（全國(guó)通用版）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 板塊四 考前回扣 專(zhuān)題7 解析幾何學(xué)案 理

回扣7解析幾何1直線(xiàn)方程的五種形式(1)點(diǎn)斜式：yy1k(xx1)(直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P1(x1，y1)，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線(xiàn))(2)斜截式：ykxb(b為直線(xiàn)l在y軸上的截距，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線(xiàn))(3)兩點(diǎn)式：(直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1x2，y1y2，不包括坐標(biāo)軸和平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn))(4)截距式：1(a，b分別為直線(xiàn)的橫、縱截距，且a0，b0，不包括坐標(biāo)軸、平行于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn))(5)一般式：AxByC0(其中A，B不同時(shí)為0)2直線(xiàn)的兩種位置關(guān)系當(dāng)不重合的兩條直線(xiàn)l1和l2的斜率存在時(shí)：(1)兩直線(xiàn)平行l(wèi)1l2k1k2.(2)兩直線(xiàn)垂直l1l2k1·k21.提醒當(dāng)一條直線(xiàn)的斜率為0，另一條直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，兩直線(xiàn)也垂直，此種情形易忽略3三種距離公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)間的距離|AB|.(2)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離d(其中點(diǎn)P(x0，y0)，直線(xiàn)方程為AxByC0)(3)兩平行線(xiàn)間的距離d(其中兩平行線(xiàn)方程分別為l1：AxByC10，l2：AxByC20)提醒應(yīng)用兩平行線(xiàn)間距離公式時(shí)，注意兩平行線(xiàn)方程中x，y的系數(shù)應(yīng)對(duì)應(yīng)相等4圓的方程的兩種形式(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F>0)5直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系(1)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離，代數(shù)判斷法與幾何判斷法(2)圓與圓的位置關(guān)系：相交、內(nèi)切、外切、外離、內(nèi)含，代數(shù)判斷法與幾何判斷法6圓錐曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)名稱(chēng)橢圓雙曲線(xiàn)拋物線(xiàn)定義|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2a<|F1F2|)|PF|PM|點(diǎn)F不在直線(xiàn)l上，PMl于M標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>0，b>0)y22px(p>0)圖形幾何性質(zhì)范圍|x|a，|y|b|x|ax0頂點(diǎn)(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)焦點(diǎn)(±c,0)軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b離心率e (0<e<1)e(e>1)e1準(zhǔn)線(xiàn)x漸近線(xiàn)y±x7.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系判斷方法：通過(guò)解直線(xiàn)方程與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立得到的方程組進(jìn)行判斷弦長(zhǎng)公式：|AB|x1x2| |y1y2|.8解決范圍、最值問(wèn)題的常用解法(1)數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后，數(shù)形結(jié)合求解(2)構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解(3)構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域9定點(diǎn)問(wèn)題的思路(1)動(dòng)直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解法：設(shè)動(dòng)直線(xiàn)方程(斜率存在)為ykxt，由題設(shè)條件將t用k表示為tmk，得yk(xm)，故動(dòng)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(m,0)(2)動(dòng)曲線(xiàn)C過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€(xiàn)C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)10求解定值問(wèn)題的兩大途徑(1)(2)先將式子用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線(xiàn)中的參數(shù)表示，再利用其滿(mǎn)足的約束條件使其絕對(duì)值相等的正負(fù)項(xiàng)抵消或分子、分母約分得定值11解決存在性問(wèn)題的解題步驟第一步：先假設(shè)存在，引入?yún)⒆兞?，根?jù)題目條件列出關(guān)于參變量的方程(組)或不等式(組)；第二步：解此方程(組)或不等式(組)，若有解則存在，若無(wú)解則不存在；第三步：得出結(jié)論.1不能準(zhǔn)確區(qū)分直線(xiàn)傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關(guān)系，導(dǎo)致由斜率的取值范圍確定傾斜角的范圍時(shí)出錯(cuò)2易忽視直線(xiàn)方程的幾種形式的限制條件，如根據(jù)直線(xiàn)在兩軸上的截距相等設(shè)方程時(shí)，忽視截距為0的情況，直接設(shè)為1；再如，過(guò)定點(diǎn)P(x0，y0)的直線(xiàn)往往忽視斜率不存在的情況直接設(shè)為yy0k(xx0)等3討論兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系時(shí)，易忽視系數(shù)等于零時(shí)的討論導(dǎo)致漏解，如兩條直線(xiàn)垂直時(shí)，一條直線(xiàn)的斜率不存在，另一條直線(xiàn)斜率為0.4在解析幾何中，研究?jī)蓷l直線(xiàn)的位置關(guān)系時(shí)，要注意有可能這兩條直線(xiàn)重合；在立體幾何中提到的兩條直線(xiàn)，一般可理解為它們不重合5求解兩條平行線(xiàn)之間的距離時(shí)，易忽視兩直線(xiàn)系數(shù)不相等，而直接代入公式，導(dǎo)致錯(cuò)解6在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，誤把r2當(dāng)成r；在圓的一般方程中，忽視方程表示圓的條件7易誤認(rèn)兩圓相切為兩圓外切，忽視兩圓內(nèi)切的情況導(dǎo)致漏解8利用橢圓、雙曲線(xiàn)的定義解題時(shí)，要注意兩種曲線(xiàn)的定義形式及其限制條件如在雙曲線(xiàn)的定義中，有兩點(diǎn)是缺一不可的：其一，絕對(duì)值；其二，2a<|F1F2|.如果不滿(mǎn)足第一個(gè)條件，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)，而不是差的絕對(duì)值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線(xiàn)的一支9易混淆橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，尤其是方程中a，b，c三者之間的關(guān)系，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤10已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程求雙曲線(xiàn)的離心率時(shí)，易忽視討論焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸導(dǎo)致漏解 11.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交的必要條件是它們構(gòu)成的方程組有實(shí)數(shù)解，消元后得到的方程中要注意：二次項(xiàng)的系數(shù)是否為零，判別式0的限制尤其是在應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問(wèn)題時(shí)，必須先有“判別式0”；在求交點(diǎn)、 弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、斜率、對(duì)稱(chēng)或存在性問(wèn)題時(shí)都應(yīng)在“>0”下進(jìn)行1直線(xiàn)2mx(m21)y0的傾斜角的取值范圍為()A0，) B.C. D.答案C解析由已知可得m0，直線(xiàn)的斜率k.當(dāng)m0時(shí)，k0；當(dāng)m>0時(shí)，k1，又因?yàn)閙>0，所以0<k1.綜上可得直線(xiàn)的斜率0k1.設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則0tan 1，因?yàn)?<，所以0.2直線(xiàn)axbyab0(a0)與圓x2y220的位置關(guān)系為()A相離 B相切C相交或相切 D相交答案C解析由已知可得，圓的圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑為，圓心到直線(xiàn)的距離為，其中(ab)22(a2b2)，所以圓心到直線(xiàn)的距離為，所以直線(xiàn)與圓相交或相切，故選C.3曲線(xiàn)x2(y1)21(x0)上的點(diǎn)到直線(xiàn)xy10的距離的最大值為a，最小值為b，則ab的值是()A. B2C.1 D.1答案C解析因?yàn)閳A心(0,1)到直線(xiàn)xy10的距離為>1，所以半圓x2(y1)21(x0)上的點(diǎn)到直線(xiàn)xy10的距離的最大值為1，到直線(xiàn)xy10的距離的最小值為點(diǎn)(0,0)到直線(xiàn)xy10的距離，為，所以ab11.4直線(xiàn)3x4y50與圓x2y24相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)等于()A4 B3 C2 D.答案C解析由于圓x2y24的圓心為O(0,0)，半徑r2，而圓心O(0,0)到直線(xiàn)3x4y50的距離d1，|AB|222.5與圓O1：x2y24x4y70和圓O2：x2y24x10y130都相切的直線(xiàn)條數(shù)是()A4 B3 C2 D1答案B解析O1(2,2)，r11，O2(2,5)，r24，|O1O2|5r1r2，圓O1和圓O2外切，與圓O1和圓O2都相切的直線(xiàn)有3條故選B.6設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)y22px(p>0)上任意一點(diǎn)，M是線(xiàn)段PF上的點(diǎn)，且|PM|2|MF|，則直線(xiàn)OM的斜率的最大值為()A. B. C. D1答案C解析如圖，由題意可知F，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，顯然，當(dāng)y0<0時(shí)，kOM<0；當(dāng)y0>0時(shí)，kOM>0，要求kOM的最大值，不妨設(shè)y0>0，則()，kOM，當(dāng)且僅當(dāng)y2p2時(shí)，等號(hào)成立，故選C.7已知拋物線(xiàn)y28x的準(zhǔn)線(xiàn)與雙曲線(xiàn)1(a>0)相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，ABF為直角三角形，則雙曲線(xiàn)的離心率為()A3 B2 C. D.答案A解析依題意知，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為x2，代入雙曲線(xiàn)方程得y±·，不妨設(shè)A.FAB是等腰直角三角形，p4，求得a，雙曲線(xiàn)的離心率為e3，故選A.8若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則·的最大值為()A2 B3 C6 D8答案C解析由題意得F(1,0)，設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則y3(2x02)·x0(x01)yxx0yxx03(x02)22.又因?yàn)?x02，所以當(dāng)x02時(shí)，·取得最大值，最大值為6，故選C.9已知函數(shù)yf(x)ax12(a>0且a1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，設(shè)拋物線(xiàn)E：y24x上任意一點(diǎn)M到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離為d，則d的最小值為()A5 B. C. D.答案C解析當(dāng)x10，即x1時(shí)，y1，故A(1，1)，設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F(1,0)，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，當(dāng)F、A、M三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)d的最小值為.10我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線(xiàn)稱(chēng)為一對(duì)“相關(guān)曲線(xiàn)”已知F1，F(xiàn)2是一對(duì)相關(guān)曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，P是它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)，當(dāng)F1PF230°時(shí)，這一對(duì)相關(guān)曲線(xiàn)中橢圓的離心率是()A74 B2C.1 D42答案B解析由題意設(shè)橢圓方程為1，雙曲線(xiàn)方程為1，且cc1.由題意·1，(*)由F1PF230°及余弦定理，得橢圓中：4c24a2(2)|PF1|PF2|，雙曲線(xiàn)中：4c24a(2)|PF1|PF2|，可得b(74)b2，代入(*)式，得c4aa2(c2b)a2(84)c2a2(74)a4，即e4(84)e2(74)0，得e274，即e2，故選B.11已知直線(xiàn)l：mxy1，若直線(xiàn)l與直線(xiàn)xm(m1)y2垂直，則m的值為_(kāi)；動(dòng)直線(xiàn)l：mxy1被圓C：x22xy280截得的最短弦長(zhǎng)為_(kāi)答案0或22解析由兩直線(xiàn)垂直的充要條件得m×1(1)×m(m1)0，m0或m2；圓的半徑為3，動(dòng)直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(0，1)，當(dāng)圓心(1,0)到直線(xiàn)的距離最長(zhǎng)，即d時(shí)，弦長(zhǎng)最短，此時(shí)弦長(zhǎng)為22.12已知直線(xiàn)l：mxy3m0與圓x2y212交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作l的垂線(xiàn)與x軸交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|2，則|CD|_.答案4解析設(shè)AB的中點(diǎn)為M，由題意知，圓的半徑R2，|AB|2，所以|OM|3，解得m，由解得A(3，)，B(0,2)，則AC的直線(xiàn)方程為y(x3)，BD的直線(xiàn)方程為y2x，令y0，解得C(2,0)，D(2,0)，所以|CD|4.13已知F1，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)1的焦點(diǎn)，PQ是過(guò)焦點(diǎn)F1的弦，且PQ的傾斜角為60°，那么|PF2|QF2|PQ|的值為_(kāi)答案16解析由雙曲線(xiàn)方程1知，2a8，由雙曲線(xiàn)的定義，得|PF2|PF1|2a8，|QF2|QF1|2a8，得|PF2|QF2|(|QF1|PF1|)16.|PF2|QF2|PQ|16.14在直線(xiàn)y2上任取一點(diǎn)Q，過(guò)Q作拋物線(xiàn)x24y的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，則直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)_答案(0,2)解析設(shè)Q(t，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線(xiàn)方程變?yōu)閥x2，則yx，則在點(diǎn)A處的切線(xiàn)方程為yy1x1(xx1)，化簡(jiǎn)得yx1xy1，同理，在點(diǎn)B處的切線(xiàn)方程為yx2xy2.又點(diǎn)Q(t，2)的坐標(biāo)滿(mǎn)足這兩個(gè)方程，代入得2x1ty1，2x2ty2，則說(shuō)明A(x1，y1)，B(x2，y2)都滿(mǎn)足方程2xty，即直線(xiàn)AB的方程為y2tx，因此直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)(0,2)15已知過(guò)點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線(xiàn)l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(diǎn)(1)求k的取值范圍；(2)若·12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.解(1)由題設(shè)可知，直線(xiàn)l的方程為ykx1，因?yàn)閘與圓C交于兩點(diǎn)，所以<1.解得<k<.所以k的取值范圍為.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.16(1k)24(1k2)×712k232k12>0，所以x1x2，x1x2.·x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設(shè)可得812，解得k1，經(jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)足>0.所以l的方程為yx1.故圓心C在l上，所以|MN|2.16已知圓F1：(x1)2y2r2與圓F2：(x1)2y2(4r)2(0<r<4)的公共點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)E，且曲線(xiàn)E與y軸的正半軸相交于點(diǎn)M.若曲線(xiàn)E上相異的兩點(diǎn)A，B滿(mǎn)足直線(xiàn)MA，MB的斜率之積為.(1)求曲線(xiàn)E的方程；(2)證明直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)求ABM的面積的最大值解(1)設(shè)圓F1，圓F2的公共點(diǎn)為Q，由已知得|F1F2|2，|QF1|r，|QF2|4r，故|QF1|QF2|4>|F1F2|，因此曲線(xiàn)E是長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a4，焦距2c2的橢圓，且b2a2c23，所以曲線(xiàn)E的方程為1.(2)由曲線(xiàn)E的方程，得上頂點(diǎn)M(0，)，記A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知，x10，x20，若直線(xiàn)AB的斜率不存在，則直線(xiàn)AB的方程為xx1，故y1y2，且yy3，因此kMA·kMB·，與已知不符，因此直線(xiàn)AB的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)AB：ykxm，代入橢圓E的方程1，得(34k2)x28kmx4(m23)0.(*)因?yàn)橹本€(xiàn)AB與曲線(xiàn)E有公共點(diǎn)A，B，所以方程(*)有兩個(gè)非零不等實(shí)根x1，x2，所以x1x2，x1x2，又kAM，kMB，由kAM·kBM，得4(kx1m)(kx2m)x1x2，即(4k21)x1x24k(m)(x1x2)4(m)20，所以4(m23)(4k21)4k(m)(8km)4(m)2(34k2)0，化簡(jiǎn)得m23m60，故m或m2，結(jié)合x(chóng)1x20知，m2，即直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)N(0,2)(3)由>0且m2得k<或k>，又SABM|SANMSBNM|MN|·|x2x1| ，當(dāng)且僅當(dāng)4k2912，即k±時(shí)，ABM的面積最大，最大值為.11