2022高考數(shù)學二輪復習 專題一 集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導數(shù) 第四講 不等式教案 理

2022高考數(shù)學二輪復習 專題一 集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導數(shù) 第四講 不等式教案 理年份卷別考查角度及命題位置命題分析2018卷線性規(guī)劃求最值·T131.選擇、填空題中的考查以簡單的線性規(guī)劃與不等式性質為主，重點求目標函數(shù)的最值，有時也與其他知識交匯考查2.基本不等式求最值及應用在課標卷考試中是低頻點，很少考查3.不等式的解法多與集合、函數(shù)、解析幾何、導數(shù)交匯考查.卷線性規(guī)劃求最值·T142017卷線性規(guī)劃求最值·T14卷線性規(guī)劃求最值·T5卷線性規(guī)劃求最值·T132016卷一元二次不等式的解法、集合的交集運算·T1不等式比較大小、函數(shù)的單調性·T8線性規(guī)劃的實際應用·T16卷一元二次不等式的解法、集合的并集運算·T2卷一元二次不等式的解法、集合的交集運算·T1不等式比較大小、函數(shù)的單調性·T6線性規(guī)劃求最值·T13悟通方法結論1一元二次不等式ax2bxc>0(或<0)(a0，b24ac>0)，如果a與ax2bxc同號，則其解集在兩根之外；如果a與ax2bxc異號，則其解集在兩根之間簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間2解簡單的分式、指數(shù)、對數(shù)不等式的基本思想是利用相關知識轉化為整式不等式(一般為一元二次不等式)求解3解含參數(shù)不等式要正確分類討論全練快速解答1(2018·深圳一模)已知a>b>0，c<0，下列不等關系中正確的是()Aac>bcBac>bcCloga(ac)>logb(bc)D.>解析：法一：(性質推理法)A項，因為a>b，c<0，由不等式的性質可知ac<bc，故A不正確；B項，因為c<0，所以c>0，又a>b>0，由不等式的性質可得ac>bc>0，即>>0，再由反比例函數(shù)的性質可得ac<bc，故B不正確；C項，若a，b，c，則loga(ac) 10，logb(bc) > 10，即loga(ac)<logb(bc)，故C不正確；D項，因為a>b>0，c<0，所以ac>bc>0，ba<0，所以>0，即>0，所以>，故D正確綜上，選D.法二：(特值驗證法)由題意，不妨取a4，b2，c2.則A項，ac8，bc4，所以ac<bc，排除A；B項，ac42，bc22，所以ac<bc，排除B；C項，loga(ac)log4(42)log4 6，logb(bc)log2(22)2，顯然log4 6<2，即loga(ac)<logb(bc)，排除C.綜上，選D.答案：D2(2018·湖南四校聯(lián)考)已知不等式mx2nx<0的解集為，則mn()A.BC.D1解析：由題意得，x和x2是方程mx2nx0的兩根，所以2且×2(m<0)，解得m1，n，所以mn.答案：B3不等式x2的解集是()A(，0(2,4B0,2)4，)C2,4)D(，2(4，)解析：當x2>0，即x>2時，不等式可化為(x2)24，所以x4；當x2<0，即x<2時，不等式可化為(x2)24，所以0x<2.綜上，不等式的解集是0,2)4，)答案：B4已知x(，1，不等式12x(aa2)·4x>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A.B.C.D.解析：根據(jù)題意，由于12x(aa2)·4x>0對于一切的x(，1恒成立，令2xt(0<t2)，則可知1t(aa2)t2>0aa2>，故只要求解h(t)(0<t2)的最大值即可，h(t)2，又，結合二次函數(shù)圖象知，當，即t2時，h(x)取得最大值，即aa2>，所以4a24a3<0，解得<a<，故實數(shù)a的取值范圍為.答案：C5設函數(shù)f(x)則使得f(x)1成立的x的取值范圍是_解析：由得0x9，由得1x<0，故使得f(x)1成立的x的取值范圍是1,9答案：1,91明確解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化為一般形式ax2bxc>0(a>0)，再結合相應二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集(2)含指數(shù)、對數(shù)的不等式：利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性將其轉化為整式不等式求解2掌握不等式恒成立問題的解題方法(1)f(x)>a對一切xI恒成立f(x)min>a；f(x)<a對一切xI恒成立f(x)max<a.(2)f(x)>g(x)對一切xI恒成立f(x)的圖象在g(x)的圖象的上方(3)解決恒成立問題還可以利用分離參數(shù)法，一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)利用分離參數(shù)法時，常用到函數(shù)單調性、基本不等式等基本不等式授課提示：對應學生用書第10頁悟通方法結論求最值時要注意三點：“一正”“二定”“三相等”所謂“一正”指正數(shù)，“二定”是指應用定理求最值時，和或積為定值，“三相等”是指等號成立全練快速解答1(2018·長春模擬)已知x>0，y>0，且4xyxy，則xy的最小值為()A8 B9C12D16解析：由4xyxy得1，則xy(xy)·14259，當且僅當，即x3，y6時取“”，故選B.答案：B2(2017·高考天津卷)若a，bR，ab>0，則的最小值為_解析：因為ab>0，所以4ab24，當且僅當時取等號，故的最小值是4.答案：43(2017·高考江蘇卷)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是_解析：由題意，一年購買次，則總運費與總存儲費用之和為×64x48240，當且僅當x30時取等號，故總運費與總存儲費用之和最小時x的值是30.答案：30掌握基本不等式求最值的3種解題技巧(1)湊項：通過調整項的符號，配湊項的系數(shù)，使其積或和為定值(2)湊系數(shù)：若無法直接運用基本不等式求解，通過湊系數(shù)后可得到和或積為定值，從而可利用基本不等式求最值(3)換元：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開，即化為ymBg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值 簡單的線性規(guī)劃問題授課提示：對應學生用書第10頁悟通方法結論平面區(qū)域的確定方法解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結合找到目標函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準確，整點問題要驗證解決全練快速解答1(2017·高考全國卷)設x，y滿足約束條件則zxy的取值范圍是()A3,0B3,2C0,2D0,3解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線l0：yx，平移直線l0，當直線zxy過點A(2,0)時，z取得最大值2，當直線zxy過點B(0,3)時，z取得最小值3，所以zxy的取值范圍是3,2答案：B2已知平面上的單位向量e1與e2 的起點均為坐標原點O，它們的夾角為.平面區(qū)域D由所有滿足e1e2的點P組成，其中那么平面區(qū)域D的面積為()A.B.C.D.解析：建立如圖所示的平面直角坐標系，不妨令單位向量e1(1,0)，e2，設向量(x，y)，因為e1e2，所以即因為所以表示的平面區(qū)域D如圖中陰影部分所示，所以平面區(qū)域D的面積為，故選D.答案：D3(2018·福州模擬)某工廠制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工兩道工序已知生產(chǎn)一把椅子需要木工4個工作時，漆工2個工作時；生產(chǎn)一張桌子需要木工8個工作時，漆工1個工作時生產(chǎn)一把椅子的利潤為1 500元，生產(chǎn)一張桌子的利潤為2 000元該廠每個月木工最多完成8 000個工作時、漆工最多完成1 300個工作時根據(jù)以上條件，該廠安排生產(chǎn)每個月所能獲得的最大利潤是_元解析：設該廠每個月生產(chǎn)x把椅子，y張桌子，利潤為z元，則得約束條件畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，畫出直線3x4y0，平移該直線，可知當該直線經(jīng)過點P時，z取得最大值由得即P(200,900)，所以zmax1 500×2002 000×9002 100 000.故每個月所獲得的最大利潤為2 100 000元答案：2 100 000解決線性規(guī)劃問題的3步驟練通即學即用1(2018·湘東五校聯(lián)考)已知實數(shù)x，y滿足且zxy的最大值為6，則(x5)2y2的最小值為()A5B3C.D.解析：作出不等式組 表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由zxy，得yxz，平移直線yx，由圖形可知當直線yxz經(jīng)過點A時，直線yxz的縱截距最大，此時z最大，最大值為6，即xy6.由得A(3,3)，直線yk過點A，k3.(x5)2y2的幾何意義是可行域內的點與D(5,0)的距離的平方，數(shù)形結合可知，(5,0)到直線x2y0的距離最小，可得(x5)2y2的最小值為25.故選A.答案：A2已知變量x，y滿足約束條件記z4xy的最大值是a，則a_.解析：如圖所示，變量x，y滿足的約束條件的可行域如圖中陰影部分所示作出直線4xy0，平移直線，知當直線經(jīng)過點A時，z取得最大值，由解得所以A(1，1)，此時z4×113，故a3.答案：33(2018·高考全國卷)若x、y滿足約束條件則z3x2y的最大值為_解析：作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分所示由z3x2y得yx.作直線l0：yx.平移直線l0，當直線yx過點(2,0)時，z取最大值，zmax3×22×06.答案：6授課提示：對應學生用書第118頁一、選擇題1已知互不相等的正數(shù)a，b，c滿足a2c22bc，則下列等式中可能成立的是()Aa>b>cBb>a>cCb>c>aDc>a>b解析：若a>b>0，則a2c2>b2c22bc，不符合條件，排除A，D；又由a2c22c(bc)得ac與bc同號，排除C；當b>a>c時，a2c22bc有可能成立，例如：取a3，b5，c1.故選B.答案：B2已知b>a>0，ab1，則下列不等式中正確的是()Alog3a>0B3ab<Clog2alog2b<2D36解析：對于A，由log3a>0可得log3a>log31，所以a>1，這與b>a>0，ab1矛盾，所以A不正確；對于B，由3ab<可得3ab<31，所以ab<1，可得a1<b，這與b>a>0，ab1矛盾，所以B不正確；對于C，由log2alog2b<2可得log2(ab)<2log2，所以ab<，又b>a>0，ab1>2，所以ab<，兩者一致，所以C正確；對于D，因為b>a>0，ab1，所以3>3×26, 所以D不正確，故選C.答案：C3在R上定義運算：xyx(1y)若不等式(xa)(xb)>0的解集是(2,3)，則ab()A1B2C4D8解析：由題知(xa)(xb)(xa)1(xb)>0，即(xa)x(b1)<0，由于該不等式的解集為(2,3)，所以方程(xa)x(b1)0的兩根之和等于5，即ab15，故ab4.答案：C4已知aR，不等式1的解集為P，且2P，則a的取值范圍為()A(3，)B(3,2)C(，2)(3，)D(，3)2，)解析：2P，<1或2a0，解得a2或a<3.答案：D5已知x，y滿足則z8x·y的最小值為()A1B.C.D.解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，而z8x·y23xy，欲使z最小，只需使3xy最小即可由圖知當x1，y2時，3xy的值最小，且3×125，此時23xy最小，最小值為.故選D.答案：D6設函數(shù)f(x)則不等式f(x)>f(1)的解集是()A(3,1)(3，)B(3,1)(2，)C(1,1)(3，)D(，3)(1,3)解析：由題意得，f(1)3，所以f(x)>f(1)，即f(x)>3.當x<0時，x6>3，解得3<x<0；當x0時，x24x6>3，解得x>3或0x<1.綜上，不等式的解集為(3,1)(3，)答案：A7已知實數(shù)x，y滿足如果目標函數(shù)z3x2y的最小值為0，則實數(shù)m等于()A4B3C6D5解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由圖可知，當目標函數(shù)z3x2y所對應的直線經(jīng)過點A時，z取得最小值0.由求得A.故z的最小值為3×2×，由題意可知0，解得m5.答案：D8若對任意正實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為()A1B.C.D.解析：因為，即a，而(當且僅當x1時取等號)，所以a.答案：C9(2018·太原一模)已知實數(shù)x，y滿足條件則zx2y2的取值范圍為()A1,13B1,4C.D.解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由此得zx2y2的最小值為點O到直線BC：2xy20的距離的平方，所以zmin2，最大值為點O與點A(2,3)的距離的平方，所以zmax|OA|213，故選C.答案：C10(2018·衡水二模)若關于x的不等式x24ax3a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，則x1x2的最小值是()A.B.C.D.解析：關于x的不等式x24ax3a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，16a212a24a2>0，又x1x24a，x1x23a2，x1x24a4a2，當且僅當a時取等號x1x2的最小值是.答案：C11某旅行社租用A，B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為()A31 200元B36 000元C36 800元D38 400元解析：設租用A型車x輛，B型車y輛，目標函數(shù)為z1 600x2 400y，則約束條件為作出可行域如圖中陰影部分所示，可知目標函數(shù)過點A(5,12)時，有最小值zmin36 800(元)答案：C12(2018·淄博模擬)已知點P(x，y)(x，y)|M(2，1)，則·(O為坐標原點)的最小值為()A2B4C6D8解析：由題意知(2，1)，(x，y)，設z·2xy，顯然集合(x，y)|對應不等式組所表示的平面區(qū)域作出該不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由圖可知，當目標函數(shù)z2xy對應的直線經(jīng)過點A時，z取得最小值由得A(2,2)，所以目標函數(shù)的最小值zmin2×(2)26，即·的最小值為6，故選C.答案：C二、填空題13(2018·青島模擬)若a>0，b>0，則(ab)·的最小值是_解析：(ab)213，因為a>0，b>0，所以(ab)3232，當且僅當，即ab時等號成立所以所求最小值為32.答案：3214(2018·高考全國卷)若x，y滿足約束條件則zxy的最大值為_解析：由不等式組畫出可行域，如圖(陰影部分)，xy取得最大值斜率為1的直線xyz(z看做常數(shù))的橫截距最大，由圖可得直線xyz過點C時z取得最大值由得點C(5,4)，zmax549.答案：915(2018·石家莊模擬)若x，y滿足約束條件則z的最小值為_解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，因為目標函數(shù)z表示區(qū)域內的點與點P(3,2)連線的斜率由圖知當可行域內的點與點P的連線與圓相切時斜率最小設切線方程為y2k(x3)，即kxy3k20，則有2，解得k或k0(舍去)，所以zmin.答案：16已知a>b>1，且2logab3logba7，則a的最小值為_解析：令logabt，由a>b>1得0<t<1,2logab3logba2t7，得t，即logab，ab2，所以aa11213，當且僅當a2時取等號. 故a的最小值為3.答案：3