2022年高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 單調(diào)性與最大（?。┲担?）教案 新人教A版

2022年高三數(shù)學(xué)經(jīng)典示范 單調(diào)性與最大（小）值（1）教案 新人教A版教學(xué)分析在研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，單調(diào)性和最值是一個(gè)重要內(nèi)容.實(shí)際上，在初中學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，已經(jīng)重點(diǎn)研究了一些函數(shù)的增減性，只是當(dāng)時(shí)的研究較為粗略，未明確給出有關(guān)函數(shù)增減性的定義，對于函數(shù)增減性的判斷也主要根據(jù)觀察圖象得出，而本小節(jié)內(nèi)容，正是初中有關(guān)內(nèi)容的深化和提高：給出函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)的定義，明確指出函數(shù)的增減性是相對于某個(gè)區(qū)間來說的，還說明判斷函數(shù)的增減性既有從圖象上進(jìn)行觀察的較為粗略的方法，又有根據(jù)定義進(jìn)行證明的較為嚴(yán)格的方法、最好根據(jù)圖象觀察得出猜想，用推理證明猜想的正確性,這樣就將以上兩種方法統(tǒng)一起來了.由于函數(shù)圖象是發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，因此，在本節(jié)教學(xué)時(shí)可以充分使用信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，以利于學(xué)生作函數(shù)圖象，有更多的時(shí)間用于思考、探究函數(shù)的單調(diào)性、最值等性質(zhì).還要特別重視讓學(xué)生經(jīng)歷這些概念的形成過程，以便加深對單調(diào)性和最值的理解.三維目標(biāo)1.函數(shù)單調(diào)性的研究經(jīng)歷了從直觀到抽象，以圖識數(shù)的過程，在這個(gè)過程中，讓學(xué)生通過自主探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過程的真諦，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).2.理解并掌握函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義，掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，提高應(yīng)用知識解決問題的能力.3.通過實(shí)例，使學(xué)生體會(huì)、理解到函數(shù)的最大（小）值及其幾何意義，能夠借助函數(shù)圖象的直觀性得出函數(shù)的最值，培養(yǎng)以形識數(shù)的解題意識.4.能夠用函數(shù)的性質(zhì)解決日常生活中的簡單的實(shí)際問題，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的必要性與重要性，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的緊迫感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):函數(shù)的單調(diào)性和最值.教學(xué)難點(diǎn):增函數(shù)、減函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)形式化定義的形成.課時(shí)安排2課時(shí)設(shè)計(jì)方案（一）教學(xué)過程第1課時(shí) 函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)入新課思路1.德國有一位著名的心理學(xué)家名叫艾賓浩斯(Hermann Ebbinghaus，18501909)，他以自己為實(shí)驗(yàn)對象，共做了163次實(shí)驗(yàn)，每次實(shí)驗(yàn)連續(xù)要做兩次無誤的背誦.經(jīng)過一定時(shí)間后再重學(xué)一次，達(dá)到與第一次學(xué)會(huì)的同樣的標(biāo)準(zhǔn).他經(jīng)過對自己的測試，得到了一些數(shù)據(jù).時(shí)間間隔t0分鐘20分鐘60分鐘89小時(shí)1天2天6天一個(gè)月記憶量y(百分比)100%58.2%44.2%35.8%33.7%27.8%25.4%21.1%觀察這些數(shù)據(jù)，可以看出：記憶量y是時(shí)間間隔t的函數(shù).當(dāng)自變量（時(shí)間間隔t）逐漸增大時(shí)，你能看出對應(yīng)的函數(shù)值（記憶量y）有什么變化趨勢嗎？描出這個(gè)函數(shù)圖象的草圖(這就是著名的艾賓浩斯曲線).從左向右看,圖象是上升的還是下降的？你能用數(shù)學(xué)符號來刻畫嗎？通過這個(gè)實(shí)驗(yàn),你打算以后如何對待剛學(xué)過的知識?（可以借助信息技術(shù)畫圖象）圖1-3-1-1學(xué)生：先思考或討論，回答：記憶量y隨時(shí)間間隔t的增大而增大；以時(shí)間間隔t為x軸，以記憶量y為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，描點(diǎn)連線得函數(shù)的草圖艾賓浩斯遺忘曲線如圖1-3-1-1所示.遺忘曲線是一條衰減曲線，它表明了遺忘的規(guī)律.隨著時(shí)間的推移，記憶保持量在遞減，剛開始遺忘速度最快，我們應(yīng)利用這一規(guī)律，在學(xué)習(xí)新知識時(shí)一定要及時(shí)復(fù)習(xí)鞏固，加深理解和記憶.教師提示、點(diǎn)撥，并引出本節(jié)課題.思路2.在第23屆奧運(yùn)會(huì)上，中國首次參加就獲15枚金牌；在第24屆奧運(yùn)會(huì)上，中國獲5枚金牌；在第25屆奧運(yùn)會(huì)上，中國獲16枚金牌；在第26屆奧運(yùn)會(huì)上，中國獲16枚金牌；在第27屆奧運(yùn)會(huì)上，中國獲28枚金牌；在第28屆奧運(yùn)會(huì)上，中國獲32枚金牌.按這個(gè)變化趨勢，xx年，在北京舉行的第29屆奧運(yùn)會(huì)上，請你預(yù)測一下中國能獲得多少枚金牌？學(xué)生回答(只要大于32就可以算準(zhǔn)確),教師：提示、點(diǎn)撥，并引出本節(jié)課題.推進(jìn)新課新知探究提出問題如圖1-3-1-2所示為一次函數(shù)y=x，二次函數(shù)y=x2和y=-x2的圖象,它們的圖象有什么變化規(guī)律?這反映了相應(yīng)的函數(shù)值的哪些變化規(guī)律?圖1-3-1-2函數(shù)圖象上任意點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)有什么意義？如何理解圖象是上升的？對于二次函數(shù)y=x2，列出x,y的對應(yīng)值表(1).完成表(1)并體會(huì)圖象在y軸右側(cè)上升.x-4-3-2-101234f(x)=x2表(1)在數(shù)學(xué)上規(guī)定：函數(shù)y=x2在區(qū)間(0,+)上是增函數(shù).誰能給出增函數(shù)的定義？增函數(shù)的定義中，把“當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)”改為“當(dāng)x1>x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)”,這樣行嗎?增函數(shù)的定義中，“當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)”反映了函數(shù)值有什么變化趨勢?函數(shù)的圖象有什么特點(diǎn)?增函數(shù)的幾何意義是什么？類比增函數(shù)的定義，請給出減函數(shù)的定義及其幾何意義？函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上具有單調(diào)性，說明了函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上的圖象有什么變化趨勢？討論結(jié)果:函數(shù)y=x的圖象,從左向右看是上升的；函數(shù)y=x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的，在y軸右側(cè)是上升的；函數(shù)y=-x2的圖象在y軸左側(cè)是上升的，在y軸右側(cè)是下降的.函數(shù)圖象上任意點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)的意義：橫坐標(biāo)x是自變量的取值,縱坐標(biāo)y是自變量為x時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值的大小.按從左向右的方向看函數(shù)的圖象,意味著圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)逐漸增大即函數(shù)的自變量逐漸增大.圖象是上升的意味著圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)逐漸變大,也就是對應(yīng)的函數(shù)值隨著逐漸增大.也就是說從左向右看圖象上升,反映了函數(shù)值隨著自變量的增大而增大.在區(qū)間(0,+)上，任取x1、x2，且x1<x2,那么就有y1<y2,也就是有f(x1)<f(x2).這樣可以體會(huì)用數(shù)學(xué)符號來刻畫圖象上升.一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).可以.增函數(shù)的定義：由于當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，即都是相同的不等號“<”，也就是說前面是“<”，后面也是“<”,步調(diào)一致；“當(dāng)x1>x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)”都是相同的不等號“>”，也就是說前面是“>”，后面也是“>”,步調(diào)一致.因此我們可以簡稱為：步調(diào)一致增函數(shù).函數(shù)值隨著自變量的增大而增大;從左向右看,圖象是上升的.從左向右看,圖象是上升的.一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).簡稱為：步調(diào)不一致減函數(shù).減函數(shù)的幾何意義：從左向右看,圖象是下降的.函數(shù)值變化趨勢：函數(shù)值隨著自變量的增大而減小.總結(jié)：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)(或減函數(shù))，那么就說函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f（x）的單調(diào)遞增(或減)區(qū)間.函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D上，函數(shù)值的變化趨勢是隨自變量的增大而增大（減小），幾何意義：從左向右看,圖象是上升（下降）的.應(yīng)用示例思路1例1如圖1-3-1-3是定義在區(qū)間5，5上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？圖1-3-1-3活動(dòng)：教師提示利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義.學(xué)生先思考或討論后再回答，教師點(diǎn)撥、提示并及時(shí)評價(jià)學(xué)生.圖象上升則在此區(qū)間上是增函數(shù)，圖象下降則在此區(qū)間上是減函數(shù).解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間是-5,2),-2,1),1,3),3,5.其中函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-5,2),1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間-2,1),3,5上是增函數(shù).點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的幾何意義，以及圖象法判斷函數(shù)單調(diào)性.圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性適合于選擇題和填空題.如果解答題中給出了函數(shù)的圖象，通常用圖象法判斷單調(diào)性.函數(shù)的圖象類似于人的照片，我們能根據(jù)人的照片來估計(jì)其身高，同樣我們根據(jù)函數(shù)的圖象可以分析出函數(shù)值的變化趨勢即單調(diào)性.圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是第一步：畫函數(shù)的圖象；第二步：觀察圖象，利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.變式訓(xùn)練課本P32練習(xí)1、3.例2物理學(xué)中的玻意耳定律p=（k為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大.試用函數(shù)的單調(diào)性證明.活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再到黑板上書寫.當(dāng)學(xué)生沒有證明思路時(shí)，教師再提示,及時(shí)糾正學(xué)生解答過程出現(xiàn)的問題，并標(biāo)出關(guān)鍵的地方，以便學(xué)生總結(jié)定義法的步驟.體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大是指函數(shù)p=是減函數(shù)；刻畫體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大的方法是用不等式表達(dá).已知函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，常用單調(diào)性的定義來解決.解：利用函數(shù)單調(diào)性的定義只要證明函數(shù)p=在區(qū)間(0,+)上是減函數(shù)即可.點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，以及定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性.定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟是第一步：在所給的區(qū)間上任取兩個(gè)自變量x1和x2,通常令x1<x2；第二步：比較f(x1)和f(x2)的大小,通常是用作差比較法比較大小,此時(shí)比較它們大小的步驟是作差、變形、看符號；第三步：再歸納結(jié)論.定義法的步驟可以總結(jié)為：一“取(去)”、二“比”、三“再(賽)”,因此簡稱為：“去比賽”.變式訓(xùn)練課本P32練習(xí)4.思路2例1（1）畫出已知函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖象；（2）證明函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-,1上是增函數(shù)；（3）當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,m上是增函數(shù)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.圖1-3-1-4解：（1）函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖象如圖1-3-1-4所示.(2)設(shè)x1、x2(-,1，且x1<x2，則有f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3)=(x22-x12)+2(x1-x2)=(x1-x2)(2-x1-x2).x1、x2(-,1，且x1<x2，x1-x2<0,x1+x2<2.2-x1-x2>0.f(x1)-f(x2)<0.f(x1)<f(x2).函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-,1上是增函數(shù).（3）函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的對稱軸是直線x=1，在對稱軸的左側(cè)是增函數(shù)，那么當(dāng)區(qū)間(-,m位于對稱軸的左側(cè)時(shí)滿足題意，則有m1，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-,1.點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用.討論有關(guān)二次函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，常用數(shù)形結(jié)合的方法，結(jié)合二次函數(shù)圖象的特點(diǎn)來分析；二次函數(shù)在對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性相反；二次函數(shù)在區(qū)間D上是單調(diào)函數(shù)，那么二次函數(shù)的對稱軸不在區(qū)間D內(nèi).判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)，通常先畫出其圖象，由圖象觀察出單調(diào)區(qū)間，最后用單調(diào)性的定義證明.判斷函數(shù)單調(diào)性的三部曲：第一步，畫出函數(shù)的圖象，觀察圖象，描述函數(shù)值的變化趨勢；第二步，結(jié)合圖象來發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；第三步，用數(shù)學(xué)符號即函數(shù)單調(diào)性的定義來證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì),是高考的必考內(nèi)容之一.因此應(yīng)理解單調(diào)函數(shù)及其幾何意義,會(huì)根據(jù)定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，能綜合運(yùn)用單調(diào)性解決一些問題，會(huì)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的值域、不等式等知識聯(lián)系極為密切，是高考命題的熱點(diǎn)題型.變式訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，設(shè)F(x)=f(x)-f(a-x).(1)用函數(shù)單調(diào)性定義證明F(x)是R上的增函數(shù)；(2)證明函數(shù)y=F(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)成中心對稱圖形.活動(dòng)：（1）本題中的函數(shù)解析式不明確即為抽象函數(shù)，用定義法判斷單調(diào)性的步驟是要按格式書寫；（2）證明函數(shù)y=F(x)的圖象上的任意點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(,0)的對稱點(diǎn)還是在函數(shù)y=F(x)的圖象上即可.解：（1）設(shè)x1、x2R，且x1<x2.則F(x1)-F(x2)=f(x1)-f(a-x1)-f(x2)-f(a-x2)=f(x1)-f(x2)+f(a-x2)-f(a-x1).又函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，x1<x2，a-x2<a-x2.f(x1)<f(x2),f(a-x2)<f(a-x1).f(x1)-f(x2)+f(a-x2)-f(a-x1)<0.F(x1)<F(x2).F(x)是R上的增函數(shù).（2）設(shè)點(diǎn)M(x0,F(x0)是函數(shù)F(x)圖象上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)M(x0,F(x0)關(guān)于點(diǎn)(,0)的對稱點(diǎn)M(a-x0,-F(x0).又F(a-x0)=f(a-x0)-f(a-(a-x0)f(a-x0)-f(x0)-f(x0)-f(a-x0)=-F(x0),點(diǎn)M(a-x0,-F(x0)也在函數(shù)F(x)圖象上，又點(diǎn)M(x0,F(x0)是函數(shù)F(x)圖象上任意一點(diǎn)，函數(shù)y=F(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)成中心對稱圖形.例2(1)寫出函數(shù)y=x2-2x的單調(diào)區(qū)間及其圖象的對稱軸,觀察：在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點(diǎn)?(2)寫出函數(shù)y=|x|的單調(diào)區(qū)間及其圖象的對稱軸,觀察：在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點(diǎn)?圖1-3-1-5(3)定義在-4,8上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,y=f(x)的部分圖象如圖1-3-1-5所示,請補(bǔ)全函數(shù)y=f(x)的圖象,并寫出其單調(diào)區(qū)間,觀察：在函數(shù)圖象對稱軸兩側(cè)的單調(diào)性有什么特點(diǎn)?(4)由以上你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?試加以證明.活動(dòng)：學(xué)生先思考，再回答，教師適時(shí)點(diǎn)撥和提示:（1）畫出二次函數(shù)y=x2-2x的圖象，借助于圖象解決；（2）類似于（1）；（3）根據(jù)軸對稱的含義補(bǔ)全函數(shù)的圖象，也是借助于圖象寫出單調(diào)區(qū)間；（4）歸納函數(shù)對稱軸兩側(cè)對稱區(qū)間上的單調(diào)性的異同來發(fā)現(xiàn)結(jié)論，利用軸對稱的定義證明.解：(1)函數(shù)y=x2-2x的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,1),單調(diào)遞增區(qū)間是(1,+);對稱軸是直線x=1;區(qū)間(-,1)和區(qū)間(1,+)關(guān)于直線x=1對稱,而單調(diào)性相反.(2)函數(shù)y=|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,0),單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+);對稱軸是y軸即直線x=0;區(qū)間(-,0)和區(qū)間(0,+)關(guān)于直線x=0對稱,而單調(diào)性相反.(3)函數(shù)y=f(x),x-4,8的圖象如圖1-3-1-6.圖1-3-1-6函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-4,-1,2,5;單調(diào)遞減區(qū)間是5,8,-1,2;區(qū)間-4,-1和區(qū)間5,8關(guān)于直線x=2對稱,而單調(diào)性相反,區(qū)間-1,2和區(qū)間2,5關(guān)于直線x=2對稱,而單調(diào)性相反.(4)可以發(fā)現(xiàn)結(jié)論:如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,那么函數(shù)y=f(x)在直線x=m兩側(cè)對稱單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性.證明如下:不妨設(shè)函數(shù)y=f(x)在對稱軸直線x=m的右側(cè)一個(gè)區(qū)間a,b上是增函數(shù),區(qū)間a,b關(guān)于直線x=m的對稱區(qū)間是2m-b,2m-a.由于函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,則f(x)=f(2m-x).設(shè)2m-bx1<x22m-a,則b2m-x1>2m-x2a,f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).又函數(shù)y=f(x)在a,b上是增函數(shù),f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.f(x1)-f(x2)>0.f(x1)>f(x2).函數(shù)y=f(x)在區(qū)間2m-b,2m-a上是減函數(shù).當(dāng)函數(shù)y=f(x)在對稱軸直線x=m的右側(cè)一個(gè)區(qū)間a,b上是增函數(shù)時(shí),其在a,b關(guān)于直線x=m的對稱區(qū)間2m-b,2m-a上是減函數(shù),即單調(diào)性相反.因此有結(jié)論:如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,那么函數(shù)y=f(x)在對稱軸兩側(cè)的對稱單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性.點(diǎn)評：本題通過歸納猜想證明得到了正確的結(jié)論,這是我們認(rèn)識世界發(fā)現(xiàn)問題的主要方法,這種方法的難點(diǎn)是猜想,突破路徑是尋找共同的特征.本題作為結(jié)論記住，可以提高解題速度.圖象類似于人的照片，看見人的照片就能估計(jì)這個(gè)人的身高、五官等特點(diǎn)，同樣根據(jù)函數(shù)的圖象也能觀察出函數(shù)的性質(zhì)特征.這需要有細(xì)致的觀察能力.變式訓(xùn)練函數(shù)y=f(x)滿足以下條件:定義域是R;圖象關(guān)于直線x=1對稱;在區(qū)間2,+)上是增函數(shù).試寫出函數(shù)y=f(x)的一個(gè)解析式f(x)=(只需寫出一個(gè)即可,不必考慮所有情況).活動(dòng)：根據(jù)這三個(gè)條件，畫出函數(shù)y=f(x)的圖象簡圖（只要能體現(xiàn)這三個(gè)條件即可），再根據(jù)圖象簡圖，聯(lián)系猜想基本初等函數(shù)及其圖象和已有的解題經(jīng)驗(yàn)寫出.解：定義域是R的函數(shù)解析式通常不含分式或根式，常是整式；圖象關(guān)于直線x=1對稱的函數(shù)解析式滿足：f(x)=f(2-x)，基本初等函數(shù)中有對稱軸的僅有二次函數(shù)，則由想到了二次函數(shù)；結(jié)合二次函數(shù)的圖象，在區(qū)間2,+)上是增函數(shù)說明開口必定向上，且正好滿足二次函數(shù)的對稱軸直線x=1不在區(qū)間2,+)內(nèi)，故函數(shù)的解析式可能是y=a(x-1)2+b(a>0).結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知這三條都可滿足開口向上的拋物線，故有：形如y=a(x-1)2+b(a>0)，或?yàn)閥=a|x-1|+b(a>0)等都可以，答案不唯一.知能訓(xùn)練課本P32練習(xí)2.【補(bǔ)充練習(xí)】1.利用圖象法寫出基本初等函數(shù)的單調(diào)性.解：正比例函數(shù)：y=kx(k0)當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)y=kx在定義域R上是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)y=kx在定義域R上是減函數(shù).反比例函數(shù)：y=(k0)當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,0)，(0,+)，不存在單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是(-,0)，(0,+),不存在單調(diào)遞減區(qū)間.一次函數(shù)：y=kx+b(k0)當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)y=kx+b在定義域R上是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)y=kx+b在定義域R上是減函數(shù).二次函數(shù)：y=ax2+bx+c(a0)當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,，單調(diào)遞增區(qū)間是,+)；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y=ax2+bx+c的單調(diào)遞減區(qū)間是,+)，單調(diào)遞增區(qū)間是(-,.點(diǎn)評：以上基本初等函數(shù)的單調(diào)性作為結(jié)論記住，可以提高解題速度.2.已知函數(shù)y=kx+2在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.答案：k(0,+).3.二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+m在(-,2)上是減函數(shù)，在(2,+)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.答案：a=2.4.xx年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷，8已知f(x)是定義在(0,+)上的減函數(shù)，若f(2a2+a+1)<f(3a2-4a+1)成立，則a的取值范圍是_.分析:f(x)的定義域是(0,+)，解得a<或a>1.f(x)在(0,+)上是減函數(shù)，2a2+a+1>3a2-4a+1.a2-5a<0.0<a<5.0<a<或1<a<5,即a的取值范圍是(0,)(1,5).答案：(0,)(1,5)點(diǎn)評：本題實(shí)質(zhì)是解不等式，但是這是一個(gè)不具體的不等式，是抽象不等式.解與函數(shù)有關(guān)的抽象不等式時(shí)，常用的技巧是利用函數(shù)的單調(diào)性“剝掉外衣”，轉(zhuǎn)化為整式不等式.拓展提升問題：1.畫出函數(shù)y=的圖象，結(jié)合圖象探討下列說法是否正確？（1）函數(shù)y=是減函數(shù)；（2）函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,0)(0,+).2.對函數(shù)y=,取x1=-1<x2=2，則f(x1)=-1<f(x2)=，滿足當(dāng)x1x2時(shí)f(x1)<f(x2)，說函數(shù)y=在定義域上是增函數(shù)對嗎？為什么？3.通過上面兩道題,你對函數(shù)的單調(diào)性定義有什么新的理解？解答：1.（1）是錯(cuò)誤的，從左向右看,函數(shù)y=的圖象不是下降的.（2）是錯(cuò)誤的，函數(shù)y=的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,0),(0,+).這表示在區(qū)間(-,0)(0,+)即定義域上是減函數(shù)，在定義域上函數(shù)y=的圖象，從左向右看不是下降的，因此這是錯(cuò)誤的.2.不對.這個(gè)過程看似是定義法，實(shí)質(zhì)上不是.定義中x1、x2是在某區(qū)間內(nèi)任意取的兩個(gè)值，不能用特殊值來代替.3.函數(shù)單調(diào)性定義中的x1、x2必須是任意的，應(yīng)用單調(diào)性定義解決問題時(shí)，要注意保持其任意性.點(diǎn)評：函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)在其定義域的子集上的性質(zhì)，是函數(shù)的“局部性質(zhì)”；函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)和(b,c)上均是增（減）函數(shù)，那么在區(qū)間(a,b)(b,c)上的單調(diào)性不能確定.課堂小結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)了:函數(shù)的單調(diào)性;判斷函數(shù)單調(diào)性的方法:定義法和圖象法.活動(dòng)：學(xué)生先思考或討論，再回答.教師提示、點(diǎn)撥，及時(shí)評價(jià).引導(dǎo)方法：從基本知識和基本技能兩方面來總結(jié).作業(yè)課本P39習(xí)題1.3A組2、3、4.設(shè)計(jì)感想“函數(shù)單調(diào)性”是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，以往的教學(xué)方法一般是由教師講解為主，在單調(diào)性的定義教學(xué)中，往往缺少從定性的描述到定量表示的思維過程，即缺少“意義建構(gòu)”.本設(shè)計(jì)致力于展示概念是如何生成的.在概念的發(fā)生、發(fā)展中，通過層層設(shè)問，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，突出培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，體現(xiàn)了教師是用教材教，而不是教教材.本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課,采用教師啟發(fā)引導(dǎo),學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法,通過創(chuàng)設(shè)情境,引導(dǎo)探究,師生交流,最終形成概念,獲得方法.本節(jié)課使用了多媒體投影和計(jì)算機(jī)來輔助教學(xué),為學(xué)生提供直觀感性的材料,有助于學(xué)生對問題的理解和認(rèn)識.考慮到部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點(diǎn),對判斷方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)难诱?加深對定義的理解,同時(shí)也為用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆.設(shè)計(jì)方案（二）教學(xué)過程第1課時(shí) 函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)入新課思路1.為了預(yù)測北京奧運(yùn)會(huì)開幕式當(dāng)天的天氣情況，數(shù)學(xué)興趣小組研究了xx年到xx年每年這一天的天氣情況，如圖1-3-1-7是北京市今年8月8日一天24小時(shí)內(nèi)氣溫隨時(shí)間變化的曲線圖.圖1-3-1-7問題：觀察圖1-3-1-7，能得到什么信息？(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及達(dá)到的時(shí)刻；(2)在某時(shí)刻的溫度；(3)某些時(shí)段溫度升高，某些時(shí)段溫度降低.引導(dǎo)學(xué)生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考回答.教師：在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的.歸納：用函數(shù)觀點(diǎn)看，其實(shí)這些例子反映的就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大或變小.思路2.如圖1-3-1-8所示,觀察下列各個(gè)函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：圖1-3-1-8隨x的增大，y的值有什么變化？引導(dǎo)學(xué)生回答，點(diǎn)撥提示，引出課題.設(shè)計(jì)意圖:創(chuàng)設(shè)情景，引起學(xué)生興趣.推進(jìn)新課新知探究提出問題問題:分別作出函數(shù)y=x+2,y=-x+2,y=x2,y=的圖象，并且觀察自變量變化時(shí)，函數(shù)值的變化規(guī)律.如圖1-3-1-9所示:圖1-3-1-9問題:能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)?設(shè)計(jì)意圖:從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識：直觀感知.問題:如圖1-3-1-10是函數(shù)y=x+(x>0)的圖象,能說出這個(gè)函數(shù)分別在哪個(gè)區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎？圖1-3-1-10設(shè)計(jì)意圖:使學(xué)生體會(huì)到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性.問題:如何從解析式的角度說明f(x)=x2在0,+)上為增函數(shù)？設(shè)計(jì)意圖:把對單調(diào)性的認(rèn)識由感性上升到理性的高度,完成對概念的第二次認(rèn)識.事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性的方法，為第三階段的學(xué)習(xí)作好鋪墊.問題:你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎?設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學(xué)生對定義的理解，完成對概念的第三次認(rèn)識.活動(dòng)：先讓學(xué)生思考或討論后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對回答正確的學(xué)生及時(shí)表揚(yáng)，對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.引導(dǎo)方法與過程：問題：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類描述圖象是上升的、下降的(增函數(shù)、減函數(shù))，同時(shí)明確函數(shù)的圖象變化（單調(diào)性）是對定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì).問題：這種認(rèn)識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調(diào)性的直觀、描述性的認(rèn)識.學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置.問題：通過討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時(shí)不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究.問題：對于學(xué)生錯(cuò)誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析,使學(xué)生認(rèn)識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個(gè)自變量x1、x2.問題：師生共同探究：利用不等式表示變大或變小,得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義，然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義.歸納總結(jié)：1.函數(shù)單調(diào)性的幾何意義：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)，那么在區(qū)間D上的圖象是上升的（下降的）.2.函數(shù)單調(diào)性的定義：略.可以簡稱為步調(diào)一致增函數(shù)，步調(diào)相反減函數(shù).討論結(jié)果：(1)函數(shù)y=x+2，在整個(gè)定義域內(nèi)y隨x的增大而增大；函數(shù)y=-x+2，在整個(gè)定義域內(nèi)y隨x的增大而減小.(2)函數(shù)y=x2，在0,+)上y隨x的增大而增大，在(-,0)上y隨x的增大而減小.(3)函數(shù)y=，在(0,+)上y隨x的增大而減小，在(-,0)上y隨x的增大而減小.如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們說函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為減函數(shù).不能.(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)數(shù)，例如2和3，因?yàn)?2<32，所以f(x)=x2在0,+)上為增函數(shù).(2)仿(1)，取多組數(shù)值驗(yàn)證均滿足，所以f(x)=x2在0,+)上為增函數(shù).(3)任取x1、x20,+),且x1<x2,因?yàn)閤12-x22=(x1+x2)(x1-x2)<0,即x12<x22.所以f(x)=x2在0,+)上為增函數(shù).略應(yīng)用示例思路1例1課本P29頁例1.思路分析：利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義.學(xué)生先思考或討論，再回答.點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的幾何意義.圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:畫函數(shù)的圖象；觀察圖象，利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.圖象法的難點(diǎn)是畫函數(shù)的圖象，常見畫法有描點(diǎn)法和變換法.答案：略.變式訓(xùn)練課本P32練習(xí)4.例2課本P32頁例2.思路分析：按題意，只要證明函數(shù)p=在區(qū)間（0，+）上是減函數(shù)即可，用定義證明.點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性.利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：（定義法）任取x1、x2D，且x1<x2；作差f(x1)f(x2)；變形（通常是因式分解和配方）；定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)）；下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）.易錯(cuò)分析：錯(cuò)取兩個(gè)特殊值x1、x2來證明.答案：略.變式訓(xùn)練判斷下列說法是否正確：已知f(x)=,因?yàn)閒(-1)<f(2),所以函數(shù)f(x)是增函數(shù).若函數(shù)f(x)滿足f(2)<f(3),則函數(shù)f(x)在區(qū)間2,3上為增函數(shù).若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=在區(qū)間(-,0)和(0,+)上都是減函數(shù)，所以f(x)=在(-,0)(0,+)上是減函數(shù).活動(dòng)：教師強(qiáng)調(diào)以下三點(diǎn)后,讓學(xué)生判斷.1.單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性.2.有的函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù))，有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù))，有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù)).3.函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A、B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在AB上是增（或減）函數(shù).答案：這四個(gè)判斷都是錯(cuò)誤的.思考：如何說明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)?證明一個(gè)命題成立時(shí)，需要有嚴(yán)格的邏輯推理過程，而否定一個(gè)命題只需舉一個(gè)反例即可.也就是說，只要找到兩個(gè)特殊的自變量，不符合定義就行.思路2例1證明函數(shù)f(x)=x+在(2,+)上是增函數(shù).思路分析：利用單調(diào)性的定義證明.可以利用信息技術(shù)，先畫出函數(shù)的圖象，體會(huì)一下再證明.點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性.引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論.答案：略.變式訓(xùn)練證明函數(shù)f(x)=x在0,+)上是增函數(shù).思路分析：此函數(shù)是一個(gè)具體的函數(shù)，用定義法證明.思考：除了用定義外，如果證得對任意的x1、x2(a,b)，且x1x2有分 f(x2)-f(x1)x2-x1式>0，能斷定函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)嗎?活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價(jià)性.讓學(xué)生嘗試用這種等價(jià)形式證明函數(shù)f(x)=x在0,+)上是增函數(shù).討論結(jié)果：能.例2用計(jì)算機(jī)畫出函數(shù)y=的圖象，根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間，并用定義法證明.思路分析：在圖象上觀察在哪個(gè)區(qū)間函數(shù)圖象是上升的，在哪個(gè)區(qū)間函數(shù)圖象是下降的，借助于單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間，再用定義證明.教師畫出圖象，學(xué)生回答，如果遇到障礙，就提示利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.點(diǎn)評：討論函數(shù)單調(diào)性的三部曲：第一步，畫函數(shù)的圖象；第二步，借助單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間；第三步，利用定義加以證明.答案：略.變式訓(xùn)練畫出函數(shù)y=的圖象，根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間.活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生利用變換法（也可以用計(jì)算機(jī)）畫出圖象，根據(jù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間，再利用定義法證明.答案：略.知能訓(xùn)練課本P32練習(xí)2.拓展提升試分析函數(shù)y=x+的單調(diào)性.活動(dòng)：先用計(jì)算機(jī)畫出圖象，找出單調(diào)區(qū)間，再用定義法證明.答案：略.課堂小結(jié)學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會(huì)、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗(yàn)和感受，師生合作共同完成小結(jié).(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.(2)證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論.(3)數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合.(4)函數(shù)單調(diào)性的幾何意義是:函數(shù)值的變化趨勢,即圖象是上升的或下降的.設(shè)計(jì)感想本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課，采用教師啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，通過創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法.本節(jié)課使用了多媒體投影和計(jì)算機(jī)來輔助教學(xué)，為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于學(xué)生對問題的理解和認(rèn)識.考慮到部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點(diǎn)，對判斷方法進(jìn)行適當(dāng)?shù)难诱梗由顚Χx的理解，同時(shí)也為用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆.作業(yè):課本P39習(xí)題1.3A組2、3、4.