2022高考數(shù)學大二輪復習 專題一 集合、邏輯用語等 題型練4 大題專項（二）數(shù)列的通項、求和問題 理

2022高考數(shù)學大二輪復習 專題一 集合、邏輯用語等 題型練4 大題專項（二）數(shù)列的通項、求和問題 理1.設數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足(1-q)Sn+qan=1,且q(q-1)0.(1)求an的通項公式;(2)若S3,S9,S6成等差數(shù)列,求證:a2,a8,a5成等差數(shù)列.2.已知等差數(shù)列an的首項a1=1,公差d=1,前n項和為Sn,bn=.(1)求數(shù)列bn的通項公式;(2)設數(shù)列bn前n項和為Tn,求Tn.3.(2018浙江,20)已知等比數(shù)列an的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中項.數(shù)列bn滿足b1=1,數(shù)列(bn+1-bn)an的前n項和為2n2+n.(1)求q的值;(2)求數(shù)列bn的通項公式.4.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,公比為q的等比數(shù)列bn的首項是,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.(1)求數(shù)列an,bn的通項公式an,bn;(2)求數(shù)列的前n項和Tn.5.已知數(shù)列an滿足a1=,且an+1=an-(nN*).(1)證明:12(nN*);(2)設數(shù)列的前n項和為Sn,證明:(nN*).6.已知數(shù)列an的首項為1,Sn為數(shù)列an的前n項和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,nN*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,求數(shù)列an的通項公式;(2)設雙曲線x2-=1的離心率為en,且e2=,證明:e1+e2+en>.題型練4大題專項(二)數(shù)列的通項、求和問題1.(1)解 當n=1時,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1.當n2時,由(1-q)Sn+qan=1,得(1-q)Sn-1+qan-1=1,兩式相減,得an=qan-1.又q(q-1)0,所以an是以1為首項,q為公比的等比數(shù)列,故an=qn-1.(2)證明 由(1)可知Sn=,又S3+S6=2S9,所以,化簡,得a3+a6=2a9,兩邊同除以q,得a2+a5=2a8.故a2,a8,a5成等差數(shù)列.2.解 (1)在等差數(shù)列an中,a1=1,公差d=1,Sn=na1+d=,bn=(2)bn=2,Tn=b1+b2+b3+bn=2+=2+=2故Tn=3.解 (1)由a4+2是a3,a5的等差中項,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20,得8=20,解得q=2或q=,因為q>1,所以q=2.(2)設cn=(bn+1-bn)an,數(shù)列cn前n項和為Sn,由cn=解得cn=4n-1.由(1)可知an=2n-1,所以bn+1-bn=(4n-1)故bn-bn-1=(4n-5),n2,bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)+(4n-9)+7+3.設Tn=3+7+11+(4n-5),n2,Tn=3+7+(4n-9)+(4n-5),所以Tn=3+4+4+4-(4n-5),因此Tn=14-(4n+3),n2,又b1=1,所以bn=15-(4n+3)4.解 (1)設an公差為d,由題意得解得故an=3n-1,bn=(2)+22n+1,Tn=+(22n+3-8)=5.證明 (1)由題意得an+1-an=-0,即an+1an,故an由an=(1-an-1)an-1,得an=(1-an-1)(1-an-2)(1-a1)a1>0.由0<an,得1,2,即12.(2)由題意得=an-an+1,所以Sn=a1-an+1.由和12,得12,所以n2n,因此an+1(nN*).由得(nN*).6.(1)解 由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,兩式相減得到an+2=qan+1,n1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan對所有n1都成立.所以,數(shù)列an是首項為1,公比為q的等比數(shù)列.從而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,則(2q+1)(q-2)=0,由已知,q>0,故q=2.所以an=2n-1(nN*).(2)證明 由(1)可知,an=qn-1.所以雙曲線x2-=1的離心率en=由e2=,解得q=因為1+q2(k-1)>q2(k-1),所以>qk-1(kN*).于是e1+e2+en>1+q+qn-1=,故e1+e2+en>