江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 解析幾何 3.4 專題提能—“解析幾何”專題提能課達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（含解析）

江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 解析幾何 3.4 專題提能“解析幾何”專題提能課達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（含解析）1過點(diǎn)P(2，1)且傾斜角的正弦值為的直線方程為_解析：設(shè)所求直線的傾斜角為，則由題設(shè)知sin ，因?yàn)?<，所以cos ±±，所以tan ±，則所求直線方程為y1±(x2)，即5x12y220或5x12y20.答案：5x12y220或5x12y202若橢圓的短軸長為2，長軸是短軸的2倍，則橢圓的中心到其準(zhǔn)線的距離是_解析：因?yàn)槎梯S長為2，即b1，所以a2，則橢圓的中心到其準(zhǔn)線的距離是.答案：3設(shè)雙曲線的漸近線為y±x，則其離心率為_解析：由題意可得或，從而e或.答案：或4若關(guān)于x的方程 a(x1)1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：作出函數(shù)y的圖象，它是單位圓的上半部分，作出直線ya(x1)1，它是過點(diǎn)A(1,1)的直線，由圖象可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案：B組方法技巧練1已知直線l：mxy3m0與圓x2y212交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)若|AB|2，則|CD|_.解析：由直線l：mxy3m0知其過定點(diǎn)(3，)，圓心O到直線l的距離為d.由|AB|2得2()212，解得m.又直線l 的斜率為m，所以直線l的傾斜角.畫出符合題意的圖形如圖所示，過點(diǎn)C作CEBD，則DCE.在RtCDE中，可得|CD|2×4.答案：42.如圖，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0b1)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)若|AF1|3|F1B|，AF2x軸，則橢圓E的方程為_解析：設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c，則可設(shè)A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|3|F1B|，可得3，故即代入橢圓方程可得b21，解得b2，故橢圓方程為x21.答案：x2y213橢圓1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線yx的對稱點(diǎn)Q在橢圓上，則橢圓的離心率是_解析：法一：設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F1(c,0)，如圖，連結(jié)QF1，QF，設(shè)QF與直線yx交于點(diǎn)M，又題意知M為線段QF的中點(diǎn)，且OMFQ，O為線段F1F的中點(diǎn)，F(xiàn)1QOM，F(xiàn)1QQF，F(xiàn)1Q2OM.在RtMOF中，tanMOF，OFc.解得OM，MF，故QF2MF，QF12OM.由橢圓的定義QFQF12a，整理得bc，ac，故e.法二：設(shè)Q(x0，y0)，則FQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為，kFQ.依題意得解得又因?yàn)?x0，y0)在橢圓上，所以1.令e，則4e6e21，故離心率e.答案：4若橢圓1(a>b>0)上存在一點(diǎn)M，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右準(zhǔn)線距離的2倍，則橢圓離心率的最小值為_. 解析：由題意，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)焦半徑公式得，aex2，x，有aa，不等式各邊同除以a，得11，則1e2，即e23e20，又0<e<1，所以e<1，所以橢圓離心率的最小值為.答案：5已知點(diǎn)(x，y)在圓x2y21上，求x22xy3y2的最大值和最小值解：圓x2y21的參數(shù)方程為：則x22xy3y2cos2 2sin cos 3sin2 sin 23×2sin 2cos 22sin，則當(dāng)22k，即k(kZ)時(shí)，x22xy3y2取得最大值，為2；當(dāng)22k，即k(kZ)時(shí)，x22xy3y2取得最小值，為2.6.設(shè)橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)D在橢圓上，DF1F1F2，2，DF1F2的面積為，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2a2b2.由2，得|DF1|c.從而SDF1F2|DF1|·|F1F2|c2，故c1.從而|DF1|.由DF1F1F2，得|DF2|2|DF1|2|F1F2|2，因此|DF2|，所以2a|DF1|DF2|2，故a，b2a2c21.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.C組創(chuàng)新應(yīng)用練1設(shè)mR，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線xmy0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mxym30交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是_解析：易求定點(diǎn)A(0,0)，B(1,3)當(dāng)P與A和B均不重合時(shí)，不難驗(yàn)證PAPB，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|·|PB|5(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|PB|時(shí)，等號(hào)成立)，當(dāng)P與A或B重合時(shí)，|PA|·|PB|0，故|PA|·|PB|的最大值是5.答案：52已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左、右頂點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，且PFx軸過點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E.若直線BM經(jīng)過OE的中點(diǎn)，則C的離心率為_解析：如圖所示，由題意得A(a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(c,0)設(shè)E(0，m)，由PFOE，得，則|MF|.又由OEMF，得，則|MF|.由得ac(ac)，即a3c，e.答案：3設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓O：x2y21上存在點(diǎn)N，使得OMN45°，則x0的取值范圍是_解析：依題意，直線MN與圓O有公共點(diǎn)即可，即圓心O到直線MN的距離小于等于1即可，過O作OAMN，垂足為A，在RtOMA中，因?yàn)镺MA45°，故|OA|OM|sin 45°|OM|1，所以|OM|，則，解得1x11.答案：1,14已知橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|2c，若橢圓上存在點(diǎn)M使得，則該橢圓離心率的取值范圍為_解析：在MF1F2中，而，.又M是橢圓1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，|MF1|MF2|2a.由得，|MF1|，|MF2|.顯然|MF2|>|MF1|，ac<|MF2|<ac，即ac<<ac，整理得c22aca2>0，e22e1>0，又0<e<1，1<e<1.答案：(1,1)5已知橢圓C：1(a>b>0)，四點(diǎn)P1(1,1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三點(diǎn)在橢圓C上(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)若直線P2A與直線P2B的斜率的和為1，證明：l過定點(diǎn)解：(1)由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過P3，P4兩點(diǎn)又由>知，橢圓C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在橢圓C上因此解得故橢圓C的方程為y21.(2)證明：設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.如果l與x軸垂直，設(shè)l：xt，由題設(shè)知t0，且|t|<2，可得A，B的坐標(biāo)分別為，.則k1k21，得t2，不符合題設(shè)從而可設(shè)l：ykxm(m1)將ykxm代入y21得(4k21)x28kmx4m240.由題設(shè)可知16(4k2m21)>0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2.而k1k2.由題設(shè)k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.即(2k1)·(m1)·0.解得k.當(dāng)且僅當(dāng)m>1時(shí)，>0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l過定點(diǎn)(2，1)6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的中心在原點(diǎn)O，右焦點(diǎn)F在x軸上，橢圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)，其右準(zhǔn)線l與x軸交于T點(diǎn)，直線BF交橢圓于C點(diǎn)，P為橢圓上弧AC上的一點(diǎn)(1)求證：A，C，T三點(diǎn)共線；(2)如果3，四邊形APCB的面積最大值為，求此時(shí)橢圓的方程和P點(diǎn)坐標(biāo)解：(1)證明：設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，則A(0，b)，B(0，b)，T，AT：1，BF：1，聯(lián)立，解得交點(diǎn)C，代入得：1.滿足式，則C點(diǎn)在橢圓上，A，C，T三點(diǎn)共線(2)過C作CEx軸，垂足為E(圖略)，則OBFECF.3，CEb，EFc，則C，代入得：1，a22c2，b2c2.設(shè)P(x0，y0)，則x02y2c2，此時(shí)C，ACc，SABC·2c·c2，直線AC的方程為x2y2c0，點(diǎn)P到直線AC的距離為d，SAPCd·AC··c·c.只需求x02y0的最大值(x02y0)2x4y2·2x0y0x4y2(xy)3(x2y)6c2，x02y0c，當(dāng)且僅當(dāng)x0y0c時(shí)，(x02y0)maxc.四邊形的面積最大值為c2c2c2，c21，a22，b21，此時(shí)橢圓方程為y21，P點(diǎn)坐標(biāo).