2022年高中數學《簡單幾何體的表面積與體積》導學案 北師大版必修2

2022年高中數學簡單幾何體的表面積與體積導學案 北師大版必修21.通過對柱、錐、臺、球的研究,了解球的表面積和體積的計算公式(不要求記憶公式),掌握柱、錐、臺、球的表面積與體積的求法,能運用公式進行計算并解決有關的實際問題.2.讓學生經歷幾何體的側面展開過程,感知幾何體的形狀,通過對照比較柱體、錐體、臺體,掌握三者之間的表面積與體積的轉化.3.感受幾何體體積和表面積公式的推導過程,提高空間思維能力和空間想象能力,增強探索問題和解決問題的能力.xx年6月11號,神州十號發(fā)射成功并在太空與天宮一號對接成功,女航天員王亞平在天宮倉內上了一堂生動的太空課,其中水球演示實驗非常神奇,即水在太空中的形狀是球狀的形式.其原理就是在失重的狀態(tài)下,影響水的形狀的主要因素就是水的表面張力,而表面張力的作用就是壓縮水的表面積,而在相同體積下的幾何體中,球的表面積最小,這就是為什么在太空中水的形狀是球狀的原因.問題1: 直棱柱、棱錐、棱臺表面積展開圖是什么,該如何計算?直棱柱、棱錐、棱臺的表面積的計算,可以先計算其側面積,然后加上它們的底面積.(1)從側面展開圖可知:直棱柱側面積S側=,底面周長為c,側棱為h. (2)棱錐側面積S側=,底面周長為c,斜高為h'. (3)棱臺側面積S側=,上、下底面的周長分別為c'、c,斜高為h' . 問題2:圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖分別是什么?側面積及表面積公式呢?圓柱:側面展開圖是,長是圓柱底面圓的,寬是圓柱的高(母線),S圓柱側=2rl,S圓柱表=2r(r+l),其中r為圓柱底面半徑,l為母線長. 圓錐:側面展開圖為一個,扇形的半徑是圓錐的,弧長等于圓錐底面周長,側面展開圖的扇形圓心角為=×360°,S圓錐側=rl,S圓錐表=r(r+l),其中r為圓錐底面半徑,l為母線長. 圓臺:側面展開圖是,內弧長等于圓臺,外弧長等于圓臺,側面展開圖的扇環(huán)圓心角為=×360°,S圓臺側=(r+r')l,S圓臺表=(r2+rl+r'l+r'2). 問題3:寫出柱體、錐體、臺體、球的體積計算公式.(1)V柱=,其中S和h分別是柱體的底面積和高. 特別地,V圓柱=,其中r和h分別是圓柱的底面半徑和高. (2)V錐=,其中S和h分別是錐體的底面積和高. 特別地,V圓錐=,其中r和h分別是圓錐的底面半徑和高. (3)V臺=(S+S')h,其中S、S'和h分別是臺體的上底面面積、下底面面積和高.特別地,V圓臺=(r2+rr'+r'2)h,其中r、r'和h分別是圓臺的上底面半徑、下底面半徑和高.(4)V球=R3.問題4:柱、錐、臺的體積計算公式有何關系?從錐、臺、柱的形狀可以看出,當臺體上底縮為一點時,臺成為;當臺體上底放大為與下底相同時,臺成為.因此只要分別令和便可以從臺體的體積公式得到柱、錐的相應公式.從而錐、柱的公式可以統(tǒng)一為臺體的體積公式. 柱體、錐體、臺體的體積公式之間存在的關系.(S'、S分別為上、下底面面積,h為柱、錐、臺的高)1.圓錐的底面半徑為1,高為,則圓錐的表面積為().A.B.2C.3D.42.長方體的高為1,底面積為2,垂直于底的對角面的面積是,則長方體的側面積等于().A.2B.4C.6D.33.半徑為R的半圓卷成一個圓錐,這個圓錐的體積為. 4.一個底面直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個鐵球,球全部沒入水中后,水面升高9厘米,求此球的表面積.棱柱、棱錐、棱臺的體積與表面積已知棱長為5,底面為正方形,各側面均為正三角形的四棱錐,求它的表面積與體積.球的表面積與體積已知過球面上三點A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半且AC=BC=6,AB=4,求球的表面積與球的體積.簡單組合體的表面積和體積如圖,在四邊形ABCD中,DAB=90°,ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2.求四邊形ABCD繞AB所在直線旋轉一周所成幾何體的表面積和體積.如圖所示,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,用截面截下一個三棱錐C-A'DD',求三棱錐C-A'DD'的體積與剩余部分的體積之比.已知矩形ABCD的頂點都在半徑為4的球O的球面上,且AB=6,BC=2,求棱錐O-ABCD的體積.牧民居住的蒙古包的形狀是一個圓柱與圓錐的組合體,尺寸如圖所示,請你幫忙算出要搭建這樣的一個蒙古包至少需要多少m2的篷布,這個蒙古包占多大的體積?(精確到0.01 )1.一個球的大圓面積為9,則球的表面積和體積分別為().A.9,27B.9,36C.36,36D.36,482.若一個圓錐的軸截面是等邊三角形,其面積為,則這個圓錐的表面積是().A.3B.3C.6D.93.長方體的三個面的面積分別為2、6和9,則長方體的體積為. 4.如圖是一個圓臺的側面展開圖,根據圖中數據求這個圓臺的表面積和體積.(xx年·江蘇卷)如圖,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分別是AB,AC,AA1的中點,設三棱錐F-ADE的體積為V1,三棱柱A1B1C1-ABC的體積為V2,則V1V2=. 考題變式(我來改編):第13課時簡單幾何體的表面積與體積知識體系梳理問題1:(1)ch(2)ch'(3)(c+c')h'問題2:矩形周長扇形母線扇環(huán)上底周長下底周長問題3:(1)Shr2h(2)Shr2h問題4:錐柱S'=SS'=0基礎學習交流1.Cl=2, =r(r+l)=(1+2)=3.2.C設長方體的長、寬、高分別為a、b、c,則c=1,ab=2,·c=,a=2,b=1,故S側=2(ac+bc)=6.3.R3設圓錐的底面半徑為r,則有R=2r,所以r=,所以圓錐高為R,所以V圓錐=()2·R=R3.4.解:水面上升的體積就等于球的體積,設球的半徑為R,圓柱底面半徑為r.則V=r2h=R3,R=12.所以球的表面積S=4R2=4×144=576(平方厘米).重點難點探究探究一:【解析】如圖,四棱錐S-ABCD的各棱長均為5,各側面都是全等的正三角形.設E為AB的中點,則SEAB.SE=,S側=4SSAB=4××AB×SE=2×5×=25,S表=S側+S底=25+25.易知四棱錐的高SO= .V=S底h=×25×=.【小結】解決棱柱、棱錐、棱臺的體積與表面積問題的關鍵是找到高,這需要在常見的幾何體中構造特殊圖形:一般地,在棱柱中構造矩形、在棱錐中構造直角三角形、在棱臺中構造直角梯形,將立體問題轉化為平面問題解決.探究二:【解析】設球心為O,球半徑為R,作OO1平面ABC于O1,如圖.由于OA=OB=OC=R,則O1是ABC的外心,設M是AB的中點,由于AC=BC,則O1CM,連接O1A.設O1M=x,易知O1MAB,則O1A=,O1C=CM-O1M=-x.又O1A=O1C,=-x,解得x=,則O1A=O1B=O1C=.在RtOO1A中,O1O=,OO1A=90°,OA=R,由勾股定理得()2+()2=R2,解得R=.故S球=4R2=54,V球=R3=27.【小結】球的截面問題主要考查球的半徑、截面圓的半徑、球心到截面的距離構成直角三角形的計算問題,注意大圓半徑與小圓半徑之間的轉化.探究三:【解析】過點C作CEAB交AB于點E,將四邊形ABCD繞AB所在直線為軸旋轉一周得到的幾何體是由直角梯形ADCE旋轉出的圓臺與CBE旋轉出的圓錐拼接而成的組合體.由圖計算可得CE=4,AE=2,CD=2,BE=3,BC=5,S表=· AD2+(CE+AD)· CD+· CE· BC=24+12;V=(CE2+CE· AD+AD2) AE+CE2· BE=.【小結】首先根據旋轉的圖像,確定形成的旋轉體由哪些簡單幾何體組成,再套用公式求表面積和體積.思維拓展應用應用一:已知長方體可以看成直四棱柱ADD'A'-BCC'B',設它的底面ADD'A'的面積為S,高為h,則它的體積為V=Sh. 而三棱錐C-A'DD'的底面面積為S,高是h,因此,三棱錐C-A'DD'的體積VC-A'DD'=×Sh=Sh.剩余部分的體積是Sh-Sh=Sh.所以三棱錐C-A'DD'的體積與剩余部分的體積之比為ShSh=15.應用二:如圖,連接AC,BD交于點O1,則O1為矩形ABCD所在小圓的圓心,連接OO1,則OO1面ABCD,易求得O1C=2,又OC=4,OO1=2,棱錐體積V=×6×2×2=8.應用三:上部分圓錐體的母線長為,其側面積為S1=××,下部分圓柱體的側面積為S2=×5×1.8.S=S1+S2=××+×5×1.850.03(m2).所以,要搭建這樣的一個蒙古包至少需要約50.03m2的篷布.V=×()2×1.8+××()2×1.2=35.325+7.8543.18(m3).這個蒙古包占的體積約為43.18(m3).基礎智能檢測1.C由球的大圓面積為9,得到球的半徑R=3,S表=4R2=36,V=R3=36.2.A設底面圓半徑為r,則(2r)2=,r=1,母線l=2,S底=r2=,S側=rl=2,S表=3.故選A.3.6設長方體的三邊長為a,b,c,則則V=abc=6.4.解:設圓臺的上底半徑為r,下底半徑為R.由圖知母線l=8,2r=×16,2R=×24,所以r=2,R=3,S側=××8=40,所以S表=×22+×32+40=53,h=3,所以V=(4+9)×3=19.全新視角拓展由題意知,三棱錐F-ADE與三棱柱A1B1C-ABC的高之比為,底面積之比為,故V1V2=.思維導圖構建S圓柱側=2rlS圓錐側=rlS圓臺側=(r+r')lV圓柱=r2hV圓錐=r2hV圓臺=h(r2+rr'+r'2)S球=4R2