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2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課下層級訓(xùn)練38 空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系(含解析)文 新人教A版

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2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課下層級訓(xùn)練38 空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系(含解析)文 新人教A版

2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課下層級訓(xùn)練38 空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系(含解析)文 新人教A版1在下列命題中,不是公理的是()A平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面C如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線A選項(xiàng)A是由公理推證出來的,而公理是不需要證明的2(2019·甘肅蘭州統(tǒng)考)已知直線m,n和平面,則mn的一個(gè)必要條件是()Am,nBm,nCm,n Dm,n與平面成等角DA中,m,n可以都和平面垂直,必要性不成立;B中,m,n可以都和平面平行,必要性不成立;C中,n不一定在平面內(nèi),必要性不成立;D中,m,n平行,則m,n與成的角一定相等,但反之如果兩直線m,n與成的角相等則不一定平行,所以是必要非充分條件3正方體A1C中,E,F(xiàn)分別是線段BC,CD1的中點(diǎn),則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是()A相交B異面C平行D垂直A如圖所示,直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1,EF平面A1BCD1,且兩直線不平行,故兩直線相交4以下四個(gè)命題中,不共面的四點(diǎn)中,其中任意三點(diǎn)不共線;若點(diǎn)A,B,C,D共面,點(diǎn)A,B,C,E共面,則點(diǎn)A,B,C,D,E共面;若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面;依次首尾相接的四條線段必共面正確命題的個(gè)數(shù)是()A0B1C2 D3B顯然是正確的;中若A,B,C三點(diǎn)共線,則A,B,C,D,E五點(diǎn)不一定共面;中構(gòu)造長方體(或正方體),如圖所示,顯然b,c異面,故不正確;中空間四邊形中四條線段不共面,故只有正確5如圖,直三棱柱ABC­A1B1C1中,BCA90°,點(diǎn)D1,F(xiàn)1分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),若BCCACC11,則 BD1與AF1所成角的余弦值為()ABC DA取BC的中點(diǎn)E,連接EF1,EA,則可知EF1A為BD1與AF1所成的角,在AEF1中,可求得F1E,AF1,AE,由余弦定理得,cosEF1A.6若平面,相交,在,內(nèi)各取兩點(diǎn),這四點(diǎn)都不在交線上,這四點(diǎn)能確定_個(gè)平面1或4如果這四點(diǎn)在同一平面內(nèi),那么確定一個(gè)平面;如果這四點(diǎn)不共面,則任意三點(diǎn)可確定一個(gè)平面,所以可確定四個(gè)平面7如圖為正方體表面的一種展開圖,則圖中的AB,CD,EF,GH在原正方體中互為異面直線的有_對3平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對位置的變化,則AB,CD,EF和GH在原正方體中,顯然AB與CD,EF與GH,AB與GH都是異面直線,而AB與EF相交,CD與GH相交,CD與EF平行故互為異面直線的有3對8如圖,已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形,C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn),C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn),那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為_.取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D,連接C1D,AD,因?yàn)镃是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn),所以ADBC,所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角因?yàn)镃1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn),所以C1D圓柱下底面,所以C1DAD,因?yàn)閳A柱的軸截面ABB1A1是正方形,所以C1DAD,所以直線AC1與AD所成角的正切值為,所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.9如圖,在正方體ABCD ­A1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,CC1的中點(diǎn),求異面直線A1M與DN所成的角的大小解如圖,連接D1M,可證D1MDN.又A1D1DN,A1D1,MD1平面A1MD1,A1D1MD1D1,DN平面A1MD1,DNA1M,即異面直線A1M與DN所成的夾角為90°.10如圖,在三棱錐P ­ABC中,PA底面ABC,D是PC的中點(diǎn)已知BAC,AB2,AC2,PA2. 求:(1)三棱錐P­ABC的體積;(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值解(1)SABC×2×22,三棱錐P­ABC的體積為VSABC·PA×2×2.(2)如圖,取PB的中點(diǎn)E,連接DE,AE,則EDBC,所以ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角在ADE中,DE2,AE,AD2,cosADE.故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.B級能力提升訓(xùn)練11(2019·福建福州質(zhì)檢)直三棱柱ABC ­A1B1C1中,若BAC90°,ABACAA1,則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A30°B45°C60° D90°C如圖,延長CA到點(diǎn)D,使得ADAC,連接DA1,BD,則四邊形ADA1C1為平行四邊形,所以DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角又A1DA1BDB,所以A1DB為等邊三角形,所以DA1B60°.12(2016·全國卷)平面過正方體ABCD­A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,平面CB1D1,平面ABCDm,平面ABB1A1n,則m,n所成角的正弦值為()ABC DA設(shè)平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1,m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1,且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1,B1D1m1.B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1,且平面CB1D1平面DCC1D1CD1,同理可證CD1n.因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角在正方體ABCD­A1B1C1D1中,CB1D1是正三角形,故直線B1D1與CD1所成角為60°,其正弦值為.13設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1,和a,且長為a的棱與長為的棱異面,則a的取值范圍是_.0<a<構(gòu)造四面體ABCD,使ABa,CD,ADACBCBD1,取CD的中點(diǎn)E,則AEBE,所以>a,所以0<a<.14如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖,G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點(diǎn),在這個(gè)正四面體中,GH與EF平行;BD與MN為異面直線;GH與MN成60°角;DE與MN垂直以上四個(gè)命題中,正確命題的序號是_.把正四面體的平面展開圖還原,如圖所示,GH與EF為異面直線,BD與MN為異面直線,GH與MN成60°角,DEMN.15如圖所示,三棱錐P­ABC中, PA平面ABC,BAC60°,PAABAC2,E是PC的中點(diǎn)(1)求證AE與PB是異面直線;(2)求異面直線AE與PB所成角的余弦值(1)證明假設(shè)AE與PB共面,設(shè)平面為,A,B,E,平面即為平面ABE,P平面ABE,這與P平面ABE矛盾,所以AE與PB是異面直線(2)解取BC的中點(diǎn)F,連接EF,AF,則EFPB,所以AEF(或其補(bǔ)角)就是異面直線AE與PB所成的角BAC60°,PAABAC2,PA平面ABC,AF,AE,EF,cosAEF,故異面直線AE與PB所成角的余弦值為.16如圖所示,在三棱柱ABC ­A1B1C1中,底面是邊長為2的正三角形,側(cè)棱A1A底面ABC,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是棱CC1,BB1上的點(diǎn),點(diǎn)M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn),EC2FB2.(1)當(dāng)點(diǎn)M在何位置時(shí),BM平面AEF?(2)若BM平面AEF,判斷BM與EF的位置關(guān)系,說明理由;并求BM與EF所成的角的余弦值解(1)方法一如圖所示,取AE的中點(diǎn)O,連接OF,過點(diǎn)O作OMAC于點(diǎn)M.因?yàn)閭?cè)棱A1A底面ABC,所以側(cè)面A1ACC1底面ABC又因?yàn)镋C2FB2,所以O(shè)MECFB且OMECFB,所以四邊形OMBF為矩形,BMOF.因?yàn)镺F平面AEF,BM平面AEF,故BM平面AEF,此時(shí)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)方法二如圖所示,取EC的中點(diǎn)P,AC的中點(diǎn)Q,連接PQ,PB,BQ.因?yàn)镋C2FB2,所以PEBF,所以PQAE,PBEF,所以PQ平面AFE,PB平面AEF,因?yàn)镻BPQP,PB平面PBQ,PQ 平面PBQ,所以平面PBQ平面AEF.又因?yàn)锽Q平面PBQ, 所以BQ平面AEF.故點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)M,此時(shí)點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)(2)由(1)知,BM與EF異面,OFE(或MBP)就是異面直線BM與EF所成的角或其補(bǔ)角易求AFEF,MBOF,OFAE,所以cosOFE,所以BM與EF所成的角的余弦值為.

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