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2022年高考數(shù)學(xué) (真題+模擬新題分類匯編) 解析幾何 理

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2022年高考數(shù)學(xué) (真題+模擬新題分類匯編) 解析幾何 理

2022年高考數(shù)學(xué) (真題+模擬新題分類匯編) 解析幾何 理20H1,H5,H8xx·新課標(biāo)全國卷 平面直角坐標(biāo)系xOy中,過橢圓M:1(ab0)右焦點的直線xy0交M于A,B兩點,P為AB的中點,且OP的斜率為.(1)求M的方程;(2)C,D為M上兩點,若四邊形ACBD的對角線CDAB,求四邊形ACBD面積的最大值20解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則1,1.1.由此可得1.因為x1x22x0,y1y22y0,所以a22b2.又由題意知,M的右焦點為(,0),故a2b23.因此a26,b23.所以M的方程為1.(2)由解得或因此|AB|.由題意可設(shè)直線CD的方程為yxn<n<,設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4)由得3x24nx2n260,于是x3,4.因為直線CD的斜率為1,所以|CD|x4x3|.由已知,四邊形ACBD的面積S|CD|·|AB|.當(dāng)n0時,S取得最大值,最大值為.所以四邊形ACBD面積的最大值為.9E5,H1xx·新課標(biāo)全國卷 已知a>0,x,y滿足約束條件若z2xy的最小值為1,則a()A. B. C1 D29B解析 直線ya(x3)過定點(3,0) .畫出可行域如圖,易得A(1,2a),B(3,0),C(1,2). 作出直線y2x,平移易知直線過A點時直線在y軸上的截距最小,即2(2a)1a .答案為B.H2兩直線的位置關(guān)系與點到直線的距離8H2xx·湖南卷 在等腰直角三角形ABC中,ABAC4,點P是邊AB上異于A,B的一點,光線從點P出發(fā),經(jīng)BC,CA反射后又回到點P(如圖11所示),若光線QR經(jīng)過ABC的重心,則AP等于()圖11A2 B1C. D.8D解析 不妨設(shè)APm(0m4),建立坐標(biāo)系,設(shè)AB為x軸,AC為y軸,則A(0,0),B(4,0),C(0,4),Q(xQ,yQ),R(0,yR),P(m,0),可知ABC的重心為G,根據(jù)反射性質(zhì),可知P關(guān)于y軸的對稱點P1(m,0)在直線QR上,P關(guān)于xy4的對稱點P2(4,4m)在直線RQ上,則QR的方程為,將G代入可得3m24m0,即m或m0(舍),選D.12H2,E1xx·新課標(biāo)全國卷 已知點A(1,0),B(1,0),C(0,1),直線yaxb(a0)將ABC分割為面積相等的兩部分,則b的取值范圍是()A(0,1) B.C. D.12B解析 方法一:易得ABC面積為1,利用極限位置和特值法當(dāng)a0時,易得b1;當(dāng)a時,易得b;當(dāng)a1時,易得b1>.故選B.方法二:(直接法) y ,yaxb與x 軸交于,結(jié)合圖形與a>0 ,××(ab)2a(a1)>0a.a>0,>0b<,當(dāng)a0時,極限位置易得b1,故答案為B.7H2,H4xx·重慶卷 已知圓C1:(x2)2(y3)21,圓C2:(x3)2(y4)29,M,N分別是圓C1,C2上的動點,P為x軸上的動點,則|PM|PN|的最小值為()A5 4 B. 1C62 D.7A解析 如圖,作圓C1關(guān)于x軸的對稱圓C1:(x2)2(y3)21,則|PM|PN|PN|PM|.由圖可知當(dāng)C2,N,P,M,C1在同一直線上時,|PM|PN|PN|PM|取得最小值,即為|C1C2|135 4,故選A.圖13H3圓的方程20H3,H10,H8,H5xx·新課標(biāo)全國卷 已知圓M:(x1)2y21,圓N:(x1)2y29,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程;(2)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點,當(dāng)圓P的半徑最長時,求|AB|.20解:由已知得圓M的圓心為M(1,0),半徑r11;圓N的圓心為N(1,0),半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R.(1)因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由橢圓的定義可知,曲線C是以M, N為左、右焦點,長半軸長為2,短半軸長為的橢圓(左頂點除外),其方程為1(x2)(2)對于曲線C上任意一點P(x,y),由于|PM|PN|2R22,所以R2,當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時,R2,所以當(dāng)圓P的半徑最長時,其方程為(x2)2y24.若l的傾斜角為90°,則l與y軸重合,可得|AB|2 .若l的傾斜角不為90°,由r1R知l不平行于x軸,設(shè)l與x軸的交點為Q,則,可求得Q(4,0),所以可設(shè)l:yk(x4)由l與圓M相切得1,解得k±.當(dāng)k時,將yx代入1,并整理得7x28x80.解得x1,2.所以|AB|x2x1|.當(dāng)k時,由圖形的對稱性可知|AB|.綜上,|AB|2 或|AB|.21F2、F3、H3、H5,H8xx·重慶卷 如圖19所示,橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,離心率e,過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A,A兩點,|AA|4.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P,P,過P,P作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點均在圓Q外,若PQPQ,求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程圖1921解:(1)由題意知點A(c,2)在橢圓上,則1,從而e21.由e得b28,從而a216.故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由橢圓的對稱性,可設(shè)Q(x0,0)又設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點,則|QM|2(xx0)2y2x22x0xx8(x2x0)2x8(x4,4)設(shè)P(x1,y1),由題意,P是橢圓上到Q的距離最小的點,因此,上式當(dāng)xx1時取得最小值又因x1(4,4),所以上式當(dāng)x2x0時取得最小值,從而x12x0,且|QP|28x.因為PQPQ,且P(x1,y1),所以·(x1x0,y1)·(x1x0,y1)0,即(x1x0)2y0.由橢圓方程及x12x0得x80,解得x1±,x0±,從而|QP|28x.故這樣的圓有兩個,其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為y2,y2.H4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系9H4xx·江西卷 過點(,0)引直線l與曲線y相交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,當(dāng)AOB的面積取最大值時,直線l的斜率等于()A. BC± D9B解析 AB:yk(x),k<0,圓心到直線的距離d<1,得1<k<0,|AB|22,SAOB|AB|d,1<k<0,可得當(dāng)k時,SAOB最大故選B.9H4xx·山東卷 過點(3,1)作圓(x1)2y21的兩條切線,切點分別為A,B,則直線AB的方程為()A2xy30 B2xy30C4xy30 D4xy309A解析 方法一:設(shè)點P(3,1),圓心為C,設(shè)過點P的圓C的切線方程為y1k,由題意得1,解之得k0或,即切線方程為y1或4x3y90.聯(lián)立 得一切點為,又kPC,kAB2,即弦AB所在直線方程為y12,整理得2xy30.方法二:設(shè)點P(3,1),圓心為C,以PC為直徑的圓的方程為y0,整理得x24xy2y30,聯(lián)立,兩式相減得2xy30.11H7,H4xx·新課標(biāo)全國卷 設(shè)拋物線C:y22px(p>0)的焦點為F,點M在C上,|MF|5.若以MF為直徑的圓過點(0,2),則C的方程為()Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y216x11C解析 拋物線焦點為F,0 ,由拋物線的定義,設(shè)M5,設(shè)N點坐標(biāo)為(0,2)因為圓過點N(0,2),故NFNM×1,設(shè)t,則式可化為t24 t80t2 p210p160p2或p8 .圖1521H4,H5xx·浙江卷 如圖15所示,點P(0,1)是橢圓C1:1(a>b>0)的一個頂點,C1的長軸是圓C2:x2y24的直徑l1,l2是過點P且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于A,B兩點,l2交橢圓C1于另一點D.(1)求橢圓C1的方程;(2)求ABD面積取得最大值時直線l1的方程21解:(1)由題意得所以橢圓C的方程為y21.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0)由題意知直線l1的斜率存在,不妨設(shè)其為k,則直線l1的方程為ykx1.又圓C2:x2y24,故點O到直線l1的距離d,所以|AB|2 2 .又l2l1,故直線l2的方程為xkyk0.由消去y,整理得(4k2)x28kx0.故x0,所以|PD|.設(shè)ABD的面積為S,則S·|AB|·|PD|,所以S,當(dāng)且僅當(dāng)k±時取等號所以所求直線l1的方程為y±x1.7H2,H4xx·重慶卷 已知圓C1:(x2)2(y3)21,圓C2:(x3)2(y4)29,M,N分別是圓C1,C2上的動點,P為x軸上的動點,則|PM|PN|的最小值為()A5 4 B. 1C62 D.7A解析 如圖,作圓C1關(guān)于x軸的對稱圓C1:(x2)2(y3)21,則|PM|PN|PN|PM|.由圖可知當(dāng)C2,N,P,M,C1在同一直線上時,|PM|PN|PN|PM|取得最小值,即為|C1C2|135 4,故選A.圖13H5橢圓及其幾何性質(zhì)20H3,H10,H8,H5xx·新課標(biāo)全國卷 已知圓M:(x1)2y21,圓N:(x1)2y29,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程;(2)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點,當(dāng)圓P的半徑最長時,求|AB|.20解:由已知得圓M的圓心為M(1,0),半徑r11;圓N的圓心為N(1,0),半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R.(1)因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由橢圓的定義可知,曲線C是以M, N為左、右焦點,長半軸長為2,短半軸長為的橢圓(左頂點除外),其方程為1(x2)(2)對于曲線C上任意一點P(x,y),由于|PM|PN|2R22,所以R2,當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時,R2,所以當(dāng)圓P的半徑最長時,其方程為(x2)2y24.若l的傾斜角為90°,則l與y軸重合,可得|AB|2 .若l的傾斜角不為90°,由r1R知l不平行于x軸,設(shè)l與x軸的交點為Q,則,可求得Q(4,0),所以可設(shè)l:yk(x4)由l與圓M相切得1,解得k±.當(dāng)k時,將yx代入1,并整理得7x28x80.解得x1,2.所以|AB|x2x1|.當(dāng)k時,由圖形的對稱性可知|AB|.綜上,|AB|2 或|AB|.10H5xx·新課標(biāo)全國卷 已知橢圓E:1(ab0)的右焦點為F(3,0),過點F的直線交E于A,B兩點,若AB的中點坐標(biāo)為(1,1),則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.110D解析 由題意知kAB,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則0.由AB的中點是(1,1)知,聯(lián)立a2b29,解得a218,b29,故橢圓E的方程為1.18H5、H8、H9xx·安徽卷 設(shè)橢圓E:1的焦點在x軸上(1)若橢圓E的焦距為1,求橢圓E的方程;(2)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點,P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點,直線F2P交y軸于點Q,并且F1PF1Q.證明:當(dāng)a變化時,點P在某定直線上18解:(1)因為焦距為1,所以2a21,解得a2.故橢圓E的方程為1.(2)設(shè)P(x0,y0),F(xiàn)1(c,0),F(xiàn)2(c,0),其中c.由題設(shè)知x0c,則直線F1P的斜率kF1P,直線F2P的斜率kF2P,故直線F2P的方程為y(xc)x0時,y,即點Q的坐標(biāo)為0,.因此,直線F1Q的斜率為kF1Q.由于F1PF1Q,所以kF1P·kF1Q·1.化簡得yx(2a21)將代入橢圓E的方程,由于點P(x0,y0)在第一象限,解得x0a2,y01a2,即點P在定直線xy1上14H5,H8xx·福建卷 橢圓:1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,焦距為2c.若直線y(xc)與橢圓的一個交點M滿足MF1F22MF2F1,則該橢圓的離心率等于_14.1解析 如圖,MF1F2中,MF1F260°,MF2F130°,F(xiàn)1MF290°,又|F1F2|2c,|MF1|c,|MF2|c,2a|MF1|MF2|cc,得e1.12H5xx·江蘇卷 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>0,b>0),右焦點為F,右準(zhǔn)線為l,短軸的一個端點為B.設(shè)原點到直線BF的距離為d1,F(xiàn)到l的距離為d2.若d2d1,則橢圓C的離心率為_12.解析 由題意知F(c,0),l:x,不妨設(shè)B(0,b),則直線BF:1,即bxcybc0.于是d1,d2c.由d2d1,得6,化簡得6c4a2c2a40,即6e4e210,解得e2或e2(舍去),故e,故橢圓C的離心率為.20.圖17H5,H8xx·江西卷 如圖17所示,橢圓C:1(a>b>0)經(jīng)過點P,離心率e,直線l的方程為x4.(1)求橢圓C的方程;(2)AB是經(jīng)過右焦點F的任一弦(不經(jīng)過點P),設(shè)直線AB與直線l相交于點M,記PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3.問:是否存在常數(shù),使得k1k2k3?若存在,求的值;若不存在,說明理由解:(1)由P在橢圓上得1,依題設(shè)知a2c,則b23c2,代入解得c21,a24,b23.故橢圓C的方程為1.(2)方法一:由題意可設(shè)AB的斜率為k,則直線AB的方程為yk(x1),代入橢圓方程3x24y212并整理,得(4k23)x28k2x4(k23)0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1x2,x1x2,在方程中令x4得,M的坐標(biāo)為(4,3k)從而k1,k2,k3k,注意到A,F(xiàn),B共線,則有kkAFkBF,即有k,所以k1k22k·,代入得k1k22k·2k1.又k3k,所以k1k22k3,故存在常數(shù)2符合題意方法二:設(shè)B(x0,y0)(x01),則直線FB的方程為:y(x1)令x4,求得M.從而直線PM的斜率為k3,聯(lián)立得A,則直線PA的斜率為k1,直線PB的斜率為k2,所以k1k22k3,故存在常數(shù)2符合題意19H5,H10xx·北京卷 已知A,B,C是橢圓W:y21上的三個點,O是坐標(biāo)原點(1)當(dāng)點B是W的右頂點,且四邊形OABC為菱形時,求此菱形的面積;(2)當(dāng)點B不是W的頂點時,判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由19解:(1)橢圓W:y21的右頂點B的坐標(biāo)為(2,0)因為四邊形OABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分所以可設(shè)A(1,m),代入橢圓方程得m21,即m±.所以菱形OABC的面積是|OB|·|AC|×2×2|m|.(2)假設(shè)四邊形OABC為菱形因為點B不是W的頂點,且直線AC不過原點,所以可設(shè)AC的方程為ykxm(k0,m0)由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),則,k·m.所以AC的中點為M.因為M為AC和OB的交點,所以直線OB的斜率為.因為k·1,所以AC與OB不垂直所以四邊形OABC不是菱形,與假設(shè)矛盾所以當(dāng)點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能是菱形15H5xx·遼寧卷 已知橢圓C:1(a>b>0)的左焦點為F,C與過原點的直線相交于A,B兩點,聯(lián)結(jié)AF,BF.若|AB|10,|AF|6,cosABF,則C的離心率e_15.解析 設(shè)橢圓的右焦點為Q,在三角形ABF中利用余弦定理可以得到|BF|8,利用橢圓的對稱性可以得到|AQ|8,則FAQ為直角三角形,然后利用橢圓的定義可以得到2a14,2c10,得e.15H5xx·全國卷 記不等式組所表示的平面區(qū)域為D.若直線ya(x1)與D有公共點,則a的取值范圍是_15.解析 已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖12中的三角形ABC及其內(nèi)部,直線ya(x1)是過點(1,0)斜率為a的直線,該直線與區(qū)域D有公共點時,a的最小值為MA的斜率,最大值為MB的斜率,其中點A(1,1),B(0,4),故MA的斜率等于,MB的斜率等于4,故實數(shù)a的取值范圍是.8H5、H8xx·全國卷 橢圓C:1的左、右頂點分別為A1,A2,點P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是2,1,那么直線PA1斜率的取值范圍是()A. B. C. D.8B解析 橢圓的左、右頂點分別為(2,0),(2,0),設(shè)P(x0,y0),則kPA1kPA2·,而1,即y(4x),所以kPA1kPA2,所以kPA1.22H5xx·山東卷 橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F(xiàn)2,離心率為,過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.(1)求橢圓C的方程;(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點,聯(lián)結(jié)PF1,PF2,設(shè)F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M(m,0),求m的取值范圍;(3)在(2)的條件下,過點P作斜率為k的直線l,使得l與橢圓C有且只有一個公共點,設(shè)直線PF1,PF2的斜率分別為k1,k2,若k0,試證明為定值,并求出這個定值22解:(1)由于c2a2b2,將xc代入橢圓方程1,得y±.由題意知 1,即a2b2.又e,所以a2,b1.所以橢圓C的方程為y21.(2)方法一:設(shè)P(x0,y0)(y00)又F1(,0),F(xiàn)2(,0),所以直線PF1,PF2的方程分別為lPF1:y0x(x0)yy00,lPF2:y0x(x0)yy00.由題意知.由于點P在橢圓上,所以y1,所以 .因為<m<,2<x0<2,可得.所以mx0.因此<m<.方法二:設(shè)P(x0,y0)當(dāng)0x02時,當(dāng)x0時,直線PF2的斜率不存在,易知P,或P.若P,則直線PF1的方程為x4 y0.由題意得m,因為<m<,所以m.若P,同理可得m.當(dāng)x0時,設(shè)直線PF1,PF2的方程分別為yk1(x),yk2(x)由題意知,所以.因為y1,并且k1,k2,所以,即.因為<m<,0x02且x0,所以.整理得m,故0m且m.綜合可得0m.當(dāng)2<x0<0時,同理可得<m<0.綜上所述,m的取值范圍是.(3)設(shè)P(x0,y0)(y00),則直線l的方程為yy0k(xx0)聯(lián)立整理得(14k2)x28(ky0k2x0)x4(y2kx0y0k2x1)0.由題意0,即(4x)k22x0y0k1y0.又y1,所以16yk28x0y0kx0,故k.由(2)知,所以·8,因此為定值,這個定值為8.20H5,H8xx·四川卷 已知橢圓C:1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),且橢圓C經(jīng)過點P.(1)求橢圓C的離心率;(2)設(shè)過點A(0,2)的直線l與橢圓C交于M,N兩點,點Q是線段MN上的點,且,求點Q的軌跡方程20解:(1)由橢圓定義知,|PF1|PF2|2 .所以a,又由已知,c1,所以橢圓C的離心率e.(2)由(1)知,橢圓C的方程為y21.設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x,y)當(dāng)直線l與x軸垂直時,直線l與橢圓C交于(0,1),(0,1)兩點,此時點Q的坐標(biāo)為.當(dāng)直線l與x軸不垂直時,設(shè)直線l的方程為ykx2.因為M,N在直線l上,可設(shè)點M,N的坐標(biāo)分別為(x1,kx12),(x2,kx22),則|AM|2(1k2)x,|AN|2(1k2)x.又|AQ|2x2(y2)2(1k2)x2.由,得,即.將ykx2代入y21中,得(2k21)x28kx60.由(8k)24×(2k21)×6>0,得k2>.由可知,x1x2,x1x2,代入中并化簡,得x2.因為點Q在直線ykx2上,所以k,代入中并化簡,得10(y2)23x218.由及k2>,可知0<x2<,即x.又滿足10(y2)23x218,故點Q的軌跡方程為10(y2)23x218,x.18H5,H8xx·天津卷 設(shè)橢圓1(a>b>0)的左焦點為F,離心率為,過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點,若··8,求k的值18解:(1)設(shè)F(c,0),由,知ac.過點F且與x軸垂直的直線為xc,代入橢圓的方程有1,解得y±.于是,解得b.又a2c2b2,從而a,c1,所以所求橢圓的方程為1.(2)設(shè)點C(x1,y1),D(x2,y2),由F(1,0)得直線CD的方程為yk(x1)由方程組消去y,整理得(23k2)x26k2x3k260,可得x1x2,x1x2.因為A(,0),B(,0),所以··(x1,y1)·(x2,y2)(x2,y2)·(x1,y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68,解得k±.20H1,H5,H8xx·新課標(biāo)全國卷 平面直角坐標(biāo)系xOy中,過橢圓M:1(ab0)右焦點的直線xy0交M于A,B兩點,P為AB的中點,且OP的斜率為.(1)求M的方程;(2)C,D為M上兩點,若四邊形ACBD的對角線CDAB,求四邊形ACBD面積的最大值20解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則1,1.1.由此可得1.因為x1x22x0,y1y22y0,所以a22b2.又由題意知,M的右焦點為(,0),故a2b23.因此a26,b23.所以M的方程為1.(2)由解得或因此|AB|.由題意可設(shè)直線CD的方程為yxn<n<,設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4)由得3x24nx2n260,于是x3,4.因為直線CD的斜率為1,所以|CD|x4x3|.由已知,四邊形ACBD的面積S|CD|·|AB|.當(dāng)n0時,S取得最大值,最大值為.所以四邊形ACBD面積的最大值為.圖1521H4,H5xx·浙江卷 如圖15所示,點P(0,1)是橢圓C1:1(a>b>0)的一個頂點,C1的長軸是圓C2:x2y24的直徑l1,l2是過點P且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于A,B兩點,l2交橢圓C1于另一點D.(1)求橢圓C1的方程;(2)求ABD面積取得最大值時直線l1的方程21解:(1)由題意得所以橢圓C的方程為y21.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0)由題意知直線l1的斜率存在,不妨設(shè)其為k,則直線l1的方程為ykx1.又圓C2:x2y24,故點O到直線l1的距離d,所以|AB|2 2 .又l2l1,故直線l2的方程為xkyk0.由消去y,整理得(4k2)x28kx0.故x0,所以|PD|.設(shè)ABD的面積為S,則S·|AB|·|PD|,所以S,當(dāng)且僅當(dāng)k±時取等號所以所求直線l1的方程為y±x1.圖129H5,H6xx·浙江卷 如圖12,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓C1:y21與雙曲線C2的公共焦點,A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是()A. B. C. D.9D解析 設(shè)雙曲線實半軸長為a,焦半距為c,|AF1|m,|AF2|n,由題意知c,2mn(mn)2(m2n2)4,(mn)2m2n22mn8,2amn2 ,a,則雙曲線的離心率e,選擇D.21F2、F3、H3、H5,H8xx·重慶卷 如圖19所示,橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,離心率e,過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A,A兩點,|AA|4.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P,P,過P,P作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點均在圓Q外,若PQPQ,求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程圖1921解:(1)由題意知點A(c,2)在橢圓上,則1,從而e21.由e得b28,從而a216.故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由橢圓的對稱性,可設(shè)Q(x0,0)又設(shè)M(x,y)是橢圓上任意一點,則|QM|2(xx0)2y2x22x0xx8(x2x0)2x8(x4,4)設(shè)P(x1,y1),由題意,P是橢圓上到Q的距離最小的點,因此,上式當(dāng)xx1時取得最小值又因x1(4,4),所以上式當(dāng)x2x0時取得最小值,從而x12x0,且|QP|28x.因為PQPQ,且P(x1,y1),所以·(x1x0,y1)·(x1x0,y1)0,即(x1x0)2y0.由橢圓方程及x12x0得x80,解得x1±,x0±,從而|QP|28x.故這樣的圓有兩個,其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為y2,y2.H6雙曲線及其幾何性質(zhì)4H6xx·新課標(biāo)全國卷 已知雙曲線C:1(a0,b0)的離心率為,則C的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±x Dy±x4C解析 離心率,所以.由雙曲線方程知焦點在x軸上,故漸近線方程為y±x.6H6xx·北京卷 若雙曲線1的離心率為,則其漸近線方程為()Ay±2x By±xCy±x Dy±x6B解析 由離心率為,可知ca,c23a2,b22a2,ba,雙曲線的漸近線方程為y±x±x.3H6xx·福建卷 雙曲線y21的頂點到其漸近線的距離等于()A. B. C. D.3C解析 取一頂點(2,0),一條漸近線x2y0,d ,故選C.7H6xx·廣東卷 已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0),離心率等于,則C的方程是()A.1 B.1C.1 D.17B解析 設(shè)雙曲線方程為1,由題知:c3,e,解得a2,b2c2a2945,故C的方程是1.5H6xx·湖北卷 已知0<<,則雙曲線C1:1與C2:1的()A實軸長相等 B虛軸長相等C焦距相等 D離心率相等5D解析 e,C1與C2的tan2 ,故e1e2,選D.14H6xx·湖南卷 設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線C:1(a>0,b>0)的兩個焦點,P是C上一點,若|PF1|PF2|6a,且PF1F2的最小內(nèi)角為30°,則C的離心率為_14.解析 若最小角為F1PF2,由對稱性設(shè)|PF1|>|PF2|,由|PF1|PF2|6a,|PF1|PF2|2a,得|PF1|4a,|PF2|2a,此時|PF2|<|F1F2|,故F1PF2不可能為最小角由雙曲線對稱性,不妨記最小角為PF1F230°,則|PF1|>|PF2|,由|PF1|PF2|6a,|PF1|PF2|2a,得|PF1|4a,|PF2|2a,由余弦定理可得4a216a24c22×4a×2c×cos 30°,即3a22 acc20,解得ca,即e.3H6xx·江蘇卷 雙曲線1的兩條漸近線的方程為_3y±x解析 令0,得漸近線方程為y±x.14H6xx·江西卷 拋物線x22py(p>0)的焦點為F,其準(zhǔn)線與雙曲線1相交于A,B兩點,若ABF為等邊三角形,則p_146解析 由題知三角形邊長為p,得點B,代入雙曲線方程得p6.21H6、H8、D3xx·全國卷 已知雙曲線C:1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,離心率為3,直線y2與C的兩個交點間的距離為.(1)求a,b;(2)設(shè)過F2的直線l與C的左、右兩支分別交于A,B兩點,且|AF1|BF1|,證明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比數(shù)列21解:(1)由題設(shè)知3,即9,故b28a2.所以C的方程為8x2y28a2.將y2代入上式,求得x±.由題設(shè)知,2 ,解得a21.所以a1,b2 .(2)證明:由(1)知,F(xiàn)1(3,0),F(xiàn)2(3,0),C的方程為8x2y28.由題意可設(shè)l的方程為yk(x3),|k|2 ,代入并化簡得(k28)x26k2x9k280.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x11,x21,x1x2,x1x2.于是|AF1|(3x11),|BF1|3x21.由|AF1|BF1|得(3x11)3x21,即x1x2.故,解得k2,從而x1x2.由于|AF2|13x1,|BF2|3x21,故|AB|AF2|BF2|23(x1x2)4,|AF2|·|BF2|3(x1x2)9x1x2116.因而|AF2|·|BF2|AB|2,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比數(shù)列11H6、H7xx·山東卷 拋物線C1:yx2(p>0)的焦點與雙曲線C2:y21的右焦點的連線交C1于第一象限的點M.若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線,則p()A. B. C. D.11D解析 拋物線C1:yx2的焦點坐標(biāo)為,雙曲線y21的右焦點坐標(biāo)為,連線的方程為y,聯(lián)立 得2x2p2x2p20.設(shè)點M的橫坐標(biāo)為a,則在點M處切線的斜率為y|xa.又雙曲線y21的漸近線方程為±y0,其與切線平行,即ap,代入2x2p2x2p20得,p或p0(舍去)11H6xx·陜西卷 雙曲線1的離心率為,則m等于_119解析 由a216,b2m,則c216m,則e,則m9.6H6,H7xx·四川卷 拋物線y24x的焦點到雙曲線x21的漸近線的距離是()A. B. C1 D.6B解析 拋物線y24x的焦點坐標(biāo)為F(1,0),雙曲線x21的漸近線為x±y0,故點F到x±y0的距離d.5H6,H7xx·天津卷 已知雙曲線1(a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點若雙曲線的離心率為2,AOB的面積為,則p()A1 B. C2 D35C解析 雙曲線的離心率e2,解得,聯(lián)立得y.又因為SOAB×,將代入解得p2.圖129H5,H6xx·浙江卷 如圖12,F(xiàn)1,F(xiàn)2是橢圓C1:y21與雙曲線C2的公共焦點,A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是()A. B. C. D.9D解析 設(shè)雙曲線實半軸長為a,焦半距為c,|AF1|m,|AF2|n,由題意知c,2mn(mn)2(m2n2)4,(mn)2m2n22mn8,2amn2 ,a,則雙曲線的離心率e,選擇D.H7拋物線及其幾何性質(zhì)13H7xx·安徽卷 已知直線ya交拋物線yx2于A,B兩點若該拋物線上存在點C,使得ACB為直角,則a的取值范圍為_131,)解析 方法一:設(shè)直線ya與y軸交于M點,若拋物線yx2上存在C點使得ACB90°,只要以|AB|為直徑的圓與拋物線yx2有除A、B外的交點即可,即使|AM|MO|,所以a,所以a1或a0,因為由題意知a>0,所以a1.方法二:設(shè)C(m,m2),由已知可令A(yù)(,a),B(,a),則(m,m2a),(m,m2a),因為,所以m2am42am2a20,可得(m2a)(m21a)0,解得m2a>0且m2a10,故a1,)18H7,H8xx·福建卷 如圖15所示,在正方形OABC中,O為坐標(biāo)原點,點A的坐標(biāo)為(10,0),點C的坐標(biāo)為(0,10)分別將線段OA和AB十等分,分點分別記為A1,A2,A9和B1,B2,B9,聯(lián)結(jié)OBi,過Ai作x軸的垂線與OBi交于點Pi(iN*,1i9)(1)求證:點Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上,并求該拋物線E的方程;(2)過點C作直線l與拋物線E交于不同的兩點M,N,若OCM與OCN的面積比為41,求直線l的方程圖1518解:(1)方法一:依題意,過Ai(iN*,1i9)且與x軸垂直的直線方程為xi,Bi的坐標(biāo)為(10,i),所以直線OBi的方程為yx.設(shè)Pi的坐標(biāo)為(x,y),由得yx2,即x210y.所以點Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上,且拋物線E的方程為x210y.方法二:點Pi(iN*,1i9)都在拋物線E:x210y上證明如下:過Ai(iN*,1i9)且與x軸垂直的直線方程為xi,Bi的坐標(biāo)為(10,i),所以直線OBi的方程為yx.由解得Pi的坐標(biāo)為,因為點Pi的坐標(biāo)都滿足方程x210y,所以點Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上,且拋物線E的方程為x210y.(2)依題意,直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為ykx10.由得x210kx1000.此時100k2400>0,直線l與拋物線E恒有兩個不同的交點M,N.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則因為SOCM4SOCN,所以|x1|4|x2|.又x1·x2<0,所以x14x2,分別代入和,得解得k±.所以直線l的方程為y±x10,即3x2y200或3x2y200.11H6、H7xx·山東卷 拋物線C1:yx2(p>0)的焦點與雙曲線C2:y21的右焦點的連線交C1于第一象限的點M.若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線,則p()A. B. C. D.11D解析 拋物線C1:yx2的焦點坐標(biāo)為,雙曲線y21的右焦點坐標(biāo)為,連線的方程為y,聯(lián)立 得2x2p2x2p20.設(shè)點M的橫坐標(biāo)為a,則在點M處切線的斜率為y|xa).又雙曲線y21的漸近線方程為±y0,其與切線平行,即ap,代入2x2p2x2p20得,p或p0(舍去)20H7,H8xx·陜西卷 已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得弦MN的長為8.(1)求動圓圓心的軌跡C的方程;(2)已知點B(1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P,Q,若x軸是PBQ的角平分線,證明直線l過定點20解:(1)如圖所示,設(shè)動圓圓心O1(x,y),由題意,|O1A|O1M|,當(dāng)O1不在y軸上時,過O1作O1HMN交MN于H,則H是MN的中點,|O1M|,又|O1A|,.化簡得y28x(x0)又當(dāng)O1在y軸上時,O1與O重合,點O1的坐標(biāo)(0,0)也滿足方程y28x,動圓圓心的軌跡C的方程為y28x.(2)由題意,設(shè)直線l的方程為ykxb(k0),P(x1,y1),Q(x2,y2),將ykxb代入y28x中,得k2x2(2bk8)xb20,其中32kb64>0.由求根公式得,x1x2,x1x2.因為x軸是PBQ的角平分線,所以.即y1(x21)y2(x11)0,(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0,2kx1x2(bk)(x1x2)2b0,將,代入得2kb2(kb)(82bk)2k2b0,kb,此時>0,直線l的方程為yk(x1),即直線l過定點(1,0)6H6,H7xx·四川卷 拋物線y24x的焦點到雙曲線x21的漸近線的距離是()A. B. C1 D.6B解析 拋物線y24x的焦點坐標(biāo)為F(1,0),雙曲線x21的漸近線為x±y0,故點F到x±y0的距離d.5H6,H7xx·天津卷 已知雙曲線1(a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點若雙曲線的離心率為2,AOB的面積為,則p()A1 B. C2 D35C解析 雙曲線的離心率e2,解得,聯(lián)立得y.又因為SOAB×,將代入解得p2.11H7,H4xx·新課標(biāo)全國卷 設(shè)拋物線C:y22px(p>0)的焦點為F,點M在C上,|MF|5.若以MF為直徑的圓過點(0,2),則C的方程為()Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y216x11C解析 拋物線焦點為F,0 ,由拋物線的定義,設(shè)M5,設(shè)N點坐標(biāo)為(0,2)因為圓過點N(0,2),故NFNM×1,設(shè)t,則式可化為t24 t80t2 p210p160p2或p8 .H8直線與圓錐曲線(AB課時作業(yè))20H3,H10,H8,H5xx·新課標(biāo)全國卷 已知圓M:(x1)2y21,圓N:(x1)2y29,動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程;(2)l是與圓P,圓M都相切的一條直線,l與曲線C交于A,B兩點,當(dāng)圓P的半徑最長時,求|AB|.20解:由已知得圓M的圓心為M(1,0),半徑r11;圓N的圓心為N(1,0),半徑r23.設(shè)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R.(1)因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由橢圓的定義可知,曲線C是以M, N為左、右焦點,長半軸長為2,短半軸長為的橢圓(左頂點除外),其方程為1(x2)(2)對于曲線C上任意一點P(x,y),由于|PM|PN|2R22,所以R2,當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時,R2,所以當(dāng)圓P的半徑最長時,其方程為(x2)2y24.若l的傾斜角為90°,則l與y軸重合,可得|AB|2 .若l的傾斜角不為90°,由r1R知l不平行于x軸,設(shè)l與x軸的交點為Q,則,可求得Q(4,0),所以可設(shè)l:yk(x4)由l與圓M相切得1,解得k±.當(dāng)k時,將yx代入1,并整理得7x28x80.解得x1,2.所以|AB|x2x1|.當(dāng)k時,由圖形的對稱性可知|AB|.綜上,|AB|2 或|AB|.18H5、H8、H9xx·安徽卷 設(shè)橢圓E:1的焦點在x軸上(1)若橢圓E的焦距為1,求橢圓E的方程;(2)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點,P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點,直線F2P交y軸于點Q,并且F1PF1Q.證明:當(dāng)a變化時,點P在某定直線上18解:(1)因為焦距為1,所以2a21,解得a2.故橢圓E的方程為1.(2)設(shè)P(x0,y0),F(xiàn)1(c,0),F(xiàn)2(c,0),其中c.由題設(shè)知x0c,則直線F1P的斜率kF1P,直線F2P的斜率kF2P,故直線F2P的方程為y(xc)x0時,y,即點Q的坐標(biāo)為0,.因此,直線F1Q的斜率為kF1Q.由于F1PF1Q,所以kF1P·kF1Q·1.化簡得yx(2a21)將代入橢圓E的方程,由于點P(x0,y0)在第一象限,解得x0a2,y01a2,即點P在定直線xy1上18H7,H8xx·福建卷 如圖15所示,在正方形OABC中,O為坐標(biāo)原點,點A的坐標(biāo)為(10,0),點C的坐標(biāo)為(0,10)分別將線段OA和AB十等分,分點分別記為A1,A2,A9和B1,B2,B9,聯(lián)結(jié)OBi,過Ai作x軸的垂線與OBi交于點Pi(iN*,1i9)(1)求證:點Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上,并求該拋物線E的方程;(2)過點C作直線l與拋物線E交于不同的兩點M,N,若OCM與OCN的面積比為41,求直線l的方程圖1518解:(1)方法一:依題意,過Ai(iN*,1i9)且與x軸垂直的直線方程為xi,Bi的坐標(biāo)為(10,i),所以直線OBi的方程為yx.設(shè)Pi的坐標(biāo)為(x,y),由得yx2,即x210y.所以點Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上,且拋物線E的方程為x210y.方法二:點Pi(iN*,1i9)都在拋物線E:x210y上證明如下:過Ai(iN*,1i9)且與x軸垂直的直線方程為xi,Bi的坐標(biāo)為(10,i),所以直線OBi的方程為yx.由解得Pi的坐標(biāo)為,因為點Pi的坐標(biāo)都滿足方程x210y,所以點Pi(iN*,1i9)都在同一條拋物線上,且拋物線E的方程為x210y.(2)依題意,直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為ykx10.由得x210kx1000.此時100k2400>0,直線l與拋物線E恒有兩個不同的交點M,N.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則因為SOCM4SOCN,所以|x1|4|x2|.又x1·x2<0,所以x14x2,分別代入和,得解得k±.所以直線l的方程為y±x10,即3x2y200或3x2y200.14H5,H8xx·福建卷 橢圓:1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,焦距為2c.若直線y(xc)與橢圓的一個交點M滿足MF1F22MF2F1,則該橢圓的離心率等于_14.1解析 如圖,MF1F2中,MF1F260°,MF2F130°,F(xiàn)1MF290°,又|F1F2|2c,|MF1|c,|MF2|c,2a|MF1|MF2|cc,得e1.21

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