2022年高考總復習文數(shù)（北師大版）講義：第8章 第02節(jié) 空間圖形的基本關系與公理 Word版含答案

2022年高考總復習文數(shù)（北師大版）講義：第8章 第02節(jié) 空間圖形的基本關系與公理 Word版含答案考點高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)空間點、線、面的位置關系xx·全國卷·T18·12分線線垂直的證明及體積的計算直觀想象邏輯推理xx·全國卷·T19·12分線面平行的證明及點面間的距離命題分析高考對本節(jié)內(nèi)容的考查以棱柱、棱錐為依托，考查點、線、面的位置關系以及幾何體體積的計算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，難度中等.直線和平面平行：直線和平面沒有公共點(5)空間平面與平面的位置關系有兩種：平行平面：兩個平面沒有公共點相交平面：兩個平面不重合，并且有公共點2空間圖形的公理及等角定理文字語言圖形語言符號語言公理1過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)若A、B、C三點不共線，則存在一個平面使A，B，C公理2如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))若Al，Bl，A，B，則l公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線若A，A，則l，且Al公理4平行于同一條直線的兩條直線平行若ab，bc，則ac等角定理空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補若AOAO，BCBO，則AOBAOB，AOC和AOB互補3異面直線所成的角(1)定義：過空間任意一點P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2，這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a，b所成的角如果兩條異面直線所成的角是直角，則稱這兩條直線互相垂直(2)范圍：.提醒：辨明三個易誤點(1)異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個平面，因此異面直線既不平行，也不相交(2)直線與平面的位置關系在判斷時最易忽視“線在面內(nèi)”(3)兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)如果兩個不重合的平面，有一條公共直線a，就說平面，相交，并記作a.()(2)兩個平面，有一個公共點A，就說，相交于過A點的任意一條直線()(3)兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.()(4)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面()(5)沒有公共點的兩條直線是異面直線()答案：(1)(2)×(3)×(4)(5)×2(教材習題改編)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為()A30°B45°C60°D90°解析：選C連接B1D1，D1C，則B1D1EF，故D1B1C為所求的角，又B1D1B1CD1C，D1B1C60°.3四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)有()A4個B3個C2個D1個解析：選A首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面，所以最多可以確定四個平面4(xx·浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直線l.若直線m，n滿足m，n，則()AmlBmnCnl Dmn解析：選C由已知，l，l，又n，nl，C正確5(教材習題改編)兩兩相交的三條直線最多可確定_個平面解析：當三條直線共點且不共面時，最多可確定3個平面答案：3平面的基本性質(zhì)明技法共面、共線、共點問題的證明(1)證明點或線共面問題的兩種方法：首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合(2)證明點共線問題的兩種方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；直接證明這些點都在同一條特定直線上(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點提能力【典例】 如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點求證：E、C、D1、F四點共面證明：如圖所示，連接CD1、EF、A1B，因為E、F分別是AB和AA1的中點，所以EFA1B且EFA1B.又因為A1D1BC且A1D1BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1BCD1，所以EFCD1，所EF與CD1確定一個平面，所以E、F、C、D1，即E、C、D1、F四點共面母題變式 本例條件不變，如何證明“CE，D1F，DA交于一點”？證明： 如圖，由本例知EFCD1，且EFCD1，所以四邊形CD1FE是梯形，所以CE與D1F必相交，設交點為P，則PCE，且PD1F，又CE平面ABCD，且D1F平面A1ADD1，所以P平面ABCD，且P平面A1ADD1.又平面ABCD平面A1ADD1AD，所以PAD，所以CE、D1F、DA三線共點刷好題已知空間四邊形ABCD(如圖所示)，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別是BC、CD上的點，且CGBC，CHDC.求證：(1)E、F、G、H四點共面；(2)三直線FH、EG、AC共點證明：(1)連接EF、GH，因為E、F分別是AB、AD的中點，所以EFBD.又因為CGBC，CHDC，所以GHBD，所以EFGH，所以E、F、G、H四點共面(2)易知FH與直線AC不平行，但共面，所以設FHACM，所以M平面EFHG，M平面ABC.又因為平面EFHG平面ABCEG，所以MEG，所以FH、EG、AC共點空間兩條直線的位置關系明技法空間兩直線位置關系的判斷方法空間中兩直線位置關系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對于垂直關系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決提能力【典例】 (1)下列結(jié)論正確的是()在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；平行于同一條直線的兩條直線平行；一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交；空間四條直線a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.ABCD(2)已知a、b、c是相異直線，、是相異平面，則下列命題中正確的是()Aa與b異面，b與c異面a與c異面Ba與b相交，b與c相交a與c相交C，Da，b，與相交a與b相交解析：(1)選B錯，兩條直線不相交，則它們可能平行，也可能異面；由公理4可知正確；錯，若一條直線和兩條平行直線中的一條相交，則它和另一條直線可能相交，也可能異面；由平行直線的傳遞性可知正確故選B(2)選C如圖(1)，在正方體中，a、b、c是三條棱所在直線，滿足a與b異面，b與c異面，但acA，故A錯誤；在圖(2)的正方體中，滿足a與b相交，b與c相交，但a與c不相交，故B錯誤；如圖(3)，c，ac，則a與b不相交，故D錯誤刷好題1若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1l2，l2l3，l3l4，則下列結(jié)論一定正確的是()Al1l4Bl1l4Cl1與l4既不垂直也不平行Dl1與l4的位置關系不確定解析：選D構(gòu)造如圖所示的正方體ABCDA1B1C1D1，取l1為AD，l2為AA1，l3為A1B1，當取l4為B1C1時，l1l4，當取l4為BB1時，l1l4，故排除A、B、C，選D2已知a，b，c為三條不重合的直線，有下列結(jié)論：若ab，ac，則bc；若ab，ac，則bc；若ab，bc，則ac.其中正確的個數(shù)為()A0B1C2D3解析：選B在空間中，若ab，ac，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以錯，顯然成立異面直線所成的角明技法用平移法求異面直線所成的角的三步法(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角提能力【典例】 如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為_解析：如圖，將原圖補成正方體ABCDQGHP，連接GP，則GPBD，所以APG為異面直線AP與BD所成的角，在AGP中AGGPAP，所以APE.答案：母題變式 在本例條件下，若E，F(xiàn)，M分別是AB，BC，PQ的中點，異面直線EM與AF所成的角為，求cos 的值解：設N為BF的中點，連接EN，MN.則MEN是異面直線EM與AF所成的角或其補角不妨設正方形ABCD的邊長為4，則EN，EM2，MN.在MEN中，由余弦定理得cosMEN.即cos .刷好題(xx·全國卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，A BC120°，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()AB CD解析：選C將直三棱柱ABCA1B1C1補形為直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如圖所示，連接AD1，B1D1，BD.由題意知ABC120°，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60°.在ABD中，由余弦定理知BD222122×2×1×cos 60°3，所以BD，所以B1D1.又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角，所以cos .故選C