江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 應(yīng)用題達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（含解析）

江蘇省2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 應(yīng)用題達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（含解析）1.在一個(gè)矩形體育館的一角MAN內(nèi)(如圖所示)，用長(zhǎng)為a的圍欄設(shè)置一個(gè)運(yùn)動(dòng)器材儲(chǔ)存區(qū)域，已知B是墻角線AM上的一點(diǎn)，C是墻角線AN上的一點(diǎn)(1)若BCa10，求儲(chǔ)存區(qū)域ABC面積的最大值；(2)若ABAC10，在折線MBCN內(nèi)選一點(diǎn)D，使DBDCa20，求儲(chǔ)存區(qū)域四邊形DBAC面積的最大值解：(1)設(shè)ABx，則AC ，所以SABCx ×5025，當(dāng)且僅當(dāng)x2100x2，即x5時(shí)取等號(hào)，所以SABC取得最大值為25.(2)由DBDC20知點(diǎn)D在以B，C為焦點(diǎn)的橢圓上因?yàn)镾ABC×10×1050，所以要使四邊形DBAC的面積最大，只需DBC的面積最大，此時(shí)點(diǎn)D到BC的距離最大，即D必為橢圓短軸頂點(diǎn)由BC10得短半軸長(zhǎng)為5，所以SDBC的最大值為×10×550.因此四邊形DBAC面積的最大值為100.2.某地?cái)M建一座長(zhǎng)為640米的大橋AB，假設(shè)橋墩等距離分布，經(jīng)設(shè)計(jì)部門測(cè)算，兩端橋墩A，B造價(jià)總共為100萬元，當(dāng)相鄰兩個(gè)橋墩的距離為x米時(shí)(其中64<x<100)，中間每個(gè)橋墩的平均造價(jià)為 萬元，橋面每1米長(zhǎng)的平均造價(jià)為萬元(1)試將橋的總造價(jià)表示為x的函數(shù)f(x)；(2)為使橋的總造價(jià)最低，試問這座大橋中間(兩端橋墩A，B除外)應(yīng)建多少個(gè)橋墩？解：(1)由橋的總長(zhǎng)為640米，相鄰兩個(gè)橋墩的距離為x米，知中間共有個(gè)橋墩，于是橋的總造價(jià)f(x)640100，即f(x)xxx1 380xxx1 380(64<x<100)(2)由(1)可求f(x)xxx，整理得f(x)x (9x280x640×80)，由f(x)0，解得x180，x2(舍)，又當(dāng)x(64,80)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(80,100)時(shí)，f(x)>0，所以當(dāng)x80時(shí)，橋的總造價(jià)最低，此時(shí)橋墩數(shù)為17.3如圖所示，有兩條道路OM與ON，MON60°，現(xiàn)要鋪設(shè)三條下水管道OA，OB，AB(其中A，B分別在OM，ON上)，若下水管道的總長(zhǎng)度為3 km.設(shè)OAa km，OBb km.(1)求b關(guān)于a的函數(shù)表達(dá)式，并指出a的取值范圍；(2)已知點(diǎn)P處有一個(gè)污水總管的接口，點(diǎn)P到OM的距離PH為 km，到點(diǎn)O的距離PO為 km，問下水管道AB能否經(jīng)過污水總管的接口點(diǎn)P？若能，求出a的值，若不能，請(qǐng)說明理由解：(1)OAOBAB3，AB3ab.MON60°，由余弦定理，得AB2a2b22abcos 60°.(3ab)2a2b2ab.整理，得b.由a>0，b>0,3ab>0，及ab>3ab，a3ab>b，b3ab>a，得0<a<.綜上，b，0<a<.(2)以O(shè)為原點(diǎn)，OM為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系PH，PO，點(diǎn)P.假設(shè)AB過點(diǎn)P，A(a,0)，B，即B，直線AP方程為y(xa)，即y(xa)將點(diǎn)B代入，得·.化簡(jiǎn)，得6a210a30.a.a.答：下水管道AB能經(jīng)過污水總管的接口點(diǎn)P，此時(shí)a (km)4(2018·南京、鹽城二模)在一張足夠大的紙板上截取一個(gè)面積為3 600平方厘米的矩形紙板ABCD，然后在矩形紙板的四個(gè)角上切去邊長(zhǎng)相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體紙盒(如圖)設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長(zhǎng)分別為a厘米和b厘米，其中ab.(1)當(dāng)a90時(shí)，求紙盒側(cè)面積的最大值；(2)試確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值解：(1)因?yàn)榫匦渭埌錋BCD的面積為3 600，故當(dāng)a90時(shí)，b40，從而包裝盒子的側(cè)面積S2×x(902x)2×x(402x)8x2260x，x(0,20)因?yàn)镾8x2260x8(x16.25)22 112.5，故當(dāng)x16.25時(shí)，紙盒側(cè)面積最大，最大值為2 112.5平方厘米(2)包裝盒子的體積V(a2x)(b2x)xxab2(ab)x4x2，x，b60. Vxab2(ab)x4x2x(ab4x4x2)x(3 600240x4x2)4x3240x23 600x，當(dāng)且僅當(dāng)ab60時(shí)等號(hào)成立設(shè)f(x)4x3240x23 600x，x(0,30)則f(x)12(x10)(x30)于是當(dāng)0x10時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(0,10)上單調(diào)遞增；當(dāng)10x30時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(10,30)上單調(diào)遞減因此當(dāng)x10時(shí)，f(x)有最大值f(10)16 000，此時(shí)ab60，x10.答：當(dāng)ab60，x10時(shí)紙盒的體積最大，最大值為16 000立方厘米B組大題增分練1(2018·常州期末)已知小明(如圖中AB所示)身高1.8米，路燈OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分別與地面交于點(diǎn)A，O.點(diǎn)光源從M發(fā)出，小明在地面上的影子記作AB.(1)小明沿著圓心為O，半徑為3米的圓周在地面上走一圈，求AB掃過的圖形面積；(2)若OA3米，小明從A出發(fā)，以1米/秒的速度沿線段AA1走到A1，OAA1，且AA110米，如圖所示t秒時(shí)，小明在地面上的影子長(zhǎng)度記為f(t)(單位：米)，求f(t)的表達(dá)式與最小值解： (1) 由題意ABOM，OA3，所以O(shè)B6.小明在地面上的身影AB掃過的圖形是圓環(huán)，其面積為×62×3227(平方米)(2) 經(jīng)過t秒，小明走到了A0處，身影為A0B0，由(1)知，所以f(t)A0B0OA0，化簡(jiǎn)得f(t) ，0<t10，當(dāng)t時(shí)，f(t)的最小值為.答：f(t) ，0<t10，當(dāng)t(秒)時(shí)，f(t)的最小值為(米)2.(2018·南通、泰州一調(diào))如圖，某機(jī)械廠要將長(zhǎng)6 m，寬2 m的長(zhǎng)方形鐵皮ABCD進(jìn)行裁剪已知點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，裁剪時(shí)先將四邊形CDFE沿直線EF翻折到MNFE處(點(diǎn)C，D分別落在直線BC下方點(diǎn)M，N處，F(xiàn)N交邊BC于點(diǎn)P)，再沿直線PE裁剪(1)當(dāng)EFP時(shí)，試判斷四邊形MNPE的形狀，并求其面積；(2)若使裁剪得到的四邊形MNPE面積最大，請(qǐng)給出裁剪方案，并說明理由解：(1)當(dāng)EFP時(shí)，由條件得EFPEFDFEP，所以FPE，即FNBC，所以四邊形MNPE為矩形，此時(shí)PNFNPF321 (m)，所以四邊形MNPE的面積SPN·MN2(m2). (2)法一：設(shè)EFD，由條件，知EFPEFDFEP.所以PF，NPNFPF3，ME3.由得所以四邊形MNPE面積為S(NPME)MN×266662 62.當(dāng)且僅當(dāng)tan ，即tan ，時(shí)取“”此時(shí)，(*)成立答：當(dāng)EFD時(shí)，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE的面積最大，最大值為m2. 法二：設(shè)BEt m,3<t<6，則ME6t.因?yàn)镋FPEFDFEP，所以PEPF，即 tBP.所以BP，NP3PF3PE3(tBP)3t. 由得所以四邊形MNPE面積為S(NPME)MN×2662.當(dāng)且僅當(dāng)(t3)，即t33時(shí)取“”. 此時(shí)，(*)成立答：當(dāng)點(diǎn)E距B點(diǎn)3 m時(shí)，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE的面積最大，最大值為(62)m2.3.(2018·揚(yáng)州期末)如圖，射線OA和OB均為筆直的公路，扇形OPQ區(qū)域(含邊界)是一蔬菜種植園，其中P，Q分別在射線OA和OB上經(jīng)測(cè)量得，扇形OPQ的圓心角(即POQ)為、半徑為1千米，為了方便菜農(nóng)經(jīng)營(yíng)，打算在扇形OPQ區(qū)域外修建一條公路MN，分別與射線OA，OB交于M，N兩點(diǎn)，并要求MN與扇形弧相切于點(diǎn)S.設(shè)POS(單位：弧度)，假設(shè)所有公路的寬度均忽略不計(jì)(1) 試將公路MN的長(zhǎng)度表示為的函數(shù)，并寫出的取值范圍；(2) 試確定的值，使得公路MN的長(zhǎng)度最小，并求出其最小值解：(1) 因?yàn)镸N與扇形弧相切于點(diǎn)S，所以O(shè)SMN.在RtOSM中，因?yàn)镺S1，MOS，所以SMtan .在RtOSN中，NOS，所以SNtan，所以MNtan tan，其中<<.(2) 法一：(基本不等式) 因?yàn)?lt;<，所以tan 1>0.令ttan 1>0，則tan (t1)，所以MN.由基本不等式得MN·2，當(dāng)且僅當(dāng)t，即t2時(shí)取“”此時(shí)tan ，由于<<，故.答：當(dāng)時(shí)，MN的長(zhǎng)度最小，為2千米法二：(三角函數(shù)) MN.因?yàn)?lt;<，所以<2<，故<sin1，所以當(dāng)sin1，即時(shí)，MNmin2.答：當(dāng)時(shí)，MN的長(zhǎng)度最小，為2千米4.如圖，某城市有一塊半徑為1(單位：百米)的圓形景觀，圓心為C，有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路最初規(guī)劃在拐角處(圖中陰影部分)只有一塊綠化地，后來有眾多市民建議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返兩條道路規(guī)劃部門采納了此建議，決定在綠化地中增建一條與圓C相切的小道AB.問：A，B兩點(diǎn)應(yīng)選在何處可使得小道AB最短？解：法一：如圖，分別由兩條道路所在直線建立直角坐標(biāo)系xOy，則C(1,1)設(shè)A(a,0)，B(0，b)(0a1,0b1)，則直線AB方程為1，即bxayab0.因?yàn)锳B與圓C相切，所以1.化簡(jiǎn)得ab2(ab)20，即ab2(ab)2.因此AB .因?yàn)?a1,0b1，所以0ab2，于是AB2(ab)又ab2(ab)22，解得0ab42，或ab42(舍去)所以AB2(ab)2(42)22，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)取等號(hào)，所以AB最小值為22，此時(shí)ab2.故當(dāng)A，B兩點(diǎn)離道路的交點(diǎn)都為2(百米)時(shí)，小道AB最短法二：如圖，設(shè)圓C與道路1，道路2，AB的切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，D，連結(jié)CE，CA，CD，CB，CF.設(shè)DCE，則DCF.在RtCDA中，ADtan.在RtCDB中，BDtan.所以ABADBDtantantan.令ttan，0t1，則ABf(t)tt1222，當(dāng)且僅當(dāng)t1時(shí)取等號(hào)所以AB最小值為22，此時(shí)A，B兩點(diǎn)離兩條道路交點(diǎn)的距離是1(1)2.故當(dāng)A，B兩點(diǎn)離道路的交點(diǎn)都為2(百米)時(shí)，小道AB最短