概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題集及答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計作業(yè)集及答案第1章 概率論的基本概念1 .1 隨機試驗及隨機事件1. (1) 一枚硬幣連丟3次，觀察正面H反面T 出現(xiàn)的情形. 樣本空間是：S= ；(2) 一枚硬幣連丟3次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù). 樣本空間是：S= ；2.(1) 丟一顆骰子. A：出現(xiàn)奇數(shù)點，則A= ；B：數(shù)點大于2，則B= . (2) 一枚硬幣連丟2次， A：第一次出現(xiàn)正面，則A= ；B：兩次出現(xiàn)同一面，則= ； C：至少有一次出現(xiàn)正面，則C= .1 .2 隨機事件的運算1. 設(shè)A、B、C為三事件，用A、B、C的運算關(guān)系表示下列各事件：(1)A、B、C都不發(fā)生表示為： .(2)A與B都發(fā)生,而C不發(fā)生表示為： .(3)A與B都不發(fā)生,而C發(fā)生表示為： .(4)A、B、C中最多二個發(fā)生表示為： .(5)A、B、C中至少二個發(fā)生表示為： .(6)A、B、C中不多于一個發(fā)生表示為： .2. 設(shè)：則 （1） ，（2） ，（3） ， （4）= ，（5）= 。1 .3 概率的定義和性質(zhì)1. 已知，則 (1) , (2)()= , (3)= .2. 已知 則= .1 .4 古典概型1. 某班有30個同學(xué),其中8個女同學(xué), 隨機地選10個,求:(1)正好有2個女同學(xué)的概率,(2)最多有2個女同學(xué)的概率,(3) 至少有2個女同學(xué)的概率.2. 將3個不同的球隨機地投入到4個盒子中,求有三個盒子各一球的概率.1 .5 條件概率與乘法公式1丟甲、乙兩顆均勻的骰子，已知點數(shù)之和為7, 則其中一顆為1的概率是 。2. 已知 則 。1 .6 全概率公式1. 有10個簽，其中2個“中”，第一人隨機地抽一個簽，不放回，第二人再隨機地抽一個簽，說明兩人抽“中的概率相同。2. 第一盒中有4個紅球6個白球，第二盒中有5個紅球5個白球，隨機地取一盒，從中隨機地取一個球，求取到紅球的概率。1 .7 貝葉斯公式1 某廠產(chǎn)品有70%不需要調(diào)試即可出廠，另30%需經(jīng)過調(diào)試，調(diào)試后有80%能出廠，求（1）該廠產(chǎn)品能出廠的概率，（2）任取一出廠產(chǎn)品, 求未經(jīng)調(diào)試的概率。2 將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02，B被誤收作A的概率為0.01，信息A與信息B傳遞的頻繁程度為3 : 2，若接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息是A的概率是多少？1 .8 隨機事件的獨立性1. 電路如圖，其中A,B,C,D為開關(guān)。設(shè)各開關(guān)閉合與否相互獨立，且每一開關(guān)閉合的概率均為p,求L與R為通路（用T表示）的概率。 A B L R C D 3. 甲，乙,丙三人向同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為0.4,0.5和0.6，是否命中，相互獨立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。第1章作業(yè)答案1 .1 1：（1）； （2）2：（1）； （2）正正，正反正正，反反正正，正反，反正。1 .2 1： (1) ；(2) ；(3) ；(4)；(5) ；(6) 或 ；2： (1)；(2)；(3)；（4）或 ；（5）。1 .3 1： (1) =0.3, (2)= 0.2, (3) = 0.7. 2：)=0.4.1 .4 1：(1),(2)(,(3)1-(.2： .1 .5 1：. 2/6； 2： 1/4。1 .6 1： 設(shè)A表示第一人“中”，則 P(A) = 2/10設(shè)B表示第二人“中”，則 P(B) = P(A)P(B|A) + P()P(B|) =兩人抽“中的概率相同, 與先后次序無關(guān)。2： 隨機地取一盒，則每一盒取到的概率都是0.5，所求概率為：p = 0.5 0.4 + 0.5 0.5 = 0.451 .7 1：（1）94% （2）70/94； 2： 0.993；1 .8. 1： 用A,B,C,D表示開關(guān)閉合，于是 T = ABCD, 從而，由概率的性質(zhì)及A,B,C,D的相互獨立性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D) P(A)P(B)P(C)P(D)2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章 隨機變量及其分布2.1 隨機變量的概念，離散型隨機變量1 一盒中有編號為1，2，3，4，5的五個球，從中隨機地取3個，用X表示取出的3個球中的最大號碼., 試寫出X的分布律.2 某射手有5發(fā)子彈，每次命中率是0.4，一次接一次地射擊，直到命中為止或子彈用盡為止，用X表示射擊的次數(shù), 試寫出X的分布律。2.2 分布和泊松分布1 某程控交換機在一分鐘內(nèi)接到用戶的呼叫次數(shù)X是服從=4的泊松分布，求(1)每分鐘恰有1次呼叫的概率；(2)每分鐘只少有1次呼叫的概率；(3)每分鐘最多有1次呼叫的概率；2 設(shè)隨機變量X有分布律： X 2 3 , Y(X), 試求： p 0.4 0.6（1）P(X=2,Y2)； (2)P(Y2)； (3) 已知 Y2, 求X=2 的概率。2.3 貝努里分布1 一辦公室內(nèi)有5臺計算機，調(diào)查表明在任一時刻每臺計算機被使用的概率為0.6，計算機是否被使用相互獨立，問在同一時刻(1) 恰有2臺計算機被使用的概率是多少？(2) 至少有3臺計算機被使用的概率是多少？(3) 至多有3臺計算機被使用的概率是多少？(4) 至少有1臺計算機被使用的概率是多少？2 設(shè)每次射擊命中率為0.2，問至少必須進行多少次獨立射擊，才能使至少擊中一次的概率不小于0.9 ？2.4 隨機變量的分布函數(shù)1設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)是： F(x) = （1） 求 P(X0 )； P；P(X1)，(2) 寫出X的分布律。2 設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)是：F(x) = , 求（1）常數(shù)A, (2) P.2.5 連續(xù)型隨機變量1 設(shè)連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為：（1）求常數(shù)的值；（2）求X的分布函數(shù)F(x)，畫出F(x) 的圖形，（3）用二種方法計算 P(- 0.5<X<0.5).2 設(shè)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為：F(x) = (1) 求X的密度函數(shù)，畫出的圖形，(2)并用二種方法計算 P(X>0.5).2.6 均勻分布和指數(shù)分布1設(shè)隨機變量K在區(qū)間 (0, 5) 上服從均勻分布, 求方程 4+ 4Kx + K + 2 = 0有實根的概率。2 假設(shè)打一次電話所用時間（單位：分）X服從的指數(shù)分布，如某人正好在你前面走進電話亭，試求你等待：（1）超過10分鐘的概率；（2）10分鐘 到20分鐘的概率。2.7 正態(tài)分布1 隨機變量XN (3, 4), (1) 求 P(2<X5) , P(- 4<X10), P(|X|>2), P(X>3)；(2) 確定c，使得 P(X>c) = P(X<c)。2 某產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布，=160，若要求P(120<X<200)0.80，試問最多取多大？2.8 隨機變量函數(shù)的分布1設(shè)隨機變量的分布律為； X 0 1 2 p 0.3 0.4 0.3Y = 2X 1, 求隨機變量的分布律。2設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為：，；求隨機變量Y的密度函數(shù)。3. 設(shè)隨機變量服從（0， 1）上的均勻分布， ，求隨機變量Y的密度函數(shù)。第2章作業(yè)答案2.1 1： X 3 4 5 p 0.1 0.3 0.62： X 1 2 3 4 5 p 0.4 0.60.4 0.60.60.4 0.60.60.60.4 0.60.60.60.612.2 1： (1) P(X = 1) = P(X1) P(X2) = 0.981684 0.908422 = 0.073262, (2) P(X1) = 0.981684, (3) P(X1) = 1 - P(X2) = 1 0.908422 = 0.091578。 2：(1) 由乘法公式：P(X=2,Y2) = P(X=2) P(Y2 | X=2)= 0.4 ()= 2（2）由全概率公式：P(Y2) = P(X=2) P(Y2 | X=2) + P(X=3) P(Y2 | X=3)= 0.45 + 0.6= 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 （3）由貝葉斯公式：P(X=2|Y2)=2.3 1： 設(shè)X表示在同一時刻被使用的臺數(shù)，則 X B(5, 0.6),(1) P( X = 2 ) = (2) P(X 3 ) = (3) P(X 3 ) = 1 - (4)P(X 1 ) = 1 - 2： 至少必須進行11次獨立射擊.2.4 1：（1）P(X0 )=0.5； P = 0.5；P(X1) = 0.5，(2) X的分布律為： X -1 1 P 0.5 0.52： (1) A = 1, (2) P =1/62.5 1：（1），（2）；（3）P(- 0.5<X<0.5) = ； 或= F(0,5) F(-0.5) = 。 2： （1） （2）2.6 1： 3/5 2： 2.7 1：(1) 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5；(2) c = 3， 2：31.25。2.8 1： Y - 1 1 3 p 0.3 0.4 0.32： ， 3： ；第3章 多維隨機變量3.1 二維離散型隨機變量1. 設(shè)盒子中有2個紅球，2個白球，1個黑球，從中隨機地取3個，用X表示取到的紅球個數(shù)，用Y表示取到的白球個數(shù)，寫出 (X, Y) 的聯(lián)合分布律及邊緣分布律。2. 設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布律為： X Y 0 1 2 試根椐下列條件分別求a和b的值； 0 0.1 0.2 a (1)； 1 0.1 b 0.2(2)； (3)設(shè)是的分布函數(shù)，。3.2 二維連續(xù)型隨機變量1. 的聯(lián)合密度函數(shù)為：求（1）常數(shù)k；（2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3) P(X+Y<1)；(4) P(X<1/2)。2的聯(lián)合密度函數(shù)為：求（1）常數(shù)k；（2）P(X+Y<1)；(3) P(X<1/2)。3.3 邊緣密度函數(shù)1. 設(shè)(X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求與的邊緣密度函數(shù)。2. 設(shè)(X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求與的邊緣密度函數(shù)。 3.4 隨機變量的獨立性1. (X, Y) 的聯(lián)合分布律如下， X Y 1 2 3 試根椐下列條件分別求a和b的值； 1 1/6 1/9 1/18(1) ； 2 a b 1/9(2) ； （3）已知與相互獨立。2. (X,Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)如下，求常數(shù)c，并討論與是否相互獨立？ 第3章作業(yè)答案3.1 1： X Y 1 2 2： (1) a=0.1 b=0.3 1 0.4 0.3 0.7 (2) a=0.2 b=0.2 2 0.3 0. 0.3 (3) a=0.3 b=0.1 0.7 0.3 1 3.2 1：(1) k = 1；(2) P(X<1/2, Y<1/2) = 1/8；(3) P(X+Y<1) = 1/3；(4) P(X<1/2) = 3/8。 2：(1) k = 8；(2) P(X+Y<1) = 1/6；(3) P(X<1/2) = 1/16。3.3 1： ； 2： ； ；3.4 1： （1）a=1/6 b=7/18； (2) a=4/9 b=1/9；（3）a = 1/3, b = 2/9。 2： c = 6, X與Y相互獨立。第4章 隨機變量的數(shù)字特征4.1 數(shù)學(xué)期望1盒中有5個球，其中2個紅球，隨機地取3個，用X表示取到的紅球的個數(shù)，則EX是： （A）1； （B）1.2； （C）1.5； （D）2.2. 設(shè)有密度函數(shù)： , 求,并求大于數(shù)學(xué)期望的概率。3. 設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布律為： X Y 0 1 2 已知， 0 0.1 0.2 a 則a和b的值是： 1 0.1 b 0.2 （A）a=0.1, b=0.3； （B）a=0.3, b=0.1； （C）a=0.2, b=0.2； （D）a=0.15, b=0.25。4設(shè)隨機變量 (X, Y) 的聯(lián)合密度函數(shù)如下：求。 4.2 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1設(shè)X有分布律： X 0 1 2 3 則是： p 0.1 0.2 0.3 0.4（A）1； （B）2； （C）3； （D）4.2. 設(shè)有，試驗證 ，但與不相互獨立。4.3 方差1 丟一顆均勻的骰子，用X表示點數(shù)，求.2 有密度函數(shù)： ，求 D(X).4.4 常見的幾種隨機變量的期望與方差1 設(shè),相互獨立，則的值分別是：（A） -1.6和4.88； （B）-1和4； （C）1.6和4.88； （D）1.6和-4.88.2. 設(shè)，與有相同的期望和方差，求的值。 （A） 0和8； （B） 1和7； （C） 2和6； （D） 3和5.4.6 獨立性與不相關(guān)性 矩1下列結(jié)論不正確的是（ ）（A）與相互獨立，則與不相關(guān)；（B）與相關(guān)，則與不相互獨立；（C），則與相互獨立；（D），則與不相關(guān)；2若 ，則不正確的是（ ）（A）；（B）；（C）；（D）；3（）有聯(lián)合分布律如下，試分析與的相關(guān)性和獨立性。 X Y 1 0 1 . 1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/84是與不相關(guān)的（ ） （A）必要條件；（B）充分條件：（C）充要條件；（D）既不必要，也不充分。5. 是與相互獨立的（ ）（A） 必要條件；（B）充分條件：（C）充要條件；（D）既不必要，也不充分。6. 設(shè)隨機變量 (X, Y) 有聯(lián)合密度函數(shù)如下：試驗證與不相關(guān)，但不獨立。 第4章作業(yè)答案4.1 1： B； 2：3/2, 2, 3/4, 37/64； 3： D； 4： 2/3，4/3，17/9；4.2 1： D； 4.3 1：7/2, 35/12； 2：11/36；4.4 1：A； 2： B；4.5 1：0.2， 0.355； 2：1/144, 1/11；4.6 1：C； 2：C； 3：與不相關(guān)，但與不相互獨立；4：C；5：A；第5章 極限定理*5.1 大數(shù)定理5.2 中心極限定理1 一批元件的壽命（以小時計）服從參數(shù)為0.004的指數(shù)分布，現(xiàn)有元件30只，一只在用，其余29只備用，當(dāng)使用的一只損壞時，立即換上備用件，利用中心極限定理求30只元件至少能使用一年（8760小時）的近似概率。2 某一隨機試驗，“成功”的概率為0.04，獨立重復(fù)100次，由泊松定理和中心極限定理分別求最多“成功”6次的概率的近似值。第5章作業(yè)答案5.2 2：0.1788； 3：0.889， 0.841；第6章 數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)6.1 數(shù)理統(tǒng)計中的幾個概念1 有n=10的樣本；1.2， 1.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4，則樣本均值= ，樣本均方差 ，樣本方差 。2設(shè)總體方差為有樣本，樣本均值為，則 。6.2 數(shù)理統(tǒng)計中常用的三個分布1. 查有關(guān)的附表，下列分位點的值：= ，= ，= 。2設(shè)是總體的樣本，求。6.3 一個正態(tài)總體的三個統(tǒng)計量的分布1設(shè)總體，樣本，樣本均值，樣本方差，則 ， ， ， ，第6章作業(yè)答案6.1 1； 2. ；6.2 1-1.29， 9.236， -1.3722； 2；6.3 1.；第7章 參數(shù)估計7.1 矩估計法和順序統(tǒng)計量法1. 設(shè)總體的密度函數(shù)為：，有樣本，求未知參數(shù) 的矩估計。2.每分鐘通過某橋量的汽車輛數(shù)，為估計的值，在實地隨機地調(diào)查了20次，每次1分鐘，結(jié)果如下：次數(shù)： 2 3 4 5 6 量數(shù)： 9 5 3 7 4 試求的一階矩估計和二階矩估計。 7.2 極大似然估計1. 設(shè)總體的密度函數(shù)為：，有樣本，求未知參數(shù) 的極大似然估計。7.3 估計量的評價標(biāo)準(zhǔn)1. 設(shè)總體服從區(qū)間上的均勻分布，有樣本，證明是 的無偏估計。2. 設(shè)總體，有樣本，證明是參數(shù)的無偏估計（）。7.4 參數(shù)的區(qū)間估計1. 纖度是衡量纖維粗細(xì)程度的一個量，某廠化纖纖度,抽取9根纖維，測量其纖度為：1.36，1.49，1.43，1.41，1.27，1.40，1.32，1.42，1.47，試求的置信度為的置信區(qū)間，（1）若,（2）若未知2. 2. 為分析某自動設(shè)備加工的另件的精度，抽查16個另件，測量其長度，得，s = 0.0494, 設(shè)另件長度,取置信度為，（1）求的置信區(qū)間，（2）求的置信區(qū)間。第7章作業(yè)答案7.1 1：； 2： 5， 4.97；7.2 1：；7.37.4 1：（1.377，1.439），（1.346，1.454）； 2：（0.0013，0.0058）；(0.036, 0.076)第8章 假設(shè)檢驗8.1 假設(shè)檢驗的基本概念1. 某種電子元件的阻值（歐姆）,隨機抽取25個元件，測得平均電阻值，試在下檢驗電阻值的期望是否符合要求？2. 在上題中若未知，而25個元件的均方差，則需如何檢驗，結(jié)論是什么？8.2 假設(shè)檢驗的說明1. 設(shè)第一道工序后，半成品的某一質(zhì)量指標(biāo),品質(zhì)管理部規(guī)定在進入下一工序前必需對該質(zhì)量指標(biāo)作假設(shè)檢驗，；，當(dāng)與的絕對偏差不超過3.29時，許進入下一工序，試推算該檢驗的顯著性水平。8.3 一個正態(tài)總體下參數(shù)的假設(shè)檢驗1. 成年男子肺活量為毫升的正態(tài)分布，選取20名成年男子參加某項體育鍛練一定時期后，測定他們的肺活量，得平均值為毫升，設(shè)方差為，試檢驗肺活量均值的提高是否顯著（?。康?章作業(yè)答案8.1 1：拒絕； 2： 接受；8.2 1：0.1；8.3 1：拒絕；- 14 -