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中考復習篇之《專題四 規(guī)律探索題》

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中考復習篇之《專題四 規(guī)律探索題》

專題四規(guī)律探索題類型一 數(shù)式規(guī)律探索 (2017安徽)【閱讀理解】我們知道,123n,那么122232n2結果等于多少呢?在圖1所示三角形數(shù)陣中,第1行圓圈中的數(shù)為1,即12,第2行兩個圓圈中數(shù)的和為22,即22,;第n行n個圓圈中數(shù)的和為nnnn個n ,即n2.這樣,該三角形數(shù)陣中共有個圓圈,所有圓圈中數(shù)的和為122232n2.圖1圖2【規(guī)律探究】 將三角形數(shù)陣經兩次旋轉可得如圖2所示的三角形數(shù)陣,觀察這三個三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)如第(n1)行的第一個圓圈中的數(shù)分別為n1,2,n,發(fā)現(xiàn)每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均為_,由此可得,這三個三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3(122232n2)_,因此,122232n2_【解決問題】 根據以上信息發(fā)現(xiàn),計算:的結果為_【分析】 第一空只需將n1,2,n相加即可,每個三角形數(shù)陣中共有個圓圈,而每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均為2n1,三個三角形數(shù)陣中所有圓圈中數(shù)的總和為(2n1),從而第二空,第三、四空易求【自主解答】 【方法點撥】解決規(guī)律探究型問題的一般思路是通過對所給的具體結論進行全面、細致的觀察、分析、比較,從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并猜想出一般性結論,其中關于等式的規(guī)律探索:用含字母的代數(shù)式進行歸納,注意字母往往還具有反映等式序號的作用1(2019合肥二模)觀察下列等式:第1個等式:3,第2個等式:6,第3個等式:9,第4個等式:12,按照以上規(guī)律,解決下列問題:(1)寫出第5個等式:_;(2)寫出你猜想的第n個等式:_(用含n的等式表示),并證明2(2019淮北市濉溪縣二模)觀察下列式子:02112131222413235142(1)第個式子是_,第個式子是_;(2)請用含n(n為正整數(shù))的式子表示上述規(guī)律,并證明3(2019合肥包河區(qū)一模)楊輝是我國南宋時期杰出的數(shù)學家和教育家,如圖是楊輝在公元1261年的著作詳解九章算法里面的一張圖,即“楊輝三角”,該圖中有很多規(guī)律,請仔細觀察,解答下列問題:(1)圖中給出了七行數(shù)字,根據構成規(guī)律,第9行中從左邊數(shù)第4個數(shù)是_;(2)第n行中從左邊數(shù)第2個數(shù)為_;第n行中所有數(shù)字之和為_4(2019安徽) 觀察以下等式:第1個等式:,第2個等式:,第3個等式:,第4個等式:,第5個等式:,按照以上規(guī)律,解決下列問題:(1)寫出第6個等式:_;(2)寫出你猜想的第n個等式:_(用含n的等式表示),并證明5(2019全椒縣一模)已知下列等式:(31)2(31)2431;(53)2(53)2453;(75)2(75)2475;(97)2(97)2497.(1)請仔細觀察,寫出第5個式子;(2)寫出第n個式子,并運用所學知識說明第n個等式成立類型二 圖形規(guī)律探索 (2016安徽)(1)觀察下列圖形與等式的關系,并填空:圖1(2)觀察下圖,根據(1)中結論,計算圖中黑球的個數(shù),用含有n的代數(shù)式填空:圖2135(2n1)(_)(2n1)531_.【分析】 (1)第一項和第二項的結果不難填空;(2)先判斷圖中第(n1)行的黑球的個數(shù),然后運用倒序相加法求出13(2n1)(2n1)的和即可完成填空【自主解答】 【方法點撥】對于圖形規(guī)律探索題常按以下步驟操作:寫序號:記每組圖形的序數(shù)為“1,2,3,n”;數(shù)圖形的個數(shù):在圖形數(shù)量變化時,要標記出每組圖形表示的個數(shù);尋找圖形數(shù)量與序號n的關系:在尋找第n個圖形表示的數(shù)量時,先將后一個圖形表示的個數(shù)與前一個圖形表示的個數(shù)進行比對,通過作差(商)來觀察是否有恒定量的變化,然后按照定量變化推導出具體某個圖形的個數(shù);驗證:代入序號驗證所歸納的式子是否正確1(2019甘肅改編)如圖,每一圖中有若干個大小不同的菱形,第1幅圖中有1個菱形,第2幅圖中有3個菱形,第3幅圖中有5個菱形,.(1)第5幅圖中有_個菱形,第n幅圖中有 _個菱形;(2)如果第n幅圖中有2 019個菱形,求n.2(2018黔南州)“分塊計數(shù)法”:對有規(guī)律的圖形進行計數(shù)時,有些題可以采用“分塊計數(shù)”的方法例如:圖1有6個點,圖2有12個點,圖3有18個點,.按此規(guī)律,求圖10、圖n有多少個點我們將每個圖形分成完全相同的6塊,每塊黑點的個數(shù)相同(如圖),這樣圖1中黑點的個數(shù)是616個;圖2中黑點的個數(shù)是6212個;圖3中黑點的個數(shù)是6318個;所以容易求出圖10、圖n中黑點的個數(shù)分別是_、_請你參考以上“分塊計數(shù)法”,先將下面的點陣進行分塊,再完成以下問題:(1)第5個點陣中有_個圓圈;第n個點陣中有_個圓圈(2)小圓圈的個數(shù)會等于271嗎?如果會,請求出是第幾個點陣3(2019瑤海區(qū)一模)下列每一幅圖都是由白色小正方形和黑色小正方形組成(1)第10幅圖中有_個白色小正方形, _個黑色小正方形;(2)第n個圖形中白色小正方形和黑色小正方形的個數(shù)總和等于_(用n表示,n是正整數(shù))4(2019合肥市長豐縣模擬)用同樣大小的兩種不同顏色的正方形紙片,按下圖方式拼正方形第個圖形中有1個正方形;第個圖形中有134個小正方形;第個圖形中有1359個小正方形;第個圖形中有_個小正方形(直接寫出結果);(1)根據上面的發(fā)現(xiàn)我們可以猜想:1357(2n1) _(用含n的代數(shù)式表示);(2)請根據你的發(fā)現(xiàn)計算:135799_;101103105199_5(2019蕪湖縣二模)如圖,正方形ABCD內部有若干個點,用這些點以及正方形ABCD的頂點A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形(互相不重疊): (1)填寫下表:正方形ABCD內點的個數(shù)1234n分割成的三角形的個數(shù)46_(2)原正方形能否被分割成2 016個三角形?若能,求此時正方形ABCD內部有多少個點;若不能,請說明理由 6(2019蕪湖二模)某廣場用如圖1所示的同一種地磚拼圖案,第一次拼成圖案如圖2所示,共用地磚4塊;第二次拼成的圖案如圖3所示,共用地磚42412塊;第三次拼成的圖案如圖4所示,共用地磚4242624塊,(1)直接寫出第四次拼成的圖案共用地磚_塊;(2)按照這樣的規(guī)律進行下去,求第n次拼成的圖案共用地磚的數(shù)量(先用含n的式子表示,后化簡)7(2019南陵縣一模)【問題背景】在ABC內部,有點P1,可構成3個不重疊的小三角形(如圖1)【探究發(fā)現(xiàn)】當ABC內點的個數(shù)增加時(如圖13),探究三角形內互不重疊的小三角形的個數(shù)情況(1)填表:三角形內點的個數(shù)n1234不重疊三角形個數(shù)S_(2)當ABC內部有n個點(P1,P2,Pn)時,三角形內不重疊的小三角形的個數(shù)S2 019,求n的值8(2019安徽模擬)如圖,是由邊長相等的小正方形組成的幾何圖形,Sn(n1)表示第n個圖形中小正方形的個數(shù)(1)觀察下列圖形與等式的關系,并填空:圖1圖2 (2)根據(1)中的兩個結論填空:S12_,Sn_(用含有n的代數(shù)式表示)參考答案【專題類型突破】類型一【例1】 規(guī)律探究每個位置上三個圓圈中數(shù)的和均為n12n2n1,每個三角形數(shù)陣中共有123n個圓圈,三個空依次填2n1;.解決問題1 345跟蹤訓練1解:(1)15(2)3n證明:等式左邊3n等式右邊2解:(1)461529111102(2)第n個式子為(n1)(n1)1n2,證明:左邊n211n2,右邊n2,左邊右邊,即(n1)(n1)1n2.3解:(1)56(2)n12n1解法提示設第 n 行第 2 個數(shù)為 an(n2,且n 為正整數(shù)),觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律:a21,a32,a43,a54,a65, ann1;第 1 行數(shù)字之和 120,第 2 行數(shù)字之和 221,第 3 行數(shù)字之和 422,第 4 行數(shù)字之和 823,第 n 行數(shù)字之和為 2n1.4. 解:(1)第6個等式:(2)證明:右邊左邊,等式成立5解:(1)第5個式子為:(119)2(119)24119.(2)第n個式子:(2n1)(2n1)2(2n1)(2n1)24(2n1)(2n1),證明:左邊(4n)2224(2n)2124(2n1)(2n1)右邊,等式成立類型二【例2】 (1)42n2(2)2n12n22n1解法提示由(1)可知題圖中第(n1)行的黑球個數(shù)為2n1;135(2n1)(2n1)(n1)2n22n1,135(2n1)n2,n22n1n22n22n1.跟蹤訓練1解:(1)9(2n1)(2)2n12 019,n1 010.2解:606n(1)613n23n1(2)依題意得3n23n1271,解得n110,n29(不合題意,舍去)所以小圓圈的個數(shù)會等于271,是第10個點陣3解:(1)100 40(2)n24n解法提示第1個圖形:白色小正方形1個,黑色小正方形414個,共有145個;第2個圖形:白色小正方形224個,黑色小正方形428個,共有4812個;第3個圖形:白色小正方形339個,黑色小正方形4312個,共有91221個;第n個圖形:白色小正方形n2個,黑色小正方形4n個,共有n24n個4解:25(1)n2(2)2 5007 5005解:(1)8102(n1)(2)能設點數(shù)為n,則2(n1)2 016,解得n1 007.答:原正方形能被分割成2 016個三角形,此時正方形ABCD內部有1 007個點6解:(1)40(2)第一次拼成如圖1所示的圖案共用4塊地磚,42(12),第二拼成如圖2所示的圖案共用12塊地磚,122(23),第三次拼成如圖3所示的圖案共用24塊地磚,242(34),第四次拼成如圖4所示的圖案共用40塊地磚,402(45),.第n次拼成的圖案共用2n(n1)2(n2n)塊地磚7解:(1)3579(2)圖1中,當ABC內有1個點時,可分割成3個互不重疊的小三角形;圖2中,當ABC內有2個點時,可分割成5個互不重疊的小三角形;圖3中,當ABC內有3個點時,可分割成7個互不重疊的小三角形;當ABC內有4個點時,可分割成9個互不重疊的小三角形;.根據以上規(guī)律,當ABC內有n個點(P1,P2,Pn)時,可以把ABC分割成S2n1個互不重疊的小三角形,當S2 019時,2n12 019,n1 009.8解:(1)nn2(2)78解法提示由SnSn1n,SnSn1n2,得S12S1112,S12S11122,2S1212122156,S1278.SnSn1n,SnSn1n2,2Snn2n,Sn.

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