2022年高三數學經典示范 奇偶性教案 新人教A版

2022年高三數學經典示范 奇偶性教案 新人教A版教學分析本節(jié)討論函數的奇偶性是描述函數整體性質的.教材沿用了處理函數單調性的方法，即先給出幾個特殊函數的圖象，讓學生通過圖象直觀獲得函數奇偶性的認識，然后利用表格探究數量變化特征，通過代數運算，驗證發(fā)現的數量特征對定義域中的“任意”值都成立，最后在這個基礎上建立了奇（偶）函數的概念.因此教學時，充分利用信息技術創(chuàng)設教學情景，會使數與形的結合更加自然.值得注意的問題：對于奇函數，教材在給出的表格中留出大部分空格，旨在讓學生自己動手計算填寫數據，仿照偶函數概念建立的過程，獨立地去經歷發(fā)現、猜想與證明的全過程，從而建立奇函數的概念.教學時，可以通過具體例子引導學生認識，并不是所有的函數都具有奇偶性，如函數y=x與y=2x-1既不是奇函數也不是偶函數，可以通過圖象看出也可以用定義去說明.三維目標1.理解函數的奇偶性及其幾何意義，培養(yǎng)學生觀察、抽象的能力，以及從特殊到一般的概括、歸納問題的能力.2.學會運用函數圖象理解和研究函數的性質，掌握判斷函數的奇偶性的方法，滲透數形結合的數學思想.重點難點教學重點:函數的奇偶性及其幾何意義.教學難點:判斷函數的奇偶性的方法與格式.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.同學們，我們生活在美的世界中，有過許多對美的感受，請大家想一下有哪些美呢？（學生回答可能有和諧美、自然美、對稱美）今天，我們就來討論對稱美，請大家想一下哪些事物給過你對稱美的感覺呢？（學生舉例，再在屏幕上給出一組圖片：喜字、蝴蝶、建筑物、麥當勞的標志）生活中的美引入我們的數學領域中，它又是怎樣的情況呢？下面，我們以麥當勞的標志為例，給它適當地建立直角坐標系，那么大家發(fā)現了什么特點呢？（學生發(fā)現：圖象關于y軸對稱.）數學中對稱的形式也很多，這節(jié)課我們就同學們談到的與y軸對稱的函數展開研究.思路2.結合軸對稱與中心對稱圖形的定義，請同學們觀察圖形，說出函數y=x2和y=x3的圖象各有怎樣的對稱性？引出課題：函數的奇偶性.推進新課新知探究提出問題如圖1-3-2-1所示，觀察下列函數的圖象，總結各函數之間的共性.圖1-3-2-1那么如何利用函數的解析式描述函數的圖象關于y軸對稱呢？填寫表1和表2，你發(fā)現這兩個函數的解析式具有什么共同特征？x-3-2-10123f(x)=x2表1x-3-2-10123f(x)=|x|表2請給出偶函數的定義？偶函數的圖象有什么特征？函數f(x)=x2,x-1,2是偶函數嗎？偶函數的定義域有什么特征？觀察函數f(x)=x和f(x)=的圖象，類比偶函數的推導過程，給出奇函數的定義和性質？活動：教師從以下幾點引導學生:觀察圖象的對稱性.學生給出這兩個函數的解析式具有什么共同特征后，教師指出：這樣的函數稱為偶函數.利用函數的解析式來描述.偶函數的性質：圖象關于y軸對稱.函數f(x)=x2,x-1,2的圖象關于y軸不對稱；對定義域-1,2內x=2，f(-2)不存在，即其函數的定義域中任意一個x的相反數-x不一定也在定義域內，即f(-x)=f(x)不恒成立.偶函數的定義域中任意一個x的相反數-x一定也在定義域內，此時稱函數的定義域關于原點對稱.先判斷它們的圖象的共同特征是關于原點對稱，再列表格觀察自變量互為相反數時，函數值的變化情況，進而抽象出奇函數的概念，再討論奇函數的性質.給出偶函數和奇函數的定義后，要指明：（1）函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；（2）由函數的奇偶性定義,可知函數具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內的任意一個x，則-x也一定是定義域內的一個自變量（即定義域關于原點對稱）；（3）具有奇偶性的函數的圖象的特征：偶函數的圖象關于y軸對稱,奇函數的圖象關于原點對稱；（4）可以利用圖象判斷函數的奇偶性，這種方法稱為圖象法，也可以利用奇偶函數的定義判斷函數的奇偶性，這種方法稱為定義法；（5）函數的奇偶性是函數在定義域上的性質是“整體”性質，而函數的單調性是函數在定義域的子集上的性質是“局部”性質.討論結果:這兩個函數之間的圖象都關于y軸對稱.x-3-2-10123f(x)=x29410149表1x-3-2-10123f(x)=|x|3210123表2這兩個函數的解析式都滿足：f(-3)=f(3);f(-2)=f(2);f(-1)=f(1).可以發(fā)現對于函數定義域內任意的兩個相反數，它們對應的函數值相等，也就是說對于函數定義域內一個x，都有f(-x)=f(x).一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數.偶函數的圖象關于y軸對稱.不是偶函數.偶函數的定義域關于原點軸對稱.一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函數.奇函數的圖象關于原點中心對稱，其定義域關于原點軸對稱.應用示例思路1例1判斷下列函數的奇偶性:（1）f(x)=x4；（2）f(x)=x5；（3）f(x)=x+；（4）f(x)=.活動：學生思考奇偶函數的定義，利用定義來判斷其奇偶性.先求函數的定義域，并判斷定義域是否關于原點對稱，如果定義域關于原點對稱，那么再判斷f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).解：（1）函數的定義域是R，對定義域內任意一個x，都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x)，所以函數f(x)=x4是偶函數.（2）函數的定義域是R，對定義域內任意一個x，都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),所以函數f(x)=x4是奇函數.（3）函數的定義域是(-,0)(0,+)，對定義域內任意一個x，都有f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x)，所以函數f(x)=x+是奇函數.（4）函數的定義域是(-,0)(0,+)，對定義域內任意一個x，都有f(-x)=f(x)，所以函數f(x)= 是偶函數.點評：本題主要考查函數的奇偶性.函數的定義域是使函數有意義的自變量的取值范圍，對定義域內任意x，其相反數-x也在函數的定義域內，此時稱為定義域關于原點對稱.利用定義判斷函數奇偶性的格式步驟：首先確定函數的定義域，并判斷其定義域是否關于原點對稱；確定f(-x)與f(x)的關系；作出相應結論：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數.變式訓練xx遼寧高考，理2設f(x)是R上的任意函數,則下列敘述正確的是( )A.f(x)f(-x)是奇函數 B.f(x)|f(-x)|是奇函數C.f(x)-f(-x)是偶函數 D.f(x)+f(-x)是偶函數分析:A中設F(x)=f(x)f(-x),則F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，即函數F(x)=f(x)f(-x)為偶函數；B中設F(x)=f(x)|f(-x)|，F(-x)=f(-x)|f(x)|，此時F(x)與F(-x)的關系不能確定，即函數F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不確定；C中設F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)，即函數F(x)=f(x)-f(-x)為奇函數；D中設F(x)=f(x)+f(-x)，F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，即函數F(x)=f(x)+f(-x)為偶函數.答案：D例2xx上海春季高考，6已知函數f(x)是定義在(-,+)上的偶函數.當x(-,0)時，f(x)=x-x4，則當x(0,+)時，f(x)=_.活動：學生思考偶函數的解析式的性質，考慮如何將在區(qū)間(0,+)上的自變量對應的函數值，轉化為區(qū)間(-,0)上的自變量對應的函數值.利用偶函數的性質f(x)=f(-x)，將在區(qū)間(0,+)上的自變量對應的函數值，轉化為區(qū)間(-,0)上的自變量對應的函數值.分析:當x(0,+)時，則-x<0.又當x(-,0)時，f(x)=x-x4，f(x)=(-x)-(-x)4=-x-x4.答案：-x-x4點評：本題主要考查函數的解析式和奇偶性.已知函數的奇偶性，求函數的解析式時，要充分利用函數的奇偶性，將所求解析式的區(qū)間上自變量對應的函數值轉化為已知解析式的區(qū)間上自變量對應的函數值.變式訓練已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，f(x)=x2+，求f(x).解：當x=0時，f(-0)=-f(0)，則f(0)=0；當x<0時，-x>0，由于函數f(x)是奇函數，則f(x)=-f(-x)=-(-x)2+=-x2+，綜上所得，f(x)=思路2例1判斷下列函數的奇偶性.（1）f(x)=x2,x-1,2;（2）f(x)=；（3）f（x）=+；（4）f（x）=.活動：學生思考奇偶函數的定義和函數的定義域的求法.先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，再判斷f(-x)與f(x)的關系.在(4)中注意定義域的求法,對任意xR，有>=|x|-x，則+x>0.則函數的定義域是R.解：（1）因為它的定義域關于原點不對稱,函數f(x)=x2,x-1,2既不是奇函數又不是偶函數.（2）因為它的定義域為x|xR且x1，并不關于原點對稱,函數f(x)=既不是奇函數又不是偶函數.（3）x240且4x20，x±2，即f（x）的定義域是2，2.f（2）0，f（2）0,f（2）f（2），f（2）f（2）.f（x）f（x），且f（x）f（x）.f（x）既是奇函數也是偶函數.（4）函數的定義域是R.f(-x)+f(x)=0,f（x）f（x）.f（x）是奇函數.點評：本題主要考查函數的奇偶性.定義法判斷函數奇偶性的步驟是（1）求函數的定義域，當定義域關于原點不對稱時，則此函數既不是奇函數也不是偶函數，當定義域關于原點對稱時，判斷f(-x)與f(x)或-f(x)是否相等；（2）當f(-x)f(x)時，此函數是偶函數；當f(-x)-f(x)時，此函數是奇函數；（3）當f(-x)f(x)且f(-x)-f(x)時，此函數既是奇函數又是偶函數；（4）當f(-x)f(x)且f(-x)-f(x)時，此函數既不是奇函數也不是偶函數.判斷解析式復雜的函數的奇偶性時，如果定義域關于原點對稱時，通?；唂(-x)+f(x)來判斷f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.變式訓練xx河南開封一模，文10函數f(x)=x22ax+a在區(qū)間（，1）上有最小值，則函數g(x)=在區(qū)間（1，+）上一定( )A.有最小值 B.有最大值 C.是減函數 D.是增函數分析：函數f(x)=x22ax+a的對稱軸是直線x=a，由于函數f(x)在開區(qū)間（，1）上有最小值，所以直線x=a位于區(qū)間（，1）內，即a<1.g(x)=x+-2，下面用定義法判斷函數g(x)在區(qū)間（1，+）上的單調性.設1<x1<x2，則g(x1)-g(x2)=(x1+2)-(x2+2)=(x1-x2)+()=(x1-x2)(1)=(x1-x2).1<x1<x2，x1-x2<0，x1x2>1>0.又a<1，x1x2>a.x1x2-a>0.g(x1)-g(x2)<0.g(x1)<g(x2).函數g(x)在區(qū)間（1，+）上是增函數，函數g(x)在區(qū)間（1，+）上沒有最值.答案：D例2已知函數f(x)的定義域是x0的一切實數，對定義域內的任意x1、x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)，且當x>1時f(x)>0,f(2)=1，（1）求證：f(x)是偶函數；（2）求證:f(x)在(0,+)上是增函數；（3）試比較f()與f()的大小.活動：（1）轉化為證明f(-x)=f(x)，利用賦值法證明f(-x)=f(x)；（2）利用定義法證明單調性，證明函數單調性的步驟是“去比賽”；（3）利用函數的單調性比較它們的大小，利用函數的奇偶性，將函數值f()和f()轉化為同一個單調區(qū)間上的函數值.解：（1）令x1=x2=1，得f(1)=2f(1)，f(1)=0.令x1=x2=-1，得f(1)=f-1×(-1)=f(-1)+f(-1)，2f(-1)=0.f(-1)=0.f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x).f(x)是偶函數.（2）設x2>x1>0，則f(x2)-f(x1)=f(x1·)-f(x1)=f(x1)+f()-f(x1)=f().x2>x1>0，>1.f()>0，即f(x2)-f(x1)>0.f(x2)>f(x1).f(x)在(0,+)上是增函數.（3）由（1）知f(x)是偶函數，則有f()f().由（2）知f(x)在(0,+)上是增函數，則f()>f().f()>f().點評：本題是抽象函數問題，主要考查函數的奇偶性和單調性及其綜合應用.判斷抽象函數的奇偶性和單調性通常應用定義法，比較抽象函數值的大小通常利用抽象函數的單調性來比較.其關鍵是將所給的關系式進行有效的變形和恰當的賦值.變式訓練xx廣東中山高三期末統(tǒng)考，理19已知f(x)是定義在(-,+)上的不恒為零的函數，且對定義域內的任意x、y,f(x)都滿足f(xy)=yf(x)+xf(y).（1）求f(1)、f(-1)的值；（2）判斷f(x)的奇偶性，并說明理由.分析：（1）利用賦值法，令x=y=1得f(1)的值，令x=y=1，得f(-1)的值；（2）利用定義法證明f(x)是奇函數，要借助于賦值法得f(-x)=-f(x).解：（1）f(x)對任意x、y都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)，令x=y=1時，有f(1·1)=1·f(1)+1·f(1).f(1)=0.令x=y=1時，有f(-1)·(-1)=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1).f(1)=0.（2）是奇函數.f(x)對任意x、y都有f(x·y)=yf(x)+xf(y)，令y=1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1).將f(-1)=0代入得f(-x)=-f(x)，函數f(x)是(-,+)上的奇函數.知能訓練課本P36練習1、2.補充練習1.xx上海春季高考，5設函數y=f(x)是奇函數.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，則f(1)+f(2)=_.分析：函數y=f(x)是奇函數，f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1).-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3.2f(1)+f(2)=-6.f(1)+f(2)=-3.答案：-32.f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函數，定義域為a1，2a，則a=_，b=_.分析：偶函數定義域關于原點對稱,a1+2a=0.a=.f（x）=x2+bx+1+b.又f（x）是偶函數，b=0.答案： 03.xx山東高考，理6已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+2)=f(x),則f(6)的值為( )A.-1 B.0 C.1 D.2分析:f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=f(2+0)=-f(0).又f(x)是定義在R上的奇函數，f(0)0.f(6)0.故選B.答案：B拓展提升問題：基本初等函數的奇偶性.探究：利用判斷函數的奇偶性的方法：定義法和圖象法，可得正比例函數y=kx(k0)是奇函數；反比例函數y=(k0)是奇函數；一次函數y=kx+b(k0)，當b=0時是奇函數，當b0時既不是奇函數也不是偶函數；二次函數y=ax2+bx+c(a0)，當b=0時是偶函數，當b0時既不是奇函數也不是偶函數.課堂小結本節(jié)主要學習了函數的奇偶性，判斷函數的奇偶性通常有兩種方法，即定義法和圖象法，用定義法判斷函數的奇偶性時，必須注意首先判斷函數的定義域是否關于原點對稱.作業(yè)課本P39習題1.3A組6，B組3.設計感想單調性與奇偶性的綜合應用是本節(jié)的一個難點，而本節(jié)設計的題目不多，因此，在實際教學中，教師可以利用課余時間補充，讓學生結合函數的圖象充分理解好單調性和奇偶性這兩個性質.在教學設計中，注意培養(yǎng)學生的綜合應用能力，以便滿足高考要求.習題詳解(課本P32頁練習)1.從生產效率與生產線上工人數量的關系看，在生產勞動力較少的情況下，隨人數的增加效率隨著增大，但是到了一定數量后，人數再增多效率反而降低了.這說明勞動力可能過剩，出現了怠工等現象.2.圖象如圖1-3-2-2所示，圖1-3-2-2函數的單調增區(qū)間為8,12)，13,18)；函數的單調減區(qū)間為12,13)，18,20.3.函數的單調區(qū)間是-1,0),0,2),2,4),4,5.在區(qū)間-1,0),2,4)上是減函數；在區(qū)間0,2),4,5上是增函數.4.證明：設x1、x2R，且x1<x2，則f(x1)-f(x2)=(-2x1+1)-(-2x2+1)=2(x2-x1).x1<x2，x2-x1>0.f(x1)>f(x2).函數f(x)=-2x+1在R上是減函數.5.如圖1-3-2-3所示，圖1-3-2-3從圖象上可以發(fā)現f（2）是函數的一個最小值.(課本P36練習)1.（1）對于函數f（x）=2x4+3x2，其定義域為（,+）.因為對定義域內的每一個x，都有f（x）=2（x）4+3（x）2=2x4+3x2=f（x）,所以函數f（x）=2x4+3x2為偶函數.（2）對于函數f（x）=x32x，其定義域為（，+）.因為對定義域內的每一個x，都有f（x）=（x）32（x）=x3+2x=（x32x）=f（x）,所以函數f（x）=x32x為奇函數.（3）對于函數f(x)=，其定義域為（，0）（0，+）.因為對定義域內的每一個x，都有f（x）=f（x）,所以函數f(x)=為奇函數.（4）對于函數f(x)=x2+1，其定義域為（，+）.因為對定義域內的每一個x，都有f（x）=(-x)2+1=x2+1=f（x）,所以函數f(x)=x2+1為偶函數.2.f(x)的圖象如圖1-3-2-4所示，g(x)的圖象如圖1-3-2-5所示.圖1-3-2-4 圖1-3-2-5(課本P39習題1.3)A組1.（1）函數的單調區(qū)間是(-,(,+).函數y=f(x)在區(qū)間(-,上是減函數，在區(qū)間(,+)上是增函數.（2）函數的單調區(qū)間是(-,0,(0,+).函數y=f(x)在區(qū)間(0,+)上是減函數，在區(qū)間(-,0上是增函數.圖略.2.（1）設0<x1<x2，則有f(x1)-f(x2)=(x12+1)-(x22+1)=x12-x22=(x1-x2)(x1+x2).0<x1<x2，x1-x2<0，x1+x2<0.f(x1)>f(x2).函數f(x)在(-,0)上是減函數.（2）設0<x1<x2，則有f(x1)-f(x2)=(1)-(1)=.0<x1<x2,x1-x2<0,x1x2>0.f(x1)<f(x2).函數f(x)在(-,0)上是增函數.3.設x1、x2是（，+）上任意兩個實數，且x1x2.則y1y2=（mx1+b）（mx2+b）=m（x1x2）.x1x2，x1x20.當m0時，y1y20，即y1y2.此時一次函數y=mx+b（m0）在（，+）上是減函數.同理可證一次函數y=mx+b（m0）在（,+）上是增函數.綜上所得，當m0時，一次函數y=mx+b是減函數；當m0時，一次函數y=mx+b是增函數.4.心率關于時間的一個可能的圖象，如圖1-3-2-6所示，圖1-3-2-65.y=+162x-2100=(x2-8100x)-2100=(x-4050)2+307 050.由二次函數的知識,可得當月租金為4 050元時，租賃公司的月收入最大，最大收益為307 050元.6.圖略，函數f(x)的解析式為B組1.（1）函數f(x)在(-,1)上為減函數，在1,+)上為增函數；函數g(x)在2,4上為增函數.（2）函數f(x)的最小值為1，函數g(x)的最小值為0.2.設矩形熊貓居室的寬為x m，面積為y m2，則長為m，那么y=x=(30x-3x2)=(x-5)2+.所以當x=5時，y有最大值,即寬x為5 m時才能使所建造的每間熊貓居室面積最大，最大面積是m2.3.函數f(x)在(-,0)上是增函數.證明：設x1<x2<0，則-x1>-x2>0.函數f(x)在(0,+)上是減函數，f(-x1)<f(-x2).函數f(x)是偶函數，f(-x)=f(x).f(x1)<f(x2).函數f(x)在(-,0)上是增函數.(課本P44復習參考題)A組1.（1）A=3，3；（2）B=1，2；（3）C=1，2.2.（1）線段AB的垂直平分線；（2）以定點O為原心，以3 cm為半徑的圓.3.屬于集合的點是ABC的外接圓圓心.4.A=1,1，（1）若a=0，則B=，滿足BA；（2）若a=1，則B=1，滿足BA；（3）若a=1，則B=1，滿足BA.綜上所述，實數a的值為0,-1,1.5.AB=（x,y）=（x,y）|=（0,0）;AC=（x,y）|=；BC=（x,y）=（x,y）=（,）;（AB）（BC）=(0,0),(,).6.(1)要使函數有意義,必須|x|-20,即x-2或x2,所以函數的定義域為x|x-2或x2;（2）要使函數有意義，必須即得x2.所以函數的定義域為xx2；（3）要使函數有意義，必須即x4，且x5.所以函數的定義域為xx4，且x5.7.（1）f（a）+1=;（2）f（a+1）=.8.（1）f（x）=，f（x）=f（x）.（2）f（）=,f（）=f（x）.9.二次函數f(x)的對稱軸是直線x=，則有5或20.解得k40或k160，即實數k的取值范圍是(-,40160,+).10.（1）函數y=x-2是偶函數；（2）它的圖象關于y軸對稱；（3）函數在（0，+）上是減函數；（4）函數在（，0）上是增函數.B組1.同時參加田徑和球類比賽的有3人，只參加游泳一項比賽的有9人.提示：由題意知有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，所以15+8+14=37，知共有37人次參加比賽.由已知共有28名同學參賽，且沒有人同時參加三項，而3728=9，知共有9名同學參加兩項比賽.已知同時參加游泳和田徑的有3人，同時參加游泳和球類的有3人，因此同時參加田徑和球類的有3人；又已知有15人參加游泳比賽，因此只參加游泳一項的有9人.2.實數a的取值范圍為aa0.3.（AB）=（A）（B）=1，3，A（B）=2，4，B=1,2,3,4.B=5,6,7,8,9.4.f（1）=1×（1+4）=5;f（3）=3×（34）=21;f（a+1）=5.證明：（1）f=a·+b=（ax1+b）+（ax2+b）=f（x1）+f（x2），f（）=f（x1）+f（x2）.（2）g（）=（）2+a·+b=（+ax1+b）+（+ax2+b）（x1x2）2=g（x1）+g（x2）（x1x2）2,（x1x2）20,g（）g（x1）+g（x2）.6.（1）奇函數f（x）在b,a上是減函數；（2）偶函數g（x）在b,a上是減函數.7.若全月納稅所得額為500元，則應交納稅款為500×5%25（元）.此時月工資為8005001 300（元）；若全月納稅所得額為xx元，則應交納稅款為500×5%1500×10%175（元）.此時月工資為80050015002800（元）.由于此人交納稅款為26.78元，則此人的工資在區(qū)間（1300，2800）內，所以他當月的工資、薪金所得是8005001317.8（元）.