（新課標）天津市2022年高考數學二輪復習 專題能力訓練17 橢圓、雙曲線、拋物線 理

（新課標）天津市2022年高考數學二輪復習 專題能力訓練17 橢圓、雙曲線、拋物線 理1.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,且與橢圓=1有公共焦點,則C的方程為()A.=1B.=1C.=1D.=12.以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A,B兩點,交C的準線于D,E兩點.已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點到準線的距離為()A.2B.4C.6D.83.(2018全國,理5)若雙曲線=1(a>0,b>0)的離心率為,則其漸近線方程為()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x4.(2018天津,理7)已知雙曲線=1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點.設A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6,則雙曲線的方程為()A.=1B.=1C.=1D.=15.設雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點為F,過點F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A,B兩點,與雙曲線的一個交點為P,設O為坐標原點.若=m+n(m,nR),且mn=,則該雙曲線的離心率為()A.B.C.D.6.雙曲線=1(a>0,b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點B為該雙曲線的焦點.若正方形OABC的邊長為2,則a=. 7.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右頂點為A,以A為圓心,b為半徑作圓A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M,N兩點.若MAN=60°,則C的離心率為.8.如圖,已知拋物線C1:y=x2,圓C2:x2+(y-1)2=1,過點P(t,0)(t>0)作不過原點O的直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為切點.(1)求點A,B的坐標;(2)求PAB的面積.注:直線與拋物線有且只有一個公共點,且與拋物線的對稱軸不平行,則稱該直線與拋物線相切,稱該公共點為切點.9.如圖,動點M與兩定點A(-1,0),B(1,0)構成MAB,且直線MA,MB的斜率之積為4,設動點M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程;(2)設直線y=x+m(m>0)與y軸相交于點P,與軌跡C相交于點Q,R,且|PQ|<|PR|,求的取值范圍.10.已知三點O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲線C上任意一點M(x,y)滿足|=·()+2.(1)求曲線C的方程;(2)點Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲線C上動點,曲線C在點Q處的切線為l,點P的坐標是(0,-1),l與PA,PB分別交于點D,E,求QAB與PDE的面積之比.二、思維提升訓練11.已知F為拋物線C:y2=4x的焦點,過F作兩條互相垂直的直線l1,l2,直線l1與C交于A,B兩點,直線l2與C交于D,E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為()A.16B.14C.12D.1012.(2018全國,理11)設F1,F2是雙曲線C:=1(a>0,b>0)的左、右焦點,O是坐標原點,過F2作C的一條漸近線的垂線,垂足為P.若|PF1|=|OP|,則C的離心率為()A.B.2C.D.13.已知F是拋物線C:y2=8x的焦點,M是C上一點,FM的延長線交y軸于點N,若M為FN的中點,則|FN|=. 14.在平面直角坐標系xOy中,雙曲線=1(a>0,b>0)的右支與焦點為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點,若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為. 15.已知圓C:(x+1)2+y2=20,點B(1,0),點A是圓C上的動點,線段AB的垂直平分線與線段AC交于點P.(1)求動點P的軌跡C1的方程;(2)設M,N為拋物線C2:y=x2上的一動點,過點N作拋物線C2的切線交曲線C1于P,Q兩點,求MPQ面積的最大值.16.已知動點C是橢圓:+y2=1(a>1)上的任意一點,AB是圓G:x2+(y-2)2=的一條直徑(A,B是端點),的最大值是.(1)求橢圓的方程;(2)已知橢圓的左、右焦點分別為點F1,F2,過點F2且與x軸不垂直的直線l交橢圓于P,Q兩點.在線段OF2上是否存在點M(m,0),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形?若存在,求實數m的取值范圍;若不存在,請說明理由.專題能力訓練17橢圓、雙曲線、拋物線一、能力突破訓練1.B解析 由題意得,c=3.又a2+b2=c2,所以a2=4,b2=5,故C的方程為=1.2.B解析 不妨設拋物線C的方程為y2=2px(p>0),圓的方程為x2+y2=R2.因為|AB|=4,所以可設A(m,2).又因為|DE|=2,所以解得p2=16.故p=4,即C的焦點到準線的距離是4.3.A解析 e=,+1=3.雙曲線焦點在x軸上,漸近線方程為y=±x,漸近線方程為y=±x.4.C解析 由雙曲線的對稱性,不妨取漸近線y=x.如圖所示,|AD|=d1,|BC|=d2,過點F作EFCD于點E.由題易知EF為梯形ABCD的中位線,所以|EF|=(d1+d2)=3.又因為點F(c,0)到y=x的距離為=b,所以b=3,b2=9.因為e=2,c2=a2+b2,所以a2=3,所以雙曲線的方程為=1.故選C.5.C解析 在y=±x中令x=c,得A,B,在雙曲線=1中令x=c得P當點P的坐標為時,由=m+n,得由(舍去),e=同理,當點P的坐標為時,e=故該雙曲線的離心率為6.2解析 四邊形OABC是正方形,AOB=45°,不妨設直線OA的方程即雙曲線的一條漸近線的方程為y=x=1,即a=b.又|OB|=2,c=2a2+b2=c2,即a2+a2=(2)2,可得a=2.7解析 如圖所示,由題意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,MAN=60°,|AP|=b,|OP|=設雙曲線C的一條漸近線y=x的傾斜角為,則tan =又tan =,解得a2=3b2,e=8.解 (1)由題意知直線PA的斜率存在,故可設直線PA的方程為y=k(x-t),由消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直線PA與拋物線相切,得k=t.因此,點A的坐標為(2t,t2).設圓C2的圓心為D(0,1),點B的坐標為(x0,y0),由題意知:點B,O關于直線PD對稱,故解得因此,點B的坐標為(2)由(1)知|AP|=t和直線PA的方程tx-y-t2=0.點B到直線PA的距離是d=設PAB的面積為S(t),所以S(t)=|AP|·d=9.解 (1)設M的坐標為(x,y),當x=-1時,直線MA的斜率不存在;當x=1時,直線MB的斜率不存在.于是x1,且x-1.此時,MA的斜率為,MB的斜率為由題意,有=4.整理,得4x2-y2-4=0.故動點M的軌跡C的方程為4x2-y2-4=0(x±1).(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0.對于方程,其判別式=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0,而當1或-1為方程的根時,m的值為-1或1.結合題設(m>0)可知,m>0,且m1.設Q,R的坐標分別為(xQ,yQ),(xR,yR),則xQ,xR為方程的兩根,因為|PQ|<|PR|,所以|xQ|<|xR|.因為xQ=,xR=,且Q,R在同一條直線上,所以=1+此時>1,且2,所以1<1+<3,且1+,所以1<<3,且綜上所述,的取值范圍是10.解 (1)由題意可知=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),=(x,y),=(0,2).|=()+2,=2y+2,x2=4y.曲線C的方程為x2=4y.(2)設Q,則SQAB=2=2y=,y'=x,kl=x0,切線l的方程為y-x0(x-x0)與y軸交點H,|PH|=1-直線PA的方程為y=-x-1,直線PB的方程為y=x-1,由得xD=由得xE=,SPDE=|xD-xE|·|PH|=1-,QAB與PDE的面積之比為2.二、思維提升訓練11.A解析 方法一:由題意,易知直線l1,l2斜率不存在時,不合題意.設直線l1方程為y=k1(x-1),聯立拋物線方程,得消去y,得x2-2x-4x+=0,所以x1+x2=同理,直線l2與拋物線的交點滿足x3+x4=由拋物線定義可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+82+8=16,當且僅當k1=-k2=1(或-1)時,取得等號.方法二:如圖所示,由題意可得F(1,0),設AB傾斜角為作AK1垂直準線,AK2垂直x軸,結合圖形,根據拋物線的定義,可得所以|AF|·cos +2=|AF|,即|AF|=同理可得|BF|=,所以|AB|=又DE與AB垂直,即DE的傾斜角為+,則|DE|=,所以|AB|+|DE|=16,當=時取等號,即|AB|+|DE|最小值為16,故選A.12.C解析 由題意畫圖,如圖所示,可知|PF2|=b,|OP|=a.由題意,得|PF1|=a.設雙曲線漸近線的傾斜角為.在OPF1中,由余弦定理知cos(180°-)=-cos .又cos =,=-,解得c2=3a2.e=13.6解析 設N(0,a),由題意可知F(2,0).又M為FN的中點,則M因為點M在拋物線C上,所以=8,即a2=32,即a=±4所以N(0,±4).所以|FN|=6.14.y=±x解析 拋物線x2=2py的焦點F,準線方程為y=-設A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|+|BF|=y1+y2+=y1+y2+p=4|OF|=4=2p.所以y1+y2=p.聯立雙曲線與拋物線方程得消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.所以y1+y2=p,所以所以該雙曲線的漸近線方程為y=±x.15.解 (1)由已知可得,點P滿足|PB|+|PC|=|AC|=2>2=|BC|,所以動點P的軌跡C1是一個橢圓,其中2a=2,2c=2.動點P的軌跡C1的方程為=1.(2)設N(t,t2),則PQ的方程為y-t2=2t(x-t)y=2tx-t2.聯立方程組消去y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有而|PQ|=|x1-x2|=,點M到PQ的高為h=,由SMPQ=|PQ|h代入化簡,得SMPQ=,當且僅當t2=10時,SMPQ可取最大值16.解 (1)設點C的坐標為(x,y),則+y2=1.連接CG,由,又G(0,2),=(-x,2-y),可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中y-1,1.因為a>1,所以當y=-1,即1<a3時,取y=-1,得有最大值-(a-1)+4+a+,與條件矛盾;當y=>-1,即a>3時,的最大值是,由條件得,即a2-7a+10=0,解得a=5或a=2(舍去).綜上所述,橢圓的方程是+y2=1.(2)設點P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點坐標為(x0,y0),則滿足=1,=1,兩式相減,整理,得=-=-,從而直線PQ的方程為y-y0=-(x-x0).又右焦點F2的坐標是(2,0),將點F2的坐標代入PQ的方程得-y0=-(2-x0),因為直線l與x軸不垂直,所以2x0-=5>0,從而0<x0<2.假設在線段OF2上存在點M(m,0)(0<m<2),使得以MP,MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形,則線段PQ的垂直平分線必過點M,而線段PQ的垂直平分線方程是y-y0=(x-x0),將點M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得m=x0,從而m