2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題41 三視圖——幾何體的面積與體積

2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題41 三視圖幾何體的面積與體積三視圖是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，近幾年多與面積或體積計(jì)算結(jié)合在一起加以考查，考查內(nèi)容有三視圖的識(shí)別；三視圖與直觀圖的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化；求與三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體的表面積與體積命題形式為用客觀題考查識(shí)讀圖形和面積體積計(jì)算，解答題往往以常見幾何體為載體考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力，期間需要靈活應(yīng)用幾何體的結(jié)構(gòu)特征本專題通過例題說明三視圖及幾何體的面積與體積問題求解方法.（一）常見幾何體的表面積計(jì)算：1、常見幾何體的表面積計(jì)算公式：（1）三角形面積：設(shè)的底為，高為，則 （2）圓形面積：設(shè)圓的半徑為，則（3）圓柱的側(cè)面積：設(shè)圓柱底面半徑為，高為，則側(cè)面積為 （4）圓錐的側(cè)面積：設(shè)圓錐底面半徑為 ，母線長(zhǎng)為，則側(cè)面積為（5）圓臺(tái)的側(cè)面積：設(shè)圓臺(tái)上下底面半徑分別為，母線長(zhǎng)為，則側(cè)面積為（6）棱柱（棱錐，棱臺(tái)）的側(cè)面積：只需求出每個(gè)側(cè)面的面積并加在一起（7）球的面積：設(shè)球的半徑為，則球的表面積為 2、軸截面：對(duì)于旋轉(zhuǎn)體（圓柱，圓錐，圓臺(tái)），用軸所在的平面去截幾何體，得到的截面稱為軸截面，軸截面的邊角關(guān)系與幾何體的一些要素向?qū)?yīng).（1）圓柱：軸截面為矩形，其中矩形的長(zhǎng)對(duì)應(yīng)圓柱的底面直徑，矩形的高對(duì)應(yīng)橢圓的高（2）圓錐：軸截面為等腰三角形，其中等腰三角形的底對(duì)應(yīng)圓錐的底面直徑，高對(duì)應(yīng)圓錐的高，腰對(duì)應(yīng)圓錐的母線長(zhǎng) （3）圓臺(tái)：軸截面為等腰梯形，其中上底對(duì)應(yīng)圓臺(tái)上底面直徑，下底對(duì)應(yīng)下底面直徑，高對(duì)應(yīng)圓臺(tái)的高，腰對(duì)應(yīng)圓臺(tái)的母線3、三視圖解面積的步驟：（1）分析出所圍成的幾何體的特征（柱，錐，臺(tái)還是組合體）（2）確定所求幾何體由哪些面組成（3）根據(jù)圍成的面的特點(diǎn)，尋找可求出面積的要素，進(jìn)而求出面積（4）將各部分面積求和即可得到幾何體的表面積4、求表面積要注意的幾點(diǎn)：（1）三視圖中側(cè)面的高通常與某個(gè)視圖的邊相對(duì)應(yīng).（2）圓錐和圓柱可利用軸截面的特點(diǎn)求出相關(guān)要素，例如已知圓錐的高和底面半徑，通過軸截面可求出圓錐的母線長(zhǎng)（3）當(dāng)幾何體被切割時(shí)，要注意截面也算在表面積之列.（4）如果幾何體是由多個(gè)簡(jiǎn)單幾何體拼接而成，要注意哪些面因拼接而含在幾何體之中，進(jìn)而在求表面積時(shí)不予考慮.（二）常見幾何體的體積計(jì)算：1、常見幾何體的體積公式：（底面積，高）（1）柱體：（2）錐體： （3）臺(tái)體：，其中為上底面面積，為下底面面積（4）球： 2、求幾何體體積要注意的幾點(diǎn)（1）對(duì)于多面體和旋轉(zhuǎn)體：一方面要判定幾何體的類型（柱，錐，臺(tái)），另一方面要看好該幾何體擺放的位置是否是底面著地.對(duì)于擺放“規(guī)矩”的幾何體（底面著地），通常只需通過俯視圖看底面面積，正視圖（或側(cè)視圖）確定高，即可求出體積.（2）對(duì)于組合體，首先要判斷是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的，或是以哪個(gè)幾何體為基礎(chǔ)切掉了一部分.然后再尋找相關(guān)要素（3）在三視圖中，每個(gè)圖各條線段的長(zhǎng)度不會(huì)一一給出，但可通過三個(gè)圖之間的聯(lián)系進(jìn)行推斷，推斷的口訣為“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”，即正視圖的左右間距與俯視圖的左右間距相等，正視圖的上下間距與側(cè)視圖的上下間距相等， 側(cè)視圖的左右間距與俯視圖的上下間距相等.【經(jīng)典例題】例1.【2017北京，理7】某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為（A）3 （B）2 （C）2 （D）2【答案】B【解析】例2. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( ) A. B. C. D. 【答案】D【解析】由已知中的三視圖可得，該幾何體是以俯視圖為底面的半圓柱，底面半徑為1，高為2，故該幾何體的表面積 故選D.例3.【2018屆重慶市巴蜀中學(xué)月考九】已知某幾何體的三視圖如圖2所示（小正方形的邊長(zhǎng)為），則該幾何體的外接球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先根據(jù)題中所給的三視圖，還原幾何體，得到該幾何體是由正方體切割而成的，找到該幾何體的頂點(diǎn)有三個(gè)是正方體的棱的中點(diǎn)，一個(gè)就是正方體的頂點(diǎn)，之后將幾何體補(bǔ)體，從而得到該三棱取棱中點(diǎn)H，再取正方體的頂點(diǎn)，從而得到該三棱錐的外接球即為直三棱柱的外接球，利用正弦定理可以求得底面三角形的外接圓的半徑為，棱柱的高為4，所以可以求得其外接球的半徑，所以其表面積為，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)利用三視圖還原幾何體，求其外接球的體積的問題，在解題的過程中，最關(guān)鍵的一步就是還原幾何體，再者就是將其補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱，之后應(yīng)用直三棱柱的外接球的球心在上下底面外心的連線的中點(diǎn)處，利用公式求得結(jié)果.例4.【2018屆云南省昆明市5月檢測(cè)】一個(gè)幾何體挖去部分后的三視圖如圖所示，若其正視圖和側(cè)視圖都是由三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形組成，則該幾何體的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B 圓臺(tái)側(cè)面積為，下底面面積為，圓錐的側(cè)面積為 .所以該幾何體的表面積為.故選B. 點(diǎn)睛：（1）還原幾何體的基本要素是“長(zhǎng)對(duì)齊，高平直，寬相等”.（2）對(duì)于簡(jiǎn)單幾何體的組合體的三視圖，首先要確定正視、側(cè)視、俯視的方向，其次要注意組合體由哪些幾何體組成，弄清它們的組成方式，特別應(yīng)注意它們的交線的位置 根據(jù)幾何體的三視圖確定直觀圖的方法：三視圖為三個(gè)三角形，對(duì)應(yīng)三棱錐；三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)四邊形，對(duì)應(yīng)四棱錐；三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)帶圓心的圓，對(duì)應(yīng)圓錐；三視圖為一個(gè)三角形，兩個(gè)四邊形，對(duì)應(yīng)三棱錐；三視圖為兩個(gè)四邊形，一個(gè)圓，對(duì)應(yīng)圓柱.例5.【2018屆江西省景德鎮(zhèn)市第一中學(xué)等盟校第二次聯(lián)考】已知菱形滿足：，將菱形沿對(duì)角線折成一個(gè)直二面角，則三棱錐外接球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A，外接球表面積為，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法，屬于難題.要求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求出求的半徑，求外接球半徑的常見方法有：若三條棱兩垂直則用（為三棱的長(zhǎng)）；若面（），則（為外接圓半徑）；可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球；特殊幾何體可以直接找出球心和半徑.例6.【2018屆廣東省湛江市二?！恳阎粋€(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的外接球體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由題意首先將三視圖還原為三棱錐，然后補(bǔ)形為三棱柱，結(jié)合外接球半徑即可求得外接球的體積.且：，外接球的體積：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.例7【2017課標(biāo)II，理4】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為（ ）A B C D【答案】B【解析】點(diǎn)睛：在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要從三個(gè)視圖綜合考慮，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線.在還原空間幾何體實(shí)際形狀時(shí)，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮.求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解.例8.【2017課標(biāo)3，理8】已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（ ）ABCD【答案】B【解析】 點(diǎn)睛：(1)求解以空間幾何體的體積的關(guān)鍵是確定幾何體的元素以及線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.例9.【2017浙江，3】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是（ ）AB C D【答案】A點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整例10.【2017課標(biāo)1，理16】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn)，DBC，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，F(xiàn)AB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_.【答案】【解析】點(diǎn)睛：對(duì)于三棱錐最值問題，肯定需要用到函數(shù)的思想進(jìn)行解決，本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未知量，利用圖形特征表示出三棱錐體積.當(dāng)體積中的變量最高次是2次時(shí)可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決，當(dāng)變量是高次時(shí)需要用到求導(dǎo)得方式進(jìn)行解決.【精選精練】1【2018屆重慶市三診】一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，若該三棱柱的外接球的表面積為，則側(cè)視圖中的的值為 （ ）A. 6 B. 4 C. 3 D. 2【答案】C【解析】分析：首先通過觀察幾何體的三視圖，還原幾何體，得知其為一個(gè)正三棱柱，結(jié)合直三棱柱的外接球的球心在上下底面外心連線的中點(diǎn)處，利用外接球的表面積，得到底面邊長(zhǎng)所滿足的關(guān)系式，求得其邊長(zhǎng)，再根據(jù)側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)的關(guān)系，求得結(jié)果.則有，從而解得，因?yàn)閭?cè)視圖中對(duì)應(yīng)的邊為底面三角形的邊的中線，求得，故選C. 點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)利用三視圖還原幾何體，以及與外接球相關(guān)的問題，在解題的過程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有球的表面積公式、直棱柱的外接球的球心的位置、外接球的半徑與棱柱的高以及底面三角形的外接圓的半徑的關(guān)系，將其整合，得到x所滿足的等量關(guān)系式，求得結(jié)果.2.【2018屆山東省煙臺(tái)市高考適應(yīng)性練習(xí)（二）】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B右側(cè)為一個(gè)值三棱柱，其底面如俯視圖所示，高為的直三棱柱，其體積為，所以該幾何體的體積為，故選B3【2018屆江西省景德鎮(zhèn)市第一中學(xué)等盟校第二次聯(lián)考】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線描繪的是某幾何體的三視圖，其中主視圖和左視圖相同如上方，俯視圖在其下方，該幾何體體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】C所以組合體體積為：，故選C.點(diǎn)睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響，對(duì)簡(jiǎn)單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.4【2018屆浙江省紹興市5月調(diào)測(cè)】已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）A. B. C. D. 【答案】A5.【2018屆福建省三明市5月測(cè)試】已知某幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，則該幾何體外接球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由題意首先確定空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后結(jié)合幾何體的性質(zhì)求解外接球半徑，最后求解其表面積即可.設(shè)該幾何體的外接球半徑為，由幾何關(guān)系可得：，外接球的表面積為：.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.6【2018屆山東省煙臺(tái)市高考適應(yīng)性練習(xí)（一）】某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖右側(cè)曲線為半圓弧，則幾何體的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A7【2018屆江西省贛州市5月統(tǒng)考】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A而挖去的八分之一球體的體積為，所以該幾何體的體積為，故選A.8.【2018屆福建省漳州市5月測(cè)試】如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是，在其上用粗實(shí)線和粗虛線畫出了某幾何體的三視圖，其中俯視圖中的曲線是四分之一的圓弧，則這個(gè)幾何體的體積可能是 A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)組合體，它由兩部分組成，左邊是底面半徑與高都是的四分之一圓柱，右邊是底面是棱長(zhǎng)為的正方形，高為的四棱錐，從而可得結(jié)果.詳解：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)組合體，它由兩部分組成，左邊是四分之一圓柱，圓柱底面半徑為，高為，9【2018屆福建省南平市5月檢測(cè)】已知頂點(diǎn)在同一球面上的某三棱錐三視圖中的正視圖，俯視圖如圖所示若球的體積為，則圖中的的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先由三視圖的正視圖和俯視圖可以還原三棱錐，做出圖像，建立空間直角坐標(biāo)系，由外接球球心到各點(diǎn)的距離為半徑，列方程組求解即可.詳解：由三視圖還原幾何體，如圖所示：由正視圖和俯視圖得三棱錐為，其外接球的體積為，設(shè)半徑為，則，解得.故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法，屬于難題.求外接球半徑或圓心的常見方法有：若三條棱兩垂直則用（為三棱的長(zhǎng)）；若面（），則（為外接圓半徑）可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球；特殊幾何體可以直接找出球心和半徑；通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用代數(shù)法解方程組.10.【2018屆山東省煙臺(tái)市高考適應(yīng)性練習(xí)（二）】在三棱錐中，是等邊三角形，平面平面，若該三棱錐外接球的表面積為，且球心到平面的距離為，則三棱錐的體積的最大值為（ ）A. B. C. 27 D. 81【答案】C【解析】分析：由題意，畫出圖形，再由已知求出底面三角形的邊長(zhǎng)，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，三棱錐的體積取得最大值詳解：如圖所示，取等邊三角形的中心，過作三角形的垂線，截去，此時(shí)三棱錐的高為，所以三棱錐的體積的最大值為點(diǎn)睛：本題考查了有關(guān)球的組合體問題，以及三棱錐的體積的求法，解答時(shí)要認(rèn)真審題，注意球的性質(zhì)的合理運(yùn)用，求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）如果設(shè)計(jì)幾何體有兩個(gè)面相交，可過兩個(gè)面的外心分別作兩個(gè)面的垂線，垂線的交點(diǎn)為幾何體的球心.11.【2018屆天津市河?xùn)|區(qū)二?！柯閳F(tuán)又叫煎堆，呈球形，華北地區(qū)稱麻團(tuán)，是一種古老的中華傳統(tǒng)特色油炸面食，寓意團(tuán)圓。制作時(shí)以糯米粉團(tuán)炸起，加上芝麻而制成，有些包麻茸、豆沙等餡料，有些沒有。一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的紙盒中恰好放入4個(gè)球形的麻團(tuán)，它們彼此相切，同時(shí)與長(zhǎng)方體紙盒上下底和側(cè)面均相切，其俯視圖如圖所示，若長(zhǎng)方體紙盒的表面積為576 ，則一個(gè)麻團(tuán)的體積為_【答案】 詳解：根據(jù)麻團(tuán)與長(zhǎng)方體紙盒上下底和側(cè)面均相切，可知長(zhǎng)方體紙盒的長(zhǎng)寬相等.設(shè)麻團(tuán)球形半徑r，可得長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬a=4r，高為h=2r，長(zhǎng)方體紙盒的表面積為576cm2，即32r2+32r2=576，解得：r2=9，即r=3，可得一個(gè)麻團(tuán)的體積V=36故答案為：3612【2018屆河北省衡水中學(xué)第十六次模擬】已知直三棱柱中，,若棱在正視圖的投影面內(nèi)，且與投影面所成角為，設(shè)正視圖的面積為，側(cè)視圖的面積為，當(dāng)變化時(shí)，的最大值是_【答案】【解析】分析：利用與投影面所成角，建立正視圖的面積為和側(cè)視圖的面積為的關(guān)系，利用，求解最大值.詳解：與投影面所成角時(shí)，平面如圖所示，故得的最大值為，故答案為.