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(浙江專版)2018年高考數(shù)學 第1部分 重點強化專題 專題5 平面解析幾何 突破點13 圓錐曲線中的綜合問題教學案

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(浙江專版)2018年高考數(shù)學 第1部分 重點強化專題 專題5 平面解析幾何 突破點13 圓錐曲線中的綜合問題教學案

突破點13圓錐曲線中的綜合問題 (對應學生用書第47頁)核心知識提煉提煉1 解答圓錐曲線的定值、定點問題,從三個方面把握(1)從特殊開始,求出定值,再證明該值與變量無關(2)直接推理、計算,在整個過程中消去變量,得定值(3)在含有參數(shù)的曲線方程里面,把參數(shù)從含有參數(shù)的項里面分離出來,并令其系數(shù)為零,可以解出定點坐標.提煉2 用代數(shù)法求最值與范圍問題時從下面幾個方面入手(1)若直線和圓錐曲線有兩個不同的交點,則可以利用判別式求范圍(2)若已知曲線上任意一點、一定點或與定點構成的圖形,則利用圓錐曲線的性質(性質中的范圍)求解(3)利用隱含或已知的不等關系式直接求范圍(4)利用基本不等式求最值與范圍(5)利用函數(shù)值域的方法求最值與范圍提煉3 與圓錐曲線有關的探索性問題(1)給出問題的一些特殊關系,要求探索出一些規(guī)律,并能論證所得規(guī)律的正確性通常要對已知關系進行觀察、比較、分析,然后概括出一般規(guī)律(2)對于只給出條件,探求“是否存在”類型問題,一般要先對結論作出肯定存在的假設,然后由假設出發(fā),結合已知條件進行推理,若推出相符的結論,則存在性得到論證;若推出矛盾,則假設不存在高考真題回訪回訪直線與圓錐曲線的綜合問題1(2017·浙江高考)如圖13­1,已知拋物線x2y,點A,B,拋物線上的點P(x,y)<x<.過點B作直線AP的垂線,垂足為Q.圖13­1(1)求直線AP斜率的取值范圍(2)求|PA|·|PQ|的最大值解(1)設直線AP的斜率為k,kx,因為<x<,所以直線AP斜率的取值范圍是(1,1).6分(2)聯(lián)立直線AP與BQ的方程解得點Q的橫坐標是xQ.9分因為|PA|(k1),|PQ|(xQx),所以|PA|·|PQ|(k1)(k1)3.12分令f(k)(k1)(k1)3,因為f(k)(4k2)(k1)2,所以f(k)在區(qū)間上單調遞增,上單調遞減,因此當k時,|PA|·|PQ|取得最大值.15分2(2016·浙江高考)如圖13­2,設橢圓y21(a>1)圖13­2(1)求直線ykx1被橢圓截得的線段長(用a,k表示);(2)若任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點,求橢圓離心率的取值范圍解(1)設直線ykx1被橢圓截得的線段為AM,由得(1a2k2)x22a2kx0,3分故x10,x2.因此|AM|x1x2|·.5分(2)假設圓與橢圓的公共點有4個,由對稱性可設y軸左側的橢圓上有兩個不同的點P,Q,滿足|AP|AQ|.7分記直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,且k1,k2>0,k1k2.由(1)知,|AP|,|AQ|,故,9分所以(kk)1kka2(2a2)kk0.由于k1k2,k1,k2>0得1kka2(2a2)kk0,因此1a2(a22)因為式關于k1,k2的方程有解的充要條件是1a2(a22)>1,所以a>.13分因此,任意以點A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點的充要條件為1<a.由e,得0<e.所求離心率的取值范圍為0<e.15分3(2015·浙江高考)已知橢圓y21上兩個不同的點A,B關于直線ymx對稱(1)求實數(shù)m的取值范圍;(2)求AOB面積的最大值(O為坐標原點)圖13­3解(1)由題意知m0,可設直線AB的方程為yxb.3分由消去y,得x2xb210.5分因為直線yxb與橢圓y21有兩個不同的交點,所以2b22>0.將線段AB中點M代入直線方程ymx解得b.由得m<或m>.7分(2)令t,則|AB|·,且O到直線AB的距離為d.10分設AOB的面積為S(t),所以S(t)|AB|·d,當且僅當t2時,等號成立故AOB面積的最大值為.15分4(2014·浙江高考)已知ABP的三個頂點都在拋物線C:x24y上,F(xiàn)為拋物線C的焦點,點M為AB的中點,3.(1)若|PF|3,求點M的坐標;(2)求ABP面積的最大值圖13­4解(1)由題意知焦點F(0,1),準線方程為y1.2分設P(x0,y0),由拋物線定義知|PF|y01,得到y(tǒng)02,所以P(2,2)或P(2,2)由3得M或M.6分(2)設直線AB的方程為ykxm,點A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0)由得x24kx4m0.8分于是16k216m0,x1x24k,x1x24m,所以AB的中點M的坐標為(2k,2k2m)由3,得(x0,1y0)3(2k,2k2m1),所以由x4y0,得k2m.10分由0,k20,得m.又因為|AB|4·,點F(0,1)到直線AB的距離為d,所以SABP4SABF8|m1| .記f(m)3m35m2m1,令f(m)9m210m10,解得m1,m21.12分可得f(m)在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)又f f,所以,當m時,f(m)取到最大值,此時k±.所以,ABP面積的最大值為.15分 (對應學生用書第49頁)熱點題型1圓錐曲線中的定值問題題型分析:圓錐曲線中的定值問題是近幾年高考的熱點內容,解決這類問題的關鍵是引入變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關系等,根據(jù)等式恒成立,數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.【例1】已知橢圓C:1(ab0)上一點P與橢圓右焦點的連線垂直于x軸,直線l:ykxm與橢圓C相交于A,B兩點(均不在坐標軸上)(1)求橢圓C的標準方程;(2)設O為坐標原點,若AOB的面積為,試判斷直線OA與OB的斜率之積是否為定值? 【導學號:68334131】解(1)由題意知解得3分橢圓C的標準方程為1.4分(2)設點A(x1,y1),B(x2,y2),由得(4k23)x28kmx4m2120,5分由(8km)216(4k23)(m23)0,得m24k23.6分x1x2,x1x2,SOAB|m|x1x2|m|·,8分化簡得4k232m20,滿足0,從而有4k2m2m23(*),9分kOA·kOB·,由(*)式,得1,12分kOA·kOB,即直線OA與OB的斜率之積為定值.15分方法指津求解定值問題的兩大途徑1.2先將式子用動點坐標或動線中的參數(shù)表示,再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負項抵消或分子、分母約分得定值變式訓練1已知橢圓C:1過A(2,0),B(0,1)兩點(1)求橢圓C的方程及離心率;(2)設P為第三象限內一點且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N,求證:四邊形ABNM的面積為定值解(1)由題意得a2,b1,橢圓C的方程為y21.3分又c,離心率e.5分(2)證明:設P(x0,y0)(x00,y00),則x4y4.6分又A(2,0),B(0,1),直線PA的方程為y(x2)令x0,得yM,從而|BM|1yM1.9分直線PB的方程為yx1.令y0,得xN,從而|AN|2xN2.12分四邊形ABNM的面積S|AN|·|BM|2.從而四邊形ABNM的面積為定值.15分熱點題型2圓錐曲線中的最值、范圍問題題型分析:圓錐曲線中的最值、范圍問題是高考重點考查的內容,解決此類問題常用的方法是幾何法和代數(shù)法.【例2】設圓x2y22x150的圓心為A,直線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E.(1)證明|EA|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程;(2)設點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍解(1)因為|AD|AC|,EBAC,所以EBDACDADC,所以|EB|ED|,故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圓A的標準方程為(x1)2y216,從而|AD|4,所以|EA|EB|4.2分由題設得A(1,0),B(1,0),|AB|2,由橢圓定義可得點E的軌跡方程為1(y0).4分(2)當l與x軸不垂直時,設l的方程為yk(x1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2)由得(4k23)x28k2x4k2120,則x1x2,x1x2.所以|MN|x1x2|.過點B(1,0)且與l垂直的直線m:y(x1),點A到直線m的距離為,6分所以|PQ|24.故四邊形MPNQ的面積S|MN| PQ|12.8分可得當l與x軸不垂直時,四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12,8).12分當l與x軸垂直時,其方程為x1,|MN|3,|PQ|8,故四邊形MPNQ的面積為12.綜上,四邊形MPNQ面積的取值范圍為12,8).15分方法指津與圓錐曲線有關的取值范圍問題的三種解法1數(shù)形結合法:利用待求量的幾何意義,確定出極端位置后數(shù)形結合求解2構建不等式法:利用已知或隱含的不等關系,構建以待求量為元的不等式求解3構建函數(shù)法:先引入變量構建以待求量為因變量的函數(shù),再求其值域變式訓練2(名師押題)已知拋物線C:x22py(p0),過其焦點作斜率為1的直線l交拋物線C于M,N兩點,且|MN|16.(1)求拋物線C的方程;(2)已知動圓P的圓心在拋物線C上,且過定點D(0,4),若動圓P與x軸交于A,B兩點,求的最大值. 【導學號:68334132】解(1)設拋物線的焦點為F,則直線l:yx.由得x22pxp20,x1x22p,y1y23p,|MN|y1y2p4p16,p4,拋物線C的方程為x28y.4分(2)設動圓圓心P(x0,y0),A(x1,0),B(x2,0),則x8y0,且圓P:(xx0)2(yy0)2x(y04)2,令y0,整理得x22x0xx160,解得x1x04,x2x04,6分設t,當x00時,t1,7分當x00時,t.x00,x08,t1,且t1,綜上知1t1.11分f(t)t在1,1上單調遞減,t12,當且僅當t1,即x04時等號成立的最大值為2.15分熱點題型3圓錐曲線中的探索性問題題型分析:探索性問題一般分為探究條件和探究結論兩種類型,若探究條件,則可先假設條件成立,再驗證結論是否成立,成立則存在,否則不存在.若探究結論,則應先寫出結論的表達式,再針對表達式進行討論,往往涉及對參數(shù)的討論.【例3】如圖13­5,在平面直角坐標系xOy中,已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:1(ab0)的左、右焦點,A,B分別是橢圓E的左、右頂點,D(1,0)為線段OF2的中點,且50.圖13­5(1)求橢圓E的方程;(2)若M為橢圓E上的動點(異于點A,B),連接MF1并延長交橢圓E于點N,連接MD,ND并分別延長交橢圓E于點P,Q,連接PQ,設直線MN,PQ的斜率存在且分別為k1,k2.試問是否存在常數(shù),使得k1k20恒成立?若存在,求出的值;若不存在,說明理由解題指導(1)0(2)解(1)50,5,ac5(ac),化簡得2a3c,又點D(1,0)為線段OF2的中點,c2,從而a3,b,左焦點F1(2,0),故橢圓E的方程為1.4分(2)假設存在滿足條件的常數(shù),使得k1k20恒成立,設M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),則直線MD的方程為xy1,代入橢圓方程1,整理得,y2y40,6分y1y3,y3,從而x3,故點P,同理,點Q.10分三點M,F(xiàn)1,N共線,從而x1y2x2y12(y1y2),從而k2,故k10,從而存在滿足條件的常數(shù),.15分方法指津探索性問題求解的思路及策略1思路:先假設存在,推證滿足條件的結論,若結論正確,則存在;若結論不正確,則不存在2策略:(1)當條件和結論不唯一時要分類討論;(2)當給出結論而要推導出存在的條件時,先假設成立,再推出條件變式訓練3已知橢圓C:1(ab0)的焦點分別為F1(,0),F(xiàn)2(,0),點P在橢圓C上,滿足|PF1|7|PF2|,tanF1PF24.(1)求橢圓C的方程;(2)已知點A(1,0),試探究是否存在直線l:ykxm與橢圓C交于D,E兩點,且使得|AD|AE|?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,請說明理由. 【導學號:68334133】解(1)由|PF1|7|PF2|,PF1PF22a得PF1,PF2.2分由余弦定理得cosF1PF,a2,所求C的方程為y21.4分(2)假設存在直線l滿足題設,設D(x1,y1),E(x2,y2),將ykxm代入y21并整理得(14k2)x28kmx4m240,由64k2m24(14k2)(4m24)16(m24k21)0,得4k21m2.6分又x1x2.設D,E中點為M(x0,y0),M,kAMk1,得m,10分將代入得4k212,化簡得20k4k210(4k21)(5k21)0,解得k或k,所以存在直線l,使得|AD|AE|,此時k的取值范圍為.15分12

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