（文理通用）2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題5 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積及體積練習(xí)

（文理通用）2022屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題5 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積及體積練習(xí)1如圖1所示，是一個(gè)棱長為2的正方體被削去一個(gè)角后所得到的幾何體的直觀圖，其中DD11，ABBCAA12，若此幾何體的俯視圖如圖2所示，則可以作為其正視圖的是( C )解析由直觀圖和俯視圖知，正視圖中點(diǎn)D1的射影是B1，所以正視圖是選項(xiàng)C中的圖形，A中少了虛線，故不正確2如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為( C )A20B24C28D32解析該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，由三視圖可知圓柱底面圓的半徑r2，底面圓的周長c2r4，圓錐的母線長l4，圓柱的高h(yuǎn)4，所以該幾何體的表面積S表r2chcl416828，故選C3(文)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( A )A12 B122 C6 D4解析由三視圖知，該幾何體是一個(gè)組合體，由一個(gè)長方體挖去一個(gè)圓柱構(gòu)成，長方體的長、寬高為4,3,1，圓柱底半徑1，高為1，體積V4×3×1×12×112.(理)若某棱錐的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該棱錐的體積等于( B )A10 cm3 B20 cm3C30 cm3 D40 cm3解析由三視圖知該幾何體是四棱錐，可視作直三棱柱ABCA1B1C1沿平面AB1C1截去一個(gè)三棱錐AA1B1C1余下的部分VABCC1B1VABCA1B1C1VAA1B1C1×4×3×5×(×4×3)×520cm3.4某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( B )A182 B20C20 D16解析由三視圖可知，這個(gè)幾何體是一個(gè)邊長為2的正方體割去了相對(duì)邊對(duì)應(yīng)的兩個(gè)半徑為1、高為1的圓柱體，其表面積相當(dāng)于正方體五個(gè)面的面積與兩個(gè)圓柱的側(cè)面積的和，即該幾何體的表面積S4×52×2×1×1×20.故選B5(2018·雙鴨山一模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為( A )A BC4 D2解析由已知幾何體的正視圖是一個(gè)正三角形，側(cè)視圖和俯視圖均為三角形，可得該幾何體有一個(gè)側(cè)面PAC垂直于底面，高為，底面是一個(gè)等腰直角三角形的三棱錐，如圖則這個(gè)幾何體的外接球的球心O在高線PD上，且是等邊三角形PAC的中心，這個(gè)幾何體的外接球的半徑RPD.則這個(gè)幾何體的外接球的表面積為S4R24×()2.6如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1EDF的體積為.解析利用三棱錐的體積公式直接求解VD1EDFVFDD1ESD1DE·AB××1×1×1.7已知E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊BC與AD的中點(diǎn)，且BC2AB2，現(xiàn)沿EF將平面ABEF折起，使平面ABEF平面EFDC，則三棱錐AFEC外接球的體積為.解析如圖，平面ABEF平面EFDC，AFEF，所以AF平面ECDF，將三棱錐AFEC補(bǔ)成正方體ABCDFECD依題意，其棱長為1，外接球的半徑R，所以外接球的體積VR3·()3.8(文)如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160°.(1)證明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的體積解析(1)取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1，A1B因?yàn)镃ACB，所以O(shè)CAB由于ABAA1，BAA160°，故AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1AB因?yàn)镺COA1O，所以AB平面OA1C又A1C平面OA1C，故ABA1C(2)由題設(shè)知ABC與AA1B都是邊長為2的等邊三角形，所以O(shè)COA1.又A1C，則A1C2OC2OA，故OA1OC因?yàn)镺CABO，所以O(shè)A1平面ABC，OA1為三棱柱ABCA1B1C1的高又ABC的面積SABC.故三棱柱ABCA1B1C1的體積VSABC×OA13.(理)如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90°.(1)證明：直線BC平面PAD；(2)若PCD的面積為2，求四棱錐PABCD的體積解析(1)證明：在平面ABCD內(nèi)，因?yàn)锽ADABC90°，所以BCAD又BC平面PAD，AD平面PAD，故BC平面PAD(2)如圖，取AD的中點(diǎn)M，連接PM，CM.由ABBCAD及BCAD，ABC90°得四邊形ABCM為正方形，則CMAD因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD因?yàn)镃M底面ABCD，所以PMCM.設(shè)BCx，則CMx，CDx，PMx，PCPD2x.如圖，取CD的中點(diǎn)N，連接PN，則PNCD，所以PNx.因?yàn)镻CD的面積為2，所以×x×x2，解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱錐PABCD的體積V××24.B組1(文)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為( D )A60 B30 C20 D10解析由三視圖畫出如圖所示的三棱錐PACD，過點(diǎn)P作PB平面ACD于點(diǎn)B，連接BA，BD，BC，根據(jù)三視圖可知底面ABCD是矩形，AD5，CD3，PB4，所以V三棱錐PACD××3×5×410.故選D(理)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為( B )A3 B2 C2 D2解析在正方體中還原該四棱錐，如圖所示，可知SD為該四棱錐的最長棱由三視圖可知正方體的棱長為2，故SD2.故選B2(2018·宜賓一模)三棱錐ABCD內(nèi)接于半徑為2的球O，BC過球心O，當(dāng)三棱錐ABCD體積取得最大值時(shí)，三棱錐ABCD的表面積為( D )A64 B82C46 D84解析由題意，BC為直徑，BCD的最大面積為×4×24，三棱錐ABCD體積最大時(shí)，AO平面BCD，三棱錐的高為2，所以三棱錐ABCD的表面積為4×22××2×84.3三棱錐PABC中，PA平面ABC且PA2，ABC是邊長為的等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為( C )A B4 C8 D20解析由題意得，此三棱錐外接球即為以ABC為底面、以PA為高的正三棱柱的外接球，因?yàn)锳BC的外接圓半徑r××1，外接球球心到ABC的外接圓圓心的距離d1，所以外接球的半徑R，所以三棱錐外接球的表面積S4R28，故選C4某四面體的三視圖如圖所示，正視圖、俯視圖都是腰長為2的等腰直角三角形，側(cè)視圖是邊長為2的正方形，則此四面體的四個(gè)面中面積最大的為( B )A2 B2 C4 D2解析如圖，四面體的直觀圖是棱長為2的正方體ABCDMNPQ中的三棱錐QBCN，且QB2，NCQNQC2，四面體QBCN各面的面積分別為SQBNSQBC×2×22，SBCN×2×22，SQCN×(2)22，面積最大為2.5三棱錐SABC及其三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則棱SB的長為( B )A2 B4 C D16解析由已知中的三視圖可得SC平面ABC，且底面ABC為等腰三角形，在ABC中AC4，AC邊上的高為2，故BC4，在RtSBC中，由SC4，可得SB4.6設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等且，則的值是.解析設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面半徑分別為r1，r2，高分別為h1，h2，則有2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，又，則()2.7已知在直角梯形ABCD中，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2，將直角梯形ABCD沿AC折疊成三棱錐DABC，當(dāng)三棱錐DABC的體積取最大值時(shí)，其外接球的體積為.解析當(dāng)平面DAC平面ABC時(shí)，三棱錐DABC的體積取最大值此時(shí)易知BC平面DAC，BCAD，又ADDC，AD平面BCD，ADBD，取AB的中點(diǎn)O，易得OAOBOCOD1，故O為所求外接球的球心，故半徑r1，體積Vr3.8(文)如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE平面ABCD(1)證明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120°，AEEC，三棱錐E_ACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積解析(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以ACBD因?yàn)锽E平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED(2)設(shè)ABx，在菱形ABCD中，由ABC120°，可得AGGCx，GBGD.因?yàn)锳EEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG為直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱錐E­ACD的體積VE­ACD×AC·GD·BEx3.故x2.從而可得AEECED.所以EAC的面積為3，EAD的面積與ECD的面積均為. 故三棱錐E­ACD的側(cè)面積為32.(理)如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF3，G和H分別是CE和CF的中點(diǎn)(1)求證：AC平面BDEF；(2)求證：平面BDGH/平面AEF；(3)求多面體ABCDEF的體積解析(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以ACBD又因?yàn)槠矫鍮DEF平面ABCD，平面BDEF平面ABCDBD，且AC平面ABCD，所以AC平面BDEF.(2)證明：在CEF中，因?yàn)镚、H分別是CE、CF的中點(diǎn)，所以GHEF，又因?yàn)镚H平面AEF，EF平面AEF，所以GH平面AEF.設(shè)ACBDO，連接OH，在ACF中，因?yàn)镺AOC，CHHF，所以O(shè)HAF，又因?yàn)镺H平面AEF，AF平面AEF，所以O(shè)H平面AEF.又因?yàn)镺HGHH，OH，GH平面BDGH，所以平面BDGH平面AEF.(3)解：由(1)，得AC平面BDEF，又因?yàn)锳O，四邊形BDEF的面積SBDEF3×26，所以四棱錐ABDEF的體積V1×AO×SBDEF4.同理，四棱錐CBDEF的體積V24.所以多面體ABCDEF的體積VV1V28.