2022年高考數(shù)學(xué) （真題+模擬新題分類匯編） 不等式 理

2022年高考數(shù)學(xué) （真題+模擬新題分類匯編） 不等式 理12H2，E1xx·新課標(biāo)全國卷 已知點A(1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直線yaxb(a0)將ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是()A(0，1) B.C. D.12B解析 方法一：易得ABC面積為1，利用極限位置和特值法當(dāng)a0時，易得b1；當(dāng)a時，易得b；當(dāng)a1時，易得b1>.故選B.方法二：(直接法) y ，yaxb與x 軸交于，結(jié)合圖形與a>0 ，××(ab)2a(a1)>0a.a>0，>0b<，當(dāng)a0時，極限位置易得b1，故答案為B.8B7，E1xx·新課標(biāo)全國卷 設(shè)alog36，blog510，clog714，則()Acba BbcaCacb Dabc8D解析 ablog36log510(1log32)(1log52)log32log52>0，bclog510log714(1log52)(1log72)log52log72>0，所以a>b>c，選D.E2絕對值不等式的解法E3一元二次不等式的解法6E3、B6、B7xx·安徽卷 已知一元二次不等式f(x)<0的解集為xx<1或x>，則f(10x)>0的解集為()Ax|x<1或x>lg 2 Bx|1<x<lg 2Cx|x>lg 2 Dx|x<lg 26D解析 根據(jù)已知可得不等式f(x)>0的解是1<x<，故1<10x<，解得x<lg 2.9E3xx·廣東卷 不等式x2x2<0的解集為_9x|2<x<1解析 x2x2(x2)(x1)<0，解得2<x<1.故不等式的解集是x|2<x<114B4，E3xx·四川卷 已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)<5的解集是_14(7，3)解析 當(dāng)x20時，f(x2)(x2)24(x2)x24，由f(x2)5，得x245，即x29，解得3x3，又x20，故2x3為所求又因為f(x)為偶函數(shù)，故f(x2)的圖像關(guān)于直線x2對稱，于是7x2也滿足不等式(注：本題還可以借助函數(shù)的圖像及平移變換求解)E4簡單的一元高次不等式的解法14E4、K3xx·山東卷 在區(qū)間3，3上隨機取一個數(shù)x，使得|x1|x2|1成立的概率為_14.解析 當(dāng)x<1時，不等式化為x1x21，此時無解；當(dāng)1x2時，不等式化為x1x21，解之得x1；當(dāng)x>2時，不等式化為x1x21，此時恒成立，|x1|x2|1的解集為.在上使不等式有解的區(qū)間為，由幾何概型的概率公式得P.E5簡單的線性規(guī)劃問題9F2、E5xx·安徽卷 在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，兩定點A，B滿足|·2，則點集P|，|1，R所表示的區(qū)域的面積是()A2 B2 C4 D4 9D解析 由|·2，可得點A，B在圓x2y24上且AOB60°，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)A(2，0)，B(1，)，設(shè)P(x，y)，則(x，y)(2，0)(1，)，由此得x2，y，解得，xy，由于|1，所以xyy1，即|xy|2y|2 .或或或上述四個不等式組在平面直角坐標(biāo)系中表示的區(qū)域如圖陰影部分所示，所以所求區(qū)域的面積是4 .8E5xx·北京卷 設(shè)關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點P(x0，y0)，滿足x02y02，求得m的取值范圍是()A. B.C. D.8C解析 在直角坐標(biāo)系中畫出可行域，如圖所示，由題意可知，可行域內(nèi)與直線x2y2有交點，當(dāng)點(m，m)在直線x2y2上時，有m，所以m<，故選C.13E5xx·廣東卷 給定區(qū)域D：令點集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取值最大值或最小值的點則T中的點共確定_條不同的直線136解析 由題畫出不等式組表示的區(qū)域如圖陰影部分，易知線性目標(biāo)函數(shù)zxy在點(0，1)處取得最小值，在(0，4)或(1，3)或(2，2)或(3，1)或(4，0)處取得最大值，這些點一共可以確定6條直線20I3，E5xx·湖北卷 假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800，502)的隨機變量，記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為P0.(1)求P0的值；(參考數(shù)據(jù)：若XN(，2)，有P(<X)0.682 6，P(2<X2)0.954 4，P(3<X3)0.997 4)(2)某客運公司用A，B兩種型號的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務(wù)，每車每天往返一次，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求B型車不多于A型車7輛若每天要以不小于P0的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？20解： (1)由于隨機變量X服從正態(tài)分布N(800，502)，故有800，50，P(700<X900)0.954 4.由正態(tài)分布的對稱性，可得P0P(X900)P(X800)P(800<X900)P(700<X900)0.977 2.(2)設(shè)A型、B型車輛的數(shù)量分別為x，y輛，則相應(yīng)的營運成本為1 600x2 400y，依題意，x，y還需滿足：xy21，yx7，P(X36x60y)P0.由(1)知，P0P(X900)，故P(X36x60y)P0等價于36x60y900，于是問題等價于求滿足約束條件且使目標(biāo)函數(shù)z1 600x2 400y達(dá)到最小的x，y值作可行域如圖所示，可行域的三個頂點坐標(biāo)分別為P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)由圖可知，當(dāng)直線z1 600x2 400y經(jīng)過可行域的點P時，直線z1 600x2 400y在y軸上截距最小，即z取得最小值，故應(yīng)配備A型車5輛，B型車12輛4E5xx·湖南卷 若變量x，y滿足結(jié)束條件則x2y的最大值是()A B0 C. D.4C解析 根據(jù)題意，畫出x，y滿足的可行域，如圖，可知在點C處x2y取最大值為.9E5xx·江蘇卷 拋物線yx2在x1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域為D(包含三角形內(nèi)部與邊界)若點P(x，y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點，則x2y的取值范圍是_9.解析 由yx2得y2x，則在點x1處的切線斜率k2×12，切線方程為y12(x1)，即2xy10.在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域，如圖陰影部分所示，則A(0，1)，B.作直線l0：x2y0.當(dāng)平移直線l0至點A時，zmin02(1)2；當(dāng)平移直線l0至點B時，zmax2×0.故x2y的取值范圍是.6E5xx·山東卷 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則直線OM斜率的最小值為()A2 B1 C D6C解析 不等式組表示的可行域如圖，聯(lián)立解得P，當(dāng)M與P重合時，直線OM斜率最小，此時kOM.圖1113E5xx·陜西卷 若點(x，y)位于曲線y|x1|與y2所圍成的封閉區(qū)域，則2xy的最小值為_134解析 結(jié)合題目可以作出yx1與y2所表示的平面區(qū)域，令2xyz，即y2xz，作出直線y2x，在封閉區(qū)域內(nèi)平移直線y2x，當(dāng)經(jīng)過點A(1，2)時，z取最小值為4.2E5xx·天津卷 設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)zy2x的最小值為()A7 B4 C1 D22A解析 作出可行域，如圖陰影部分聯(lián)立解得(5，3)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線過可行域內(nèi)A點時，目標(biāo)函數(shù)有最小值z32×57.9E5，H1xx·新課標(biāo)全國卷 已知a>0，x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a()A. B. C1 D29B解析 直線ya(x3)過定點(3，0) .畫出可行域如圖，易得A(1，2a)，B(3，0)，C(1，2). 作出直線y2x，平移易知直線過A點時直線在y軸上的截距最小，即2(2a)1a .答案為B.13E5xx·浙江卷 設(shè)zkxy，其中實數(shù)x，y滿足若z的最大值為12，則實數(shù)k_132解析 不等式組表示的可行區(qū)域為如圖所示的三角形ABC及其內(nèi)部，A(2，0)，B(4，4)，C(0，2)，要使z的最大值為12，只能經(jīng)過B點，此時124k4，k2.E6基本不等式3E6xx·重慶卷 (6a3)的最大值為()A9 B. C3 D.3B解析 因為6a3，所以，當(dāng)且僅當(dāng)3aa6，即a時等號成立，故選B.E7不等式的證明方法E8不等式的綜合應(yīng)用22B12，E8xx·湖北卷 設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù)(1)求函數(shù)f(x)(1x)r1(r1)x1(x>1)的最小值；(2)證明：<nr<；(3)設(shè)xR，記x為不小于x的最小整數(shù)，例如22，4，1.令S，求S的值(參數(shù)數(shù)據(jù)：80344.7，81350.5，124618.3，126631.7)22解： (1)因為f(x)(r1)(1x)r(r1)(r1)(1x)r1，令f(x)0，解得x0.當(dāng)1<x<0時，f(x)<0，所以f(x)在(1，0)內(nèi)是減函數(shù)；當(dāng)x>0時，f(x)>0，所以f(x)在(0，)內(nèi)是增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在x0處取得最小值f(0)0.(2)由(1)，當(dāng)x(1，)時，有f(x)f(0)0，即(1x)r11(r1)x，且等號當(dāng)且僅當(dāng)x0時成立，故當(dāng)x>1且x0時，有(1x)r1>1(r1)x.在中，令x(這時x>1且x0)，得>1.上式兩邊同乘nr1，得(n1)r1>nr1nr(r1)，即nr<.當(dāng)n>1時，在中令x(這時x>1且x0)，類似可得nr>，且當(dāng)n1時，也成立，綜合，得<nr<.(3)在中，令r，n分別取值81，82，83，125，得(8180)<<(8281)，(8281)<<(8382)，(8382)<<(8483)，(125124)<<(126125)，將以上各式相加，并整理得(12580)<S<(12681)，代入數(shù)據(jù)計算，可得(12580)210.2，(12681)210.9.由S的定義，得S211.20E8xx·湖南卷 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將從點M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點N的任一路徑稱為M到N的一條“L路徑”如圖15所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N都是M到N的“L路徑”某地有三個新建的居民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點A(3，20)，B(10，0)，C(14，0)處，現(xiàn)計劃在x軸上方區(qū)域(包含x軸)內(nèi)的某一點P處修建一個文化中心(1)寫出點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值的表達(dá)式(不要求證明)；(2)若以原點O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，請確定點P的位置，使其到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小圖1520解：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)(1)點P到居民區(qū)A的“L路徑”長度最小值為|x3|y20|，xR，y0，)(2)由題意知，點P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和的最小值為點P分別到三個居民區(qū)的“L路徑”長度最小值之和(記為d)的最小值當(dāng)y1時，d|x10|x14|x3|2|y|y20|.因為d1(x)|x10|x14|x3|x10|x14|.(*)當(dāng)且僅當(dāng)x3時，不等式(*)中的等號成立又因為|x10|x14|24.(*)當(dāng)且僅當(dāng)x10，14時，不等式(*)中的等號成立所以d1(x)24，當(dāng)且僅當(dāng)x3時，等號成立d2(y)2y|y20|21，當(dāng)且僅當(dāng)y1時，等號成立故點P的坐標(biāo)為(3，1)時，P到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小，且最小值為45.當(dāng)0y1時，由于“L路徑”不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，所以d|x10|x14|x3|1|1y|y|y20|.此時，d1(x)|x10|x14|x3|，d2(y)1|1y|y|y20|22y21.由知，d1(x)24，故d1(x)d2(y)45，當(dāng)且僅當(dāng)x3，y1時等號成立綜上所述，在點P(3，1)處修建文化中心，可使該文化中心到三個居民區(qū)的“L路徑”長度之和最小12E8xx·山東卷 設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x23xy4y2z0，則當(dāng)取得最大值時，的最大值為()A0 B1 C. D312B解析 由題意得zx23xy4y2，1，當(dāng)且僅當(dāng)，即x2y時，等號成立，11.9E8xx·陜西卷 在如圖12所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300 m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x(單位：m)的取值范圍是()圖12A15，20B12，25C10，30D20，309C解析 如下圖，可知ADEABC，設(shè)矩形的另一邊長為y，則，所以y40x.又xy300，所以x(40x)300，即x240x3000，則10x30.15C8，E8，N1xx·四川卷 設(shè)P1，P2，Pn為平面內(nèi)的n個點，在平面內(nèi)的所有點中，若點P到P1，P2，Pn點的距離之和最小，則稱點P為P1，P2，Pn點的一個“中位點”例如，線段AB上的任意點都是端點A，B的中位點則有下列命題：若A，B，C三個點共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點；直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點；若四個點A，B，C，D共線，則它們的中位點存在且唯一；梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點其中的真命題是_(寫出所有真命題的序號)15解析 對于，如果中位點不在直線AB上，由三角形兩邊之和大于第三邊可知與題意矛盾而當(dāng)中位點在直線AB上時，如果不與C重合，則|PA|PB|PC|PA|PB|也不符合題意，故C為唯一的中位點，正確；對于，我們?nèi)⌒边呴L為4的等腰直角三角形，此時，斜邊中點到三個頂點的距離均為2，和為6；而我們?nèi)⌒边吷现芯€的中點，該點到直角頂點的距離為1，到兩底角頂點的距離均為，顯然2 16，故該直角三角形的斜邊中點不是中位點，錯誤；對于，當(dāng)A，B，C，D四點共線時，不妨設(shè)他們的順序就是A，B，C，D，則當(dāng)點P在B，C之間運動時，點P到A，B，C，D四點的距離之和相等且最小，即這個時候的中位點有無窮多個，錯誤；對于，同樣根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，如果中位點不在對角線的交點上，則距離之和肯定不是最小的，正確E9單元綜合1xx·馬鞍山一檢 在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則a的值為()A5 B1C2 D31D解析 axy10恒過定點(0，1)，繪出可行性區(qū)域如圖所示，設(shè)直線axy10與直線x10的交點為(1，m)，由可行性區(qū)域的面積為2可得·1·m2，解得m4，將(1，4)代入axy10，解得a3，故選D. 2xx·云南師大附中月考(三) 已知條件p：x23x40；條件q：x26x9m20；若p是q的充分不必要條件，則m的取值范圍是()A1，1 B4，4C(，44，) D(，11，)2C解析 對于p：1x4，對于q討論如下，當(dāng)m>0時，q：3mx3m；當(dāng)m<0時，q：3mx3m，若p是q的充分不必要條件，只需要或解得m4或m4，選C.規(guī)律解讀 對于解含有參數(shù)的二次不等式，一般討論的順序是：(1)討論二次項系數(shù)是否為0，這決定此不等式是否為二次不等式；(2)當(dāng)二次項系數(shù)不為0時，討論判別式是否大于0；(3)當(dāng)判別式大于0時，討論二次項系數(shù)是否大于0，這決定所求不等式的不等號的方向；(4)判斷二次不等式兩根的大小3xx·山西大同一中四診 設(shè)變量x，y滿足|x|y|1，則x2y的最大值和最小值分別為()A1，1 B2，2C1，2 D2，13B解析 由題意繪出可行性區(qū)域如圖所示，令zx2y，則yx，求z的最大值，最小值即求yx的截距的最大值，最小值由圖可知當(dāng)yx過點(0，1)時，z取最大值，過點(0，1)時，z取最小值所以z的最大值為02×12，z的最小值為02×(1)2，故選B.4xx·安徽池州期末 已知x，y滿足則的取值范圍是_4.解析 由題意繪出可行性區(qū)域如圖所示，求的取值范圍，即求可行域內(nèi)任一點與點(4，2)連線的斜率k的取值范圍，由圖像可得k.規(guī)律解讀 本題與常規(guī)線性規(guī)劃不同，主要是目標(biāo)函數(shù)不是直線形式，此類問題常考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，常見代數(shù)式的幾何意義主要有以下幾點：(1)表示點(x，y)與原點(0，0)的距離，表示點(x，y)與點(a，b)的距離；(2)表示點(x，y)與原點(0，0)連線的斜率，表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率這些代數(shù)式的幾何意義能使所求問題得以轉(zhuǎn)化，往往是解決問題的關(guān)鍵5xx·鄭州模擬 若x，y滿足條件當(dāng)且僅當(dāng)xy3時，zaxy取最小值，則實數(shù)a的取值范圍是_5.解析 畫出可行域，得到最優(yōu)解(3，3)，把zaxy變?yōu)閥axz，即研究z的最大值當(dāng)a時，yaxz均過(3，3)且截距最大