在點F1的兩側(cè)，所以|MF1|NF1|t1t2|.6(2018·濰坊模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為cos2sin (0,0)(1)寫出曲線C1的極坐標方程，并求C1與C2交點的極坐標；(2)射線與曲線C1，C2分別交于點A，B(A，B異于原點)，求的取值范圍解：(1)由題意可得曲線C1的普通方程為x2(y2)24，把xcos ，ysin 代入，得曲線C1的極坐標方程為4sin ，聯(lián)立得4sin cos2sin ，此時0，當sin 0時，0，0，得交點的極坐標為(0,0)；當sin 0時，cos2，得cos ±，當cos 時，2，得交點的極坐標為，當cos 時，2，得交點的極坐標為，C1與C2交點的極坐標為(0,0)，.(2)將代入C1的極坐標方程中，得14sin ，代入C2的極坐標方程中，得2，4cos2.，14cos23，的取值范圍為1,37(2018·福州模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C：(為參數(shù)，t0)在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，直線l：cos .(1)若l與曲線C沒有公共點，求t的取值范圍；(2)若曲線C上存在點到l的距離的最大值為，求t的值解：(1)因為直線l的極坐標方程為cos，即cos sin 2，所以直線l的直角坐標方程為xy2.因為曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)，t0)，所以曲線C的普通方程為y21(t0)，由消去x，得(1t2)y24y4t20，所以164(1t2)(4t2)0，又t0，所以0t，故t的取值范圍為(0，)(2)由(1)知直線l的直角坐標方程為xy20，故曲線C上的點(tcos ，sin )到l的距離d，故d的最大值為，由題設(shè)得，解得t±.又t0，所以t.8(2019屆高三·成都診斷)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，過極點O的射線與曲線C相交于不同于極點的點A，且點A的極坐標為(2，)，其中.(1)求的值；(2)若射線OA與直線l相交于點B，求|AB|的值解：(1)由題意知，曲線C的普通方程為x2(y2)24，xcos ，ysin ，曲線C的極坐標方程為(cos )2(sin 2)24，即4sin .由2，得sin ，.(2)易知直線l的普通方程為xy40，直線l的極坐標方程為cos sin 40.又射線OA的極坐標方程為(0)，聯(lián)立解得4.點B的極坐標為，|AB|BA|422.