數(shù)學(xué)第八章 立體幾何初步 第2節(jié) 簡單幾何體的表面積與體積 北師大版

第第2節(jié)節(jié)簡單幾何體簡單幾何體的表面積與體積的表面積與體積最新考綱了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.1.多面體的表(側(cè))面積多面體的各個面都是平面，則多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和.知知 識識 梳梳 理理2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)_S圓錐側(cè)_S圓臺側(cè)_2rlrl(r1r2)l3.簡單幾何體的表面積與體積公式S底h4R2診診 斷斷 自自 測測解析(1)錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一，故不正確.(2)球的體積之比等于半徑比的立方，故不正確.答案(1)(2)(3)(4)解析由題意，得S表r2rlr2r2r3r212，解得r24，所以r2(cm).答案B答案A答案B5.(2018西安質(zhì)檢)已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示(單位：m)，則該四棱錐的體積為_m3.解析根據(jù)三視圖可知該四棱錐的底面是底邊長為2 m，高為1 m的平行四邊形，四棱錐的高為3 m.答案2考點一考點一簡單幾何體簡單幾何體的的表面積表面積【例1】 (1)(2016全國卷)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A.20 B.24C.28 D.32(2)(2017全國卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為()A.10 B.12C.14 D.16解析(1)幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，周長為c，圓錐母線長為l，圓柱高為h.由三視圖知r2，c2r4，h4.故該幾何體的表面積S表答案(1)C(2)B規(guī)律方法1.由幾何體的三視圖求其表面積：(1)關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及度量大小.(2)還原幾何體的直觀圖，套用相應(yīng)的面積公式.2.(1)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.【訓(xùn)練1】 (1)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于()A.17 B.18C.20 D.28解析(1)由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示.答案(1)B(2)A(2)(2016山東卷)一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為()又平面BB1C1C平面ABC，ADBC，AD平面ABC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD平面BB1C1C，即AD為三棱錐AB1DC1的底面B1DC1上的高，答案(1)C(2)C規(guī)律方法1.求三棱錐的體積：等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上.2.求不規(guī)則幾何體的體積：常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解.3.若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.【訓(xùn)練2】 (1)某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則主視圖中的x的值是()(2)(2018鄭州質(zhì)檢)已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的主視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是_.(2)由題可知，三棱錐每個面都是腰為2的等腰三角形，由主視圖可得如右俯視圖，且三棱錐高為h1，解析由ABBC，AB6，BC8，得AC10.要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個側(cè)面相切，設(shè)底面ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.2r43，不合題意.球與三棱柱的上、下底面相切時，球的半徑R最大.答案B【遷移探究】 若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BCA1B1C1的6個頂點都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面積.解將直三棱柱補(bǔ)形為長方體ABECA1B1E1C1，則球O是長方體ABECA1B1E1C1的外接球.體對角線BC1的長為球O的直徑.故S球4R2169.規(guī)律方法1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點”、“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.2.若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題.【訓(xùn)練3】 (1)(2017全國卷)已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐SABC的體積為9.則球O的表面積為_.(2)(2018佛山一中月考)已知A，B是球O的球面上兩點，AOB90，C為該球面上的動點.若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A.36 B.64C.144 D.256解析(1)如圖，連接OA，OB，因為SAAC，SBBC，所以O(shè)ASC，OBSC.因為平面SAC平面SBC，平面SAC平面SBCSC，且OA 平面SAC，所以O(shè)A平面SBC.設(shè)球O的半徑為r，則OAOBr，SC2r，答案(1)36(2)C