2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（人教版）講義：第09章 平面解析幾何 第7節(jié) 拋物線及其性質(zhì) Word版含答案

2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（人教版）講義：第09章 平面解析幾何 第7節(jié) 拋物線及其性質(zhì) Word版含答案考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)拋物線的方程及幾何性質(zhì)xx·全國卷·T5·5分拋物線與反比例函數(shù)結(jié)合求函數(shù)解析式數(shù)學(xué)運(yùn)算xx·全國卷·T5·5分拋物線與橢圓結(jié)合求線段長度數(shù)學(xué)運(yùn)算直線與拋物線的位置關(guān)系xx·全國卷·T20·12分拋物線與直線的位置關(guān)系數(shù)學(xué)運(yùn)算xx·全國卷·T12·5分在拋物線中求點(diǎn)到直線距離數(shù)學(xué)運(yùn)算xx·全國卷·T20·12分以拋物線為載體證明直線平行，求軌跡方程邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算命題分析拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)常以選擇題填空題形式出現(xiàn)，直線與拋物線的位置關(guān)系多以解答題形式考查.標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱軸y0x0焦點(diǎn)FFFF離心率e1準(zhǔn)線方程xxyy范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0(以右圖為依據(jù))設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p(為AB的傾斜角)(3)為定值.(4)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切. 1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線()(2)拋物線y24x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是4.()(3)若一拋物線過點(diǎn)P(2,3)，其標(biāo)準(zhǔn)方程可寫為y22px(p>0)()(4)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形()(5)過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫作拋物線的通徑，那么拋物線x22ay(a>0)的通徑長為2a.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)2(教材習(xí)題改編)拋物線yx2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A(0，1)B(0,1)C(1,0)D(1,0)解析：選Ayx2化為標(biāo)準(zhǔn)方程x24y,2p4，p2，對(duì)稱軸y軸開口向下，焦點(diǎn)坐標(biāo)(0，1)3(教材習(xí)題改編)若拋物線y4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()ABCD0解析：選BM到準(zhǔn)線的距離等于M到焦點(diǎn)的距離，又準(zhǔn)線方程為y，設(shè)M(x，y)，則y1，y.4(教材習(xí)題改編)拋物線x22py(p0)上的點(diǎn)P(m,2)到焦點(diǎn)F的距離為3，則該拋物線的方程為_解析：P到焦點(diǎn)距離為3，P到準(zhǔn)線距離為3.又P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,2)，準(zhǔn)線為y1，p2.方程為x24y.答案：x24y拋物線定義及應(yīng)用析考情高考中對(duì)拋物線定義的考查有兩個(gè)層次，一是當(dāng)已知曲線是拋物線時(shí)，拋物線上的點(diǎn)M滿足定義，它到準(zhǔn)線的距離為d，則|MF|d，有關(guān)距離、最值、弦長等是考查的重點(diǎn)；二是利用動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件符合拋物線的定義，從而得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線提能力【典例1】 已知拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是準(zhǔn)線l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若4，則|QF|()ABC3D2解析：選C因?yàn)?，所以|4|，所以.如圖，過Q作QQl，垂足為Q，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為A，則|AF|4，所以，所以|QQ|3，根據(jù)拋物線定義可知|QF|QQ|3.【典例2】 已知F是拋物線y2x的焦點(diǎn)，A、B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|BF|3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()AB1CD解析：選C|AF|BF|xAxB3，xAxB.線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為.悟技法拋物線定義的應(yīng)用(1)利用拋物線的定義解決此類問題，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化即“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”(2)注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x，y)到焦點(diǎn)F的距離|PF|x|或|PF|y|.刷好題1設(shè)經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，那么拋物線C的準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系為()A相離B相切C相交但不經(jīng)過圓心D相交且經(jīng)過圓心解析：選B設(shè)圓心為M，焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)A，B，M作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A1，B1，M1，則|MM1|(|AA1|BB1|)由拋物線定義可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，所以|AB|BB1|AA1|，|MM1|AB|，即圓心M到準(zhǔn)線的距離等于圓的半徑，故以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切2已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，則拋物線y24x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()AB2CD3解析：選B由題可知l2：x1是拋物線y24x的準(zhǔn)線，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)F為(1,0)，則動(dòng)點(diǎn)P到l2的距離等于|PF|，則動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值即為焦點(diǎn)F到直線l1：4x3y60的距離，所以最小值是2.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)明技法1求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只需一個(gè)條件確定p值即可(2)因?yàn)閽佄锞€方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時(shí)，需先定位，再定量2確定及應(yīng)用拋物線性質(zhì)的技巧(1)利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等性質(zhì)時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程(2)要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面幾何的性質(zhì)以圖助解提能力【典例1】 (xx·陜西卷)已知拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(1,0)B(1,0)C(0，1)D(0,1)解析：選B拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線為x且過點(diǎn)(1,1)，故1，解得p2.所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)【典例2】 (xx·徐州調(diào)研)若拋物線y22px上一點(diǎn)P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ay24xBy26xCy28xDy210x解析：選C拋物線y22px，準(zhǔn)線為x.點(diǎn)P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，4.p4.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y28x.刷好題1(xx·全國卷)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A2B4C6D8解析：選B不妨設(shè)拋物線C：y22px(p>0)，則圓的方程可設(shè)為x2y2r2(r>0)，如圖，又可設(shè)A(x0,2)，D，點(diǎn)A(x0,2)在拋物線y22px上，82px0，點(diǎn)A(x0,2)在圓x2y2r2上，x8r2，點(diǎn)D在圓x2y2r2上，52r2，聯(lián)立，解得p4，即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p4，故選B2設(shè)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,2)，若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為_解析：拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，則線段FA的中點(diǎn)B的坐標(biāo)為，代入拋物線方程得12p×，解得p，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為，故點(diǎn)B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為.答案：拋物線中的最值問題析考情在高考中對(duì)拋物線中最值問題的考查是一個(gè)熱考點(diǎn)，它是對(duì)拋物線定義、直線與拋物線關(guān)系及函數(shù)思想方法的綜合應(yīng)用提能力命題點(diǎn)1：定義轉(zhuǎn)換法【典例1】 (xx·豫南九校聯(lián)考)已知點(diǎn)P是拋物線x24y上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影是點(diǎn)Q，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(8,7)，則|PA|PQ|的最小值為()A7B8C9D10解析：選C拋物線的焦點(diǎn)為F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y1，根據(jù)拋物線的定義知，|PF|PM|PQ|1.所以|PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF|1|AF|111019.悟技法與拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離有關(guān)的最值問題，一般都是利用拋物線的定義，將到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，然后通過數(shù)形結(jié)合直接判斷出取得最值時(shí)所要滿足的條件，這樣就能避免煩瑣的代數(shù)運(yùn)算命題點(diǎn)2：平移直線法【典例2】 拋物線yx2上的點(diǎn)到直線4x3y80距離的最小值是_.解析：方法一如圖，設(shè)與直線4x3y80平行且與拋物線yx2相切的直線為4x3yb0，切線方程與拋物線方程聯(lián)立得消去y整理得3x24xb0，則1612b0，解得b，所以切線方程為4x3y0，拋物線yx2上的點(diǎn)到直線4x3y80距離的最小值是這兩條平行線間的距離d.方法二由yx2，得y2x.如圖，設(shè)與直線4x3y80平行且與拋物線yx2相切的直線與拋物線的切點(diǎn)是T(m，m2)，則切線斜率ky|xm2m，所以m，即切點(diǎn)T，點(diǎn)T到直線4x3y80的距離d，由圖知拋物線yx2上的點(diǎn)到直線4x3y80距離的最小值是.方法三設(shè)P(x，x2)，則點(diǎn)P到直線4x3y80的距離d2，在拋物線yx2中，xR，所以當(dāng)x時(shí)，d取得最小值，即拋物線yx2上的點(diǎn)到直線4x3y80距離的最小值是.答案：悟技法若拋物線上的任一點(diǎn)P到直線l的距離最小，則過點(diǎn)P與l平行的直線與拋物線相切，且最小距離為兩平行直線間的距離，所以可將問題轉(zhuǎn)化為求與拋物線相切的直線，然后求兩平行直線間的距離命題點(diǎn)3：函數(shù)法【典例3】 若點(diǎn)P在拋物線y2x上，點(diǎn)Q在圓(x3)2y21上，則|PQ|的最小值為_解析：由題意得拋物線與圓不相交，且圓的圓心為A(3,0)，則|PQ|PA|AQ|PA|1，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q，A三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)|PA|取得最小值時(shí)，|PQ|最小設(shè)P(x0，y0)，則yx0，|PA|，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)，|PA|取得最小值，此時(shí)|PQ|取得最小值1.答案：1悟技法解與拋物線有關(guān)的最值問題可通過兩點(diǎn)間距離公式或者點(diǎn)到直線的距離公式建立目標(biāo)函數(shù)，再用求函數(shù)最值的方法求解解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給拋物線方程設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)刷好題1 (xx·四川卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線y22px(p0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且|PM|2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為()ABCD1解析：選C設(shè)P，易知F，則由|PM|2|MF|，得M，當(dāng)t0時(shí)，直線OM的斜率k0，當(dāng)t0時(shí)，直線OM的斜率k，所以|k|，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，于是直線OM的斜率的最大值為，選C2(xx·遵義聯(lián)考)已知點(diǎn)P是拋物線xy2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,2)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為()A2B21C1D1解析：選B拋物線xy2的焦點(diǎn)為F(1,0)由拋物線定義，得點(diǎn)P到點(diǎn)A(1,2)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離之和為|PF|PA|1，其最小值為|AF|1121.故選B3(xx·黃山月考)已知拋物線x22py(p0)，定點(diǎn)C(0，p)，點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，過定點(diǎn)C的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)設(shè)點(diǎn)N到直線l的距離為d，則|AB|·d的最小值為_解析：依題意，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(0，p)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為ykxp，與x22py聯(lián)立，消去y得x22pkx2p20.由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x22pk，x1x22p2.|AB|·d2SABN2××2p×|x1x2|4p2.當(dāng)k0時(shí)，|AB|·d取得最小值，為4p2.答案：4p2