江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 考前回扣6 解析幾何學(xué)案

6.解析幾何1直線的傾斜角與斜率(1)傾斜角的范圍為0，)(2)直線的斜率定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率k，即ktan (90°)；傾斜角為90°的直線沒有斜率；斜率公式：經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線的斜率為k(x1x2)；直線的方向向量a(1，k)；應(yīng)用：證明三點共線：kABkBC.問題1(1)直線的傾斜角越大，斜率k就越大，這種說法是_的(填正確或錯誤)(2)直線xcos y20的傾斜角的范圍是_答案(1)錯誤(2)2直線方程的五種形式(1)點斜式：已知直線過點(x0，y0)，其斜率為k，則直線方程為yy0k(xx0)，它不包括垂直于x軸的直線(2)斜截式：已知直線在y軸上的截距為b，斜率為k，則直線方程為ykxb，它不包括垂直于x軸的直線(3)兩點式：已知直線經(jīng)過P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點，則直線方程為，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線(4)截距式：已知直線在x軸和y軸上的截距為a，b，則直線方程為1，它不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線和過原點的直線(5)一般式：任何直線均可寫成AxByC0(A，B不同時為0)的形式問題2已知直線過點P(1,5)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則此直線的方程為_答案5xy0或xy603兩條直線的位置關(guān)系(1)若已知直線的斜截式方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，則l1l2k1k2，且b1b2；l1l2k1·k21；l1與l2相交k1k2.(2)若已知直線的一般方程l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20，則l1l2平行A1B2A2B10，且B1C2B2C10或A1C2A2C10；l1l2A1A2B1B20；l1與l2相交A1B2A2B10；l1與l2重合A1B2A2B10且B1C2B2C10且A1C2A2C10.問題3設(shè)直線l1：xmy60和l2：(m2)x3y2m0，當(dāng)m_時，l1l2；當(dāng)m_時，l1l2；當(dāng)_時，l1與l2相交；當(dāng)m_時，l1與l2重合答案1m3且m134點到直線的距離及兩平行直線間的距離(1)點P(x0，y0)到直線AxByC0的距離為d.(2)兩平行線l1：AxByC10，l2：AxByC20間的距離為d.問題4兩平行直線3x2y50與6x4y50間的距離為_答案5圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，只有當(dāng)D2E24F>0時，方程x2y2DxEyF0才表示圓心為，半徑為的圓問題5若方程a2x2(a2)y22axa0表示圓，則a_.答案16直線與圓的位置關(guān)系的判斷(1)幾何法：根據(jù)圓心到直線的距離d與圓半徑r的大小關(guān)系來判定(2)代數(shù)法：將直線方程代入圓的方程消元得一元二次方程，根據(jù)的符號來判斷問題6已知圓C：(xa)2(yb)2r2的圓心為拋物線y24x的焦點，直線3x4y20與圓C相切，則該圓的方程為_答案(x1)2y21解析因為拋物線y24x的焦點為(1,0)，所以a1，b0，又由直線3x4y20與圓C相切，得r1，所以該圓的方程為(x1)2y21.7圓錐曲線的定義和性質(zhì)名稱橢圓雙曲線拋物線定義PF1PF22a(2a>F1F2)|PF1PF2|2a(2a<F1F2)PFPM，點F不在直線l上，PMl于M標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0)1(a>0，b>0)y22px(p>0)圖形范圍|x|a，|y|b|x|ax0頂點(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱關(guān)于x軸對稱焦點(±c,0)軸長軸長2a，短軸長2b實軸長2a，虛軸長2b離心率e(0<e<1)e(e>1)e1準(zhǔn)線x±x±x通徑ABAB2p漸近線y±x問題7在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線1的離心率為，則m的值為_答案2解析c2mm24，e25，m24m40，m2.8(1)在用圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時，消元后得到的方程中要注意二次項的系數(shù)是否為零，利用解的情況可判斷位置關(guān)系：有兩解時相交；無解時相離；有惟一解時，在橢圓中相切，在雙曲線中需注意直線與漸近線的關(guān)系，在拋物線中需注意直線與對稱軸的關(guān)系，而后判斷是否相切(2)直線與圓錐曲線相交時的弦長問題斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長P1P2或P1P2 .(3)過拋物線y22px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于C(x1，y1)，D(x2，y2)，則焦半徑CFx1；弦長CDx1x2p；x1x2，y1y2p2.問題8如圖，斜率為1的直線l過橢圓y21的右焦點，交橢圓于A，B兩點，則弦AB的長為_答案解析設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由橢圓方程知，a24，b21，c23，所以F(，0)，直線l的方程為yx.將其代入x24y24，化簡整理，得5x28x80，解得x1，x2，所以x1x2，x1x2.所以AB|x1x2|·×.易錯點1直線的傾斜角和斜率關(guān)系不清例1直線xsin y20的傾斜角的取值范圍是_易錯分析本題易混淆和傾斜角的關(guān)系，不能真正理解斜率和傾斜角的實質(zhì)，忽視傾斜角本身的范圍解析設(shè)直線的傾斜角為，則有tan sin .因為sin 1,1，所以1tan 1，又0，)，所以0或<.答案易錯點2忽視直線的特殊位置例2已知l1：3x2ay50，l2：(3a1)xay20，求使l1l2的a的值易錯分析本題易出現(xiàn)的問題是忽視直線斜率不存在的特殊情況，即忽視a0的情況解當(dāng)直線斜率不存在，即a0時，l1：3x50，l2：x20，符合l1l2；當(dāng)直線斜率存在時，l1l2a，經(jīng)檢驗，a符合題意故使l1l2的a的值為或0.易錯點3焦點位置考慮不全例3已知橢圓1的離心率等于，則m_.易錯分析本題易出現(xiàn)的問題就是誤以為給出方程的橢圓，其焦點在x軸上導(dǎo)致漏解該題雖然給出了橢圓的方程，但并沒有確定焦點所在坐標(biāo)軸，所以應(yīng)該根據(jù)其焦點所在坐標(biāo)軸進(jìn)行分類討論解析當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，由方程1，得a24，即a2.又e，所以c，mb2a2c222()21.當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，橢圓的方程為1.由方程，得b24，即b2.又e，故，解得，即a2b，所以a4，故ma216.綜上，m1或16.答案1或16易錯點4忽視斜率不存在例4如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，點(2,1)在橢圓C上(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l與圓O：x2y22相切，與橢圓C相交于P，Q兩點若直線l過橢圓C的右焦點F，求OPQ的面積；求證：OPOQ.易錯分析解答本題第(2)問時需要考慮直線的斜率是否存在，可分兩類情況分別求解(1)解由題意，得，1，解得a26，b23.所以橢圓C的方程為1.(2)解由題意得，直線l的斜率存在，橢圓C的右焦點為F(，0)設(shè)切線方程為yk(x)，即kxyk0，所以，解得k±，所以切線方程為y±(x)當(dāng)k時，由方程組解得或所以點P，Q的坐標(biāo)分別為，所以PQ.因為O到直線PQ的距離為，所以O(shè)PQ的面積為.根據(jù)橢圓的對稱性，當(dāng)切線方程為y(x)時，OPQ的面積也為.綜上所述，OPQ的面積為.證明()若直線PQ的斜率不存在，則直線PQ的方程為x或x.當(dāng)x時，P(，)，Q(，)因為·0，所以O(shè)POQ.當(dāng)x時，同理可得OPOQ.()若直線PQ的斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為ykxm，即kxym0.因為直線與圓相切，所以，即m22k22.將直線PQ的方程代入橢圓方程，得(12k2)x24kmx2m260.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則有x1,2，所以x1x2，x1x2.因為·x1x2y1y2x1x2(kx1m)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2(1k2)×km×m2.將m22k22代入上式可得·0，所以O(shè)POQ.綜上所述，OPOQ.易錯點5忽視>0例5設(shè)過點A(0，2)的動直線l與y21相交于P，Q兩點，O為坐標(biāo)原點當(dāng)OPQ的面積最大時，求直線l的方程易錯分析本題通過弦長公式、面積公式等工具將OPQ的面積表示為關(guān)于變量k的函數(shù)解析式f(k)，再求函數(shù)最大值及相應(yīng)的k值，此時需借助隱含條件直線與橢圓相交得到>0進(jìn)行驗證解當(dāng)lx軸時不合題意，故設(shè)直線l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將ykx2代入y21得(14k2)x216kx120，當(dāng)16(4k23)>0，即k2>時，x1,2.從而PQ|x1x2|.又點O到直線PQ的距離d，所以O(shè)PQ的面積SOPQd·PQ.設(shè)t，則t>0，SOPQ.因為t4，當(dāng)且僅當(dāng)t2，k±時取等號，且滿足>0.所以當(dāng)OPQ的面積最大時，l的方程為yx2或yx2.1(2018·江蘇淮安等四市模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓C1：x2(y1)2r2(r>0)上存在點P，且點P關(guān)于直線xy0的對稱點Q在圓C2：(x2)2(y1)21上，則r的取值范圍是_答案1，1解析C2關(guān)于直線xy0的對稱圓C：(x1)2(y2)21，由題意，知圓C與圓C1有交點，所以r1r1，所以r的取值范圍是1，12已知橢圓mx23y26m0的一個焦點為(0,2)，則m的值是_答案5解析方程變形為1，焦點在y軸上，a22m，b26，又c2且a2b2c2，2m622，m5.3設(shè)拋物線y2mx的準(zhǔn)線與直線x1的距離為3，則拋物線的方程為_答案y28x或y216x解析當(dāng)m>0時，準(zhǔn)線方程為x2，m8，此時拋物線方程為y28x；當(dāng)m<0時，準(zhǔn)線方程為x4，m16，此時拋物線方程為y216x.所求拋物線方程為y28x或y216x.4已知雙曲線1的右頂點為A，右焦點為F.過點F作平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點B，則AFB的面積為_答案解析由題意求出雙曲線中a3，b4，c5，則雙曲線的漸近線方程為y±x，不妨設(shè)直線BF的斜率為，可求出直線BF的方程為4x3y200，(*)將(*)式代入雙曲線方程，解得yB，則SAFBAF·|yB|(ca)·.5過橢圓1的右焦點F作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，則OAB的面積為_答案解析橢圓1的右焦點F(1,0)，故直線AB的方程為y2(x1)，由消去y，整理得3x25x0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1<x2，則x1，x2是方程3x25x0的兩個實根，解得x10，x2，故A(0，2)，B，故SOABSOFASOFB××1.6若圓x2y2r2過雙曲線1的右焦點F，且圓與雙曲線的漸近線在第一、四象限的交點分別為A，B，當(dāng)四邊形OAFB為菱形時，雙曲線的離心率為_答案2解析由題意，直線的一條漸近線方程的斜率為，e 2.7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A，B1，B2分別為橢圓C：1(a>b>0)的右、下、上頂點，F(xiàn)是橢圓C的右焦點若B2FAB1，則橢圓C的離心率是_答案解析F(c,0)，A(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)，(c，b)，(a，b)，B2FAB1，·acb20，a2c2ac0，化為e2e10,0<e<1.解得e.8橢圓1的焦點為F1，F(xiàn)2，點P為其上的動點，當(dāng)F1PF2為鈍角時，點P的橫坐標(biāo)的取值范圍為_答案解析設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，F(xiàn)1(，0)，F(xiàn)2(，0)，在PF1F2中，F(xiàn)1PF2為鈍角，·<0，即(x，y)·(x，y)<0，即x2y25<0.1，1<0，<x<.9在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2y2b2經(jīng)過橢圓E：1(0<b<2)的焦點(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記直線l：ykxm交橢圓E于P，Q兩點，T為弦PQ的中點，M(1,0)，N(1,0)，記直線TM，TN的斜率分別為k1，k2，當(dāng)2m22k21時，求k1·k2的值解(1)因為0<b<2，所以橢圓E的焦點在x軸上，又圓O：x2y2b2經(jīng)過橢圓E的焦點，所以橢圓的半焦距cb，所以2b24，即b22，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(x0，y0)，聯(lián)立消去y，得(12k2)x24kmx2m240，則x1,2，所以x1x2，又2m22k21，所以x1x2，所以x0，y0mk·，則k1·k2·.10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓1(a>b>0)的離心率為，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P為橢圓上的一點，過點O作OP的垂線交直線y于點Q，求的值解(1)由題意得，c1，a2b2c2，解得a，c1，b1，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)由題意知，OP的斜率存在，當(dāng)OP的斜率為0時，OP，OQ，所以1，當(dāng)OP的斜率不為0時，設(shè)直線OP的方程為ykx，由得(2k21)x22，解得x2，所以y2，所以O(shè)P2.因為OPOQ，所以直線OQ的方程為yx，由得xk，所以O(shè)Q22k22，所以1.綜上可知，1.14