（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習 專題四 解析幾何學(xué)案

專題四 解析幾何析考情·明重點小題考情分析大題考情分析?？键c1.雙曲線的漸近線、離心率及焦點問題(5年4考) 2.橢圓的離心率問題，橢圓與直線、雙曲線的綜合問題(5年3考)直線與圓錐曲線解答題是高考的熱點也是重點部分，主要涉及以下兩種考法：(1)直線與橢圓有關(guān)范圍、最值的綜合問題；(2)直線與拋物線有關(guān)范圍、最值的綜合問題.偶考點1.圓與不等式的交匯問題2.拋物線的焦點、準線問題第一講 小題考法直線與圓考點(一)直 線 的 方 程主要考查直線方程、兩條直線的位置關(guān)系及三個距離公式的應(yīng)用.典例感悟典例(1)已知直線l1：x2ay10，l2：(a1)xay0，若l1l2，則實數(shù)a的值為()AB0C或0 D2(2)已知點A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線yaxb(a>0)將ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是()A(0,1) B.C. D.(3)過直線l1：x2y30與直線l2：2x3y80的交點，且到點P(0,4)距離為2的直線方程為_.解析(1)由l1l2得1×(a)2a(a1)，即2a23a0，解得a0或a.經(jīng)檢驗，當a0或a時均有l(wèi)1l2，故選C.(2)易知BC所在直線的方程是xy1，由消去x，得y，當a0時，直線yaxb與x軸交于點，結(jié)合圖形(圖略)知××，化簡得(ab)2a(a1)，則a.a0，0，解得b.考慮極限位置，即當a0時，易得b1，故b的取值范圍是.(3)由得l1與l2的交點為(1,2)當所求直線斜率不存在，即直線方程為x1時，顯然不滿足題意當所求直線斜率存在時，設(shè)所求直線方程為y2k(x1)，即kxy2k0，點P(0,4)到直線的距離為2，2，k0或k.直線方程為y2或4x3y20.答案(1)C(2)B(3)y2或4x3y20方法技巧解決直線方程問題的2個關(guān)注點(1)求解兩條直線平行的問題時，在利用A1B2A2B10建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的情況(2)求直線方程時應(yīng)根據(jù)條件選擇合適的方程形式，同時要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意演練沖關(guān)1已知直線l的傾斜角為，直線l1經(jīng)過點A(3,2)，B(a,1)，且l1與l垂直，直線l2：2xby10與直線l1平行，則ab()A4 B2 C0 D2解析：選B由題知，直線l的斜率為1，則直線l1的斜率為1，所以1，所以a4.又l1l2，所以1，b2，所以ab422，故選B.2(2018·浙江名師預(yù)測卷)“m1”是“直線l1：mx(2m1)y10與直線l2：3xmy30垂直”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A若直線l1：mx(2m1)y10與直線l2：3xmy30垂直，則3mm(2m1)0，即2m(m1)0，解得m0或m1，則“m1”是“直線l1：mx(2m1)y10與直線l2：3xmy30垂直”的充分不必要條件故選A.3若直線l1：xay60與l2：(a2)x3y2a0平行，則l1與l2間的距離為()A. B. C. D.解析：選B由l1l2，得(a2)a1×3，且a×2a3×6，解得a1，所以l1：xy60，l2：xy0，所以l1與l2間的距離為d.考點(二)圓 的 方 程主要考查圓的方程的求法，常涉及弦長公式、直線與圓相切等問題.典例感悟典例(1)已知三點A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A.B.C. D.(2)(2018·廣州模擬)若一個圓的圓心是拋物線x24y的焦點，且該圓與直線yx3相切，則該圓的標準方程是_解析(1)設(shè)ABC外接圓的一般方程為x2y2DxEyF0，ABC外接圓的一般方程為x2y22xy10，圓心為，故ABC外接圓的圓心到原點的距離為 .(2)拋物線x24y的焦點為(0,1)，即圓心為(0,1)，設(shè)該圓的標準方程是x2(y1)2r2(r>0)，因為該圓與直線yx3，即xy30相切，所以r，故該圓的標準方程是x2(y1)22.答案(1)B(2)x2(y1)22方法技巧圓的方程的2種求法幾何法通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進而求得圓的基本量和方程代數(shù)法用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)演練沖關(guān)1圓(x2)2y24關(guān)于直線yx對稱的圓的方程是()A(x)2(y1)24B(x)2(y)24Cx2(y2)24D(x1)2(y)24解析：選D圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的半徑相同，只需求圓心(2,0)關(guān)于直線yx對稱的點的坐標即可設(shè)所求圓的圓心坐標為(a，b)，則解得所以圓(x2)2y24的圓心關(guān)于直線yx對稱的點的坐標為(1，)，從而所求圓的方程為(x1)2(y)24，故選D.2已知圓C的圓心是直線xy10與x軸的交點，且圓C與直線xy30相切，則圓C的方程是()A(x1)2y22 B(x1)2y28C(x1)2y22 D(x1)2y28解析：選A根據(jù)題意，直線xy10與x軸的交點坐標為(1,0)，即圓心為(1,0)因為圓C與直線xy30相切，所以半徑r，則圓C的方程為(x1)2y22，故選A.3圓心在直線x2y0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得弦的長為2，則圓C的標準方程為_解析：設(shè)圓心坐標為(a，b)，半徑為r.由已知又圓心(a，b)到y(tǒng)軸、x軸的距離分別為|a|，|b|，所以|a|r，|b|23r2.綜上，解得a2，b1，r2，所以圓心坐標為(2,1)，圓C的標準方程為(x2)2(y1)24.答案：(x2)2(y1)24考點(三)直線(圓)與圓的位置關(guān)系主要考查直線(圓)與圓位置關(guān)系的判斷、根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系解決參數(shù)問題或與圓有關(guān)的軌跡問題.典例感悟典例(1)已知圓M：x2y22ay0(a0)截直線xy0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是()A內(nèi)切B相交C外切 D相離(2)(2018·麗水、衢州、湖州高三聯(lián)考)已知直線l1：2xy10，直線l2：4x2ya0，圓C：x2y22x0.若圓C上任意一點P到兩直線l1，l2的距離之和為定值2，則實數(shù)a_.解析(1)由題知圓M：x2(ya)2a2(a0)，圓心(0，a)到直線xy0的距離d，所以22，解得a2，即圓M的圓心為(0,2)，半徑為2.又圓N的圓心為(1,1)，半徑為1，則圓M，圓N的圓心距|MN|，兩圓半徑之差為1，半徑之和為3,1<<3，故兩圓相交(2)由題可知l1l2，若圓C上任意一點到兩直線的距離之和為定值2，則兩平行線之間的距離為2，且位于圓的兩側(cè)因為直線l1：2xy10，直線l2：2xy0，所以l1與l2之間的距離d2，解得a18或a22，當a22時，兩條直線在圓的同側(cè)，此時圓C上的點到兩直線的距離之和大于2，舍去，故a18.答案(1)B(2)18方法技巧1直線(圓)與圓位置關(guān)系問題的求解思路(1)研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過將圓心到直線的距離同半徑做比較實現(xiàn)，兩圓位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較(2)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式過圓外一點求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外點的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計算2直線截圓所得弦長的求解方法(1)根據(jù)平面幾何知識構(gòu)建直角三角形，把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，即l2(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)(2)根據(jù)公式：l|x1x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標，k為直線的斜率)(3)求出交點坐標，用兩點間的距離公式求解演練沖關(guān)1如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y2x1與圓x2y24相交于A，B兩點，則cosAOB()ABC D解析：選D因為圓x2y24的圓心為O(0,0)，半徑為2，所以圓心O到直線y2x1的距離d，所以弦長|AB|22.在AOB中，由余弦定理得cosAOB.2(2018·浙江名師預(yù)測卷)已知圓C的方程為x2y21，直線l的方程為xy2，過圓C上任意一點P作與l夾角為45°的直線，交l于點A，則|PA|的最小值為()A. B1C.1 D2解析：選D由題意可知，直線PA平行于坐標軸，或與坐標軸重合不妨設(shè)直線PAy軸，設(shè)P(cos ，sin )，則A(cos ，2cos )，|PA|2cos sin |2sin(45°)|，|PA|的最小值為2.故選D.3已知動圓C過A(4,0)，B(0，2)兩點，過點M(1，2)的直線交圓C于E，F(xiàn)兩點，當圓C的面積最小時，|EF|的最小值為_解析：依題意得，動圓C的半徑不小于|AB|，即當圓C的面積最小時，AB是圓C的一條直徑，此時圓心C是線段AB的中點，即點C(2，1)，又點M的坐標為(1，2)，且|CM|<，所以點M位于圓C內(nèi)，所以當點M為線段EF的中點時，|EF|最小，其最小值為22.答案：2 (一) 主干知識要記牢1直線方程的五種形式點斜式y(tǒng)y1k(xx1)(直線過點P1(x1，y1)，且斜率為k，不能表示y軸和平行于y軸的直線)斜截式y(tǒng)kxb(b為直線在y軸上的截距，且斜率為k，不能表示y軸和平行于y軸的直線)兩點式(直線過點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1x2，y1y2，不能表示坐標軸和平行于坐標軸的直線)截距式1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a0，b0，不能表示坐標軸、平行于坐標軸和過原點的直線)一般式AxByC0(其中A，B不同時為0)2點到直線的距離及兩平行直線間的距離(1)點P(x0，y0)到直線AxByC0的距離為d.(2)兩平行線l1：AxByC10，l2：AxByC20間的距離為d.3圓的方程(1)圓的標準方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圓的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F>0)(3)圓的直徑式方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圓的直徑的兩端點是A(x1，y1)，B(x2，y2)4直線與圓位置關(guān)系的判定方法(1)代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：>0相交，<0相離，0相切(2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設(shè)圓心到直線的距離為d，則d<r相交，d>r相離，dr相切5圓與圓的位置關(guān)系已知兩圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，則(1)當|O1O2|r1r2時，兩圓外離；(2)當|O1O2|r1r2時，兩圓外切；(3)當|r1r2|O1O2|r1r2時，兩圓相交；(4)當|O1O2|r1r2|時，兩圓內(nèi)切；(5)當0|O1O2|r1r2|時，兩圓內(nèi)含(二) 二級結(jié)論要用好1直線l1：A1xB1yC10與直線l2：A2xB2yC20的位置關(guān)系(1)平行A1B2A2B10且B1C2B2C10；(2)重合A1B2A2B10且B1C2B2C10；(3)相交A1B2A2B10；(4)垂直A1A2B1B20.針對練1若直線l1：mxy80與l2：4x(m5)y2m0垂直，則m_.解析：l1l2，4m(m5)0，m1.答案：12若點P(x0，y0)在圓x2y2r2上，則圓過該點的切線方程為：x0xy0yr2.針對練2過點(1，)且與圓x2y24相切的直線l的方程為_解析：點(1，)在圓x2y24上，切線方程為xy4，即xy40.答案：xy40(三) 易錯易混要明了1易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據(jù)直線在兩坐標軸上的截距相等設(shè)方程時，忽視截距為0的情況，直接設(shè)為1；再如，忽視斜率不存在的情況直接將過定點P(x0，y0)的直線設(shè)為yy0k(xx0)等針對練3已知直線過點P(1,5)，且在兩坐標軸上的截距相等，則此直線的方程為_解析：當截距為0時，直線方程為5xy0；當截距不為0時，設(shè)直線方程為1，代入P(1,5)，得a6，直線方程為xy60.答案：5xy0或xy602討論兩條直線的位置關(guān)系時，易忽視系數(shù)等于零時的討論導(dǎo)致漏解，如兩條直線垂直時，一條直線的斜率不存在，另一條直線斜率為0.如果利用直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20垂直的充要條件A1A2B1B20，就可以避免討論針對練4已知直線l1：(t2)x(1t)y1與l2：(t1)x(2t3)y20互相垂直，則t的值為_解析：l1l2，(t2)(t1)(1t)(2t3)0，解得t1或t1.答案：1或13求解兩條平行線之間的距離時，易忽視兩直線系數(shù)不相等，而直接代入公式，導(dǎo)致錯解針對練5兩平行直線3x2y50與6x4y50間的距離為_解析：把直線6x4y50化為3x2y0，故兩平行線間的距離d.答案：4易誤認為兩圓相切即為兩圓外切，忽視兩圓內(nèi)切的情況導(dǎo)致漏解針對練6已知兩圓x2y22x6y10，x2y210x12ym0相切，則m_.解析：由x2y22x6y10，得(x1)2(y3)211，由x2y210x12ym0，得(x5)2(y6)261m.當兩圓外切時，有，解得m2510；當兩圓內(nèi)切時，有，解得m2510.答案：25±10 A組107提速練一、選擇題1已知直線l：yk(x)和圓C：x2(y1)21，若直線l與圓C相切，則k()A0B.C.或0 D.或0解析：選D因為直線l與圓C相切，所以圓心C(0,1)到直線l的距離d1，解得k0或k，故選D.2(2018·寧波十校高三5月適應(yīng)性考試)已知直線l過圓(x1)2(y2)21的圓心，當原點到直線l距離最大時，直線l的方程為()Ay2 Bx2y50Cx2y30 Dx2y50解析：選D設(shè)圓心為M，則M(1,2)當l與OM垂直時，原點到l的距離最大作出示意圖如圖，kOM2，l的斜率為.直線l的方程為y2(x1)，即x2y50.3直線l：ykx1與圓O：x2y21相交于A，B兩點，則“k1”是“|AB|”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A依題意，注意到|AB|等價于圓心O到直線l的距離等于，即有，k±1.因此，“k1”是“|AB|”的充分不必要條件4若三條直線l1：4xy3，l2：mxy0，l3：xmy2不能圍成三角形，則實數(shù)m的取值最多有()A2個 B3個 C4個 D6個解析：選C三條直線不能圍成三角形，則至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點若l1l2，則m4；若l1l3，則m；若l2l3，則m的值不存在；若三條直線相交于同一點，則m1或.故實數(shù)m的取值最多有4個，故選C.5(2018·溫州模擬)在直角坐標系xOy中，已知點A(0，1)，B(2,0)，過A的直線交x軸于點C(a,0)，若直線AC的傾斜角是直線AB傾斜角的2倍，則a()A. B.C1 D.解析：選B設(shè)直線AC的傾斜角為，直線AB的傾斜角為，即有tan tan 2.又tan ，tan ，所以，解得a.6與直線xy20和曲線x2y212x12y540都相切的半徑最小的圓的標準方程是()A(x2)2(y2)22B(x2)2(y2)22C(x2)2(y2)22D(x2)2(y2)22解析：選D由題意知，曲線方程為(x6)2(y6)2(3)2，過圓心(6,6)作直線xy20的垂線，垂線方程為yx，則所求的最小圓的圓心必在直線yx上，又圓心(6,6)到直線xy20的距離d5，故最小圓的半徑為，圓心坐標為(2,2)，所以所求圓的標準方程為(x2)2(y2)22.7(2018·長沙模擬)若直線(21)x(2)y20(R)被圓C：(x1)2y24所截得的弦為MN，則|MN|的最小值是()A. B2C2 D4解析：選C直線方程(21)x(2)y20(R)可化為(2xy1)(x2y2)0(R)，若則所以直線恒過圓C：(x1)2y24內(nèi)的定點P(0，1)，當直線(21)x(2)y20(R)與直線CP垂直時，|MN|最小，此時|MN|222.故選C.8(2018·合肥質(zhì)檢)設(shè)圓x2y22x2y20的圓心為C，直線l過(0,3)且與圓C交于A，B兩點，若|AB|2，則直線l的方程為()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90解析：選B由題可知，圓心C(1,1)，半徑r2.當直線l的斜率不存在時，直線方程為x0，計算出弦長為2，符合題意；當直線l的斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為ykx3，由弦長為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有1，解得k，所以直線l的方程為yx3，即3x4y120.綜上，直線l的方程為x0或3x4y120，故選B.9兩個圓C1：x2y22axa240(aR)與C2：x2y22by1b20(bR)恰有三條公切線，則ab的最小值為()A3 B3C6 D6解析：選B兩個圓恰有三條公切線，則兩圓外切，兩圓的標準方程為圓C1：(xa)2y24，圓C2：x2(yb)21，所以C1(a,0)，C2(0，b)，213，即a2b29.由2，得(ab)218，所以3ab3，當且僅當“ab”時等號成立所以ab的最小值為3.10若圓(x3)2(y5)2r2上有且只有兩個點到直線4x3y20的距離等于1，則半徑r的取值范圍是()A(4,6) B4,6C(4,5) D(4,5解析：選A設(shè)直線4x3ym0與直線4x3y20之間的距離為1，則有1，m3或m7.圓心(3，5)到直線4x3y30的距離等于6，圓心(3，5)到直線4x3y70的距離等于4，因此所求圓半徑的取值范圍是(4,6)，故選A.二、填空題11直線l：xy230(R)恒過定點_，P(1，1)到直線l的距離的最大值為_解析：直線l：xy230(R)，即(y3)x20，令解得直線l恒過定點(2,3)不妨記Q(2,3)，則P(1,1)到直線l的距離的最大值為|PQ|.答案：(2,3)12若直線l1：yxa和直線l2：yxb將圓(x1)2(y2)28分成長度相等的四段弧，則a2b2_.解析：由題意得直線l1和l2截圓所得弦所對的圓心角相等，均為90°，因此圓心到兩直線的距離均為r2，即2，得a2b2(21)2(12)218.答案：1813已知點M(2,1)及圓x2y24，則過M點的圓的切線方程為_，若直線axy40與該圓相交于A，B兩點，且|AB|2，則a_.解析：若過點M的圓的切線斜率不存在，則切線方程為x2，經(jīng)驗證滿足條件若切線斜率存在，可設(shè)切線方程為yk(x2)1，由圓心到直線的距離等于半徑得2，解得k，故切線方程為y(x2)1，即3x4y100.綜上，過M點的圓的切線方程為x2或3x4y100.由，得a±.答案：x2或3x4y100±14已知C的方程為x22xy20，直線l：kxyx2k0與C交于A，B兩點，當|AB|取最大值時，k_；當ABC的面積最大時，k_.解析：圓的方程可化為(x1)2y21，圓心C(1,0)，半徑為1，當直線過圓心時，弦AB為直徑，|AB|最大，此時k1.設(shè)ACB，則SABC×1×1×sin sin ，當90°時，ABC的面積最大，此時圓心到直線的距離為，由d，解得k0或k6.答案：10或615已知圓O：x2y2r2與圓C：(x2)2y2r2(r>0)在第一象限的一個公共點為P，過點P作與x軸平行的直線分別交兩圓于不同兩點A，B(異于P點)，且OAOB，則直線OP的斜率是_，r_.解析：兩圓的方程相減得，4x40，則點P的橫坐標x1.易知P為AB的中點，因為OAOB，所以|OP|AP|PB|，所以O(shè)AP為等邊三角形，所以APO60°，因為ABx軸，所以POC60°，所以直線OP的斜率為.設(shè)P(1，y1)，則y1，所以P(1，)，代入圓O，解得r2.答案：216(2018·浦江模擬)設(shè)A是直線yx4上一點，P，Q是圓C：x2(y2)217上不同的兩點，若圓心C是APQ的重心則APQ面積的最大值為_解析：如圖，圓心C是APQ的重心，ACPQ，設(shè)C到PQ的距離為x，則PQ2，則A到PQ的距離為3x，SPAQ×2×3x3·x3·.當且僅當x，即x時等號成立APQ面積的最大值為.答案：17定義：若平面點集A中的任一個點(x0，y0)，總存在正實數(shù)r，使得集合(x，y)|<rA，則稱A為一個開集，給出下列集合：(x，y)|x2y21；(x，y)|xy2>0；(x，y)|xy|6；(x，y)|0<x2(y)2<1其中是開集的是_(請寫出所有符合條件的序號)解析：集合(x，y)|<r表示以(x0，y0)為圓心，以r為半徑的圓面(不包括圓周)，由開集的定義知，集合A應(yīng)該無邊界，故由表示的圖形知，只有符合題意答案：B組能力小題保分練1若a，b是正數(shù)，直線2axby20被圓x2y24截得的弦長為2，則ta取得最大值時a的值為()A. B.C. D.解析：選D因為圓心到直線的距離d，則直線被圓截得的弦長L222，所以4a2b24.則ta·(2a)·××·8a212(44a2)，當且僅當時等號成立，此時a，故選D.2已知直線xyk0(k>0)與圓x2y24交于不同的兩點A，B，O是坐標原點，且有|，那么k的取值范圍是()A(，) B，)C，2) D，2)解析：選C當|時，O，A，B三點為等腰三角形AOB的三個頂點，其中OAOB2，AOB120°，從而圓心O到直線xyk0(k>0)的距離為1，即1，解得k；當k>時，|>|，又直線與圓x2y24有兩個不同的交點，故<2，即k<2.綜上，k的取值范圍為，2)3已知圓C：(x1)2y2r2(r>0)設(shè)條件p：0<r<3，條件q：圓C上至多有2個點到直線xy30的距離為1，則p是q的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選C圓C：(x1)2y2r2的圓心(1,0)到直線xy30的距離d2.當2r>1，即0<r<1時，直線在圓外，圓上沒有點到直線的距離為1；當2r1，即r1時，直線在圓外，圓上只有1個點到直線的距離為1；當0<2r<1，即1<r<2時，直線在圓外，此時圓上有2個點到直線的距離為1；當2r0，即r2時，直線與圓相切，此時圓上有2個點到直線的距離為1；當0<r2<1，即2<r<3時，直線與圓相交，此時圓上有2個點到直線的距離為1；當r21，即r3時，直線與圓相交，此時圓上有3個點到直線的距離為1；當r2>1，即r>3時，直線與圓相交，此時圓上有4個點到直線的距離為1.綜上，當0<r<3時，圓C上至多有2個點到直線xy30的距離為1；由圓C上至多有2個點到直線xy30的距離為1可得0<r<3.故p是q的充要條件，故選C.4已知圓C：x2y22x4y10的圓心在直線axby10上，則ab的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選B把圓的方程化為標準方程得，(x1)2(y2)24，圓心坐標為(1,2)，根據(jù)題意可知，圓心在直線axby10上，把圓心坐標代入直線方程得，a2b10，即a12b，則ab(12b)b2b2b22，當b時，ab有最大值，故ab的取值范圍為.5已知點A(3,0)，若圓C：(xt)2(y2t4)21上存在點P，使|PA|2|PO|，其中O為坐標原點，則圓心C的橫坐標t的取值范圍為_解析：設(shè)點P(x，y)，因為|PA|2|PO|，所以2，化簡得(x1)2y24，所以點P在以M(1,0)為圓心，2為半徑的圓上由題意知，點P(x，y)在圓C上，所以圓C與圓M有公共點，則1|CM|3，即1 3，開方得15t214t179.不等式5t214t160的解集為R；由5t214t80，得t2.所以圓心C的橫坐標t的取值范圍為.答案：6設(shè)點M(x0,1)，若在圓O：x2y21上存在點N，使得OMN45°，則x0的取值范圍是_解析：由題意可知M在直線y1上運動，設(shè)直線y1與圓x2y21相切于點P(0,1)當x00即點M與點P重合時，顯然圓上存在點N(±1，0)符合要求；當x00時，過M作圓的切線，切點之一為點P，此時對于圓上任意一點N，都有OMNOMP，故要存在OMN45°，只需OMP45°.特別地，當OMP45°時，有x0±1.結(jié)合圖形可知，符合條件的x0的取值范圍為1,1答案：1,1第二講 小題考法圓錐曲線的方程與性質(zhì)考點(一)圓錐曲線的定義與標準方程主要考查圓錐曲線的定義及其應(yīng)用、標準方程的求法.典例感悟典例(1)已知雙曲線y21的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線上，且滿足|PF1|PF2|2，則PF1F2的面積為()A1B.C. D.(2)已知橢圓的中心在原點，離心率e，且它的一個焦點與拋物線y24x的焦點重合，則此橢圓方程為()A.1 B.1C.y21 D.y21解析(1)在雙曲線y21中，a，b1，c2.不妨設(shè)P點在雙曲線的右支上，則有|PF1|PF2|2a2，又|PF1|PF2|2，|PF1|，|PF2|.又|F1F2|2c4，而|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，PF1PF2，SPF1F2×|PF1|×|PF2|×()×()1.故選A.(2)由題可知橢圓的焦點在x軸上，所以設(shè)橢圓的標準方程為1(a>b>0)，而拋物線y24x的焦點為(1,0)，所以c1，又離心率e，解得a2，b2a2c23，所以橢圓方程為1.故選A.答案(1)A(2)A方法技巧1圓錐曲線的定義(1)橢圓：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)雙曲線：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)拋物線：|MF|d(d為M點到準線的距離)注意應(yīng)用圓錐曲線定義解題時，易忽視定義中隱含條件導(dǎo)致錯誤2求解圓錐曲線標準方程的思路方法(1)定型，即指定類型，也就是確定圓錐曲線的類型、焦點位置，從而設(shè)出標準方程(2)計算，即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外，當焦點位置無法確定時，拋物線常設(shè)為y22px或x22py(p0)，橢圓常設(shè)為mx2ny21(m>0，n>0)，雙曲線常設(shè)為mx2ny21(mn>0)演練沖關(guān)1已知雙曲線1(a0，b0)的焦距為4，漸近線方程為2x±y0，則雙曲線的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：選A易知雙曲線1(a0，b0)的焦點在x軸上，所以由漸近線方程為2x±y0，得2，因為雙曲線的焦距為4，所以c2.結(jié)合c2a2b2，可得a2，b4，所以雙曲線的方程為1.2(2018·杭二中高三期中)過雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點F的直線l：yx4與雙曲線C只有一個公共點，則雙曲線C的焦距為_，C的離心率為_解析：雙曲線C：1(a>0，b>0)的漸近線方程為y±x，因為過雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點F的直線l：yx4與雙曲線C只有一個公共點，所以又因為a2b2c2，所以a2，b2，c4，所以2c8，e2.答案：823已知拋物線x24y的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，過P作PAl于點A，當AFO30°(O為坐標原點)時，|PF|_.解析：法一：令l與y軸的交點為B，在RtABF中，AFB30°，|BF|2，所以|AB|.設(shè)P(x0，y0)，則x0±，代入x24y中，得y0，所以|PF|PA|y01.法二：如圖所示，AFO30°，PAF30°，又|PA|PF|，APF為頂角APF120°的等腰三角形，而|AF|，|PF|.答案：考點(二)圓錐曲線的幾何性質(zhì)主要考查橢圓、雙曲線的離心率的計算、雙曲線漸近線的應(yīng)用以及拋物線的有關(guān)性質(zhì).典例感悟典例(1)(2018·浙江名師預(yù)測卷)設(shè)拋物線C：y22px(p>0)的焦點為F，點M在拋物線C上，|MF|5，若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則拋物線C的方程為()Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x(2)(2017·全國卷)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點若MAN60°，則C的離心率為_解析(1)因為拋物線C的方程為y22px(p>0)，所以焦點F.設(shè)M(x，y)，由拋物線的性質(zhì)可得|MF|x5，所以x5.因為圓心是MF的中點，所以根據(jù)中點坐標公式可得圓心橫坐標為，又由已知可得圓的半徑也為，故可知該圓與y軸相切于點(0,2)，故圓心縱坐標為2，則點M的縱坐標為4，所以M.將點M的坐標代入拋物線方程，得p210p160，所以p2或p8，所以拋物線C的方程為y24x或y216x，故選C.(2)雙曲線的右頂點為A(a,0)，一條漸近線的方程為yx，即bxay0，則圓心A到此漸近線的距離d.又因為MAN60°，圓的半徑為b，所以b·sin 60°，即，所以e.答案(1)C(2)方法技巧1橢圓、雙曲線的離心率(離心率范圍)的求法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值2雙曲線的漸近線的求法及用法(1)求法：把雙曲線標準方程等號右邊的1改為零，分解因式可得(2)用法：可得或的值；利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程演練沖關(guān)1已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩條漸近線的夾角為60°，則雙曲線C的離心率為()A. B.C.或 D.或2解析：選D兩條漸近線的夾角為60°，且兩條漸近線關(guān)于坐標軸對稱，tan 30°或tan 60°.由，得e21，e(舍負)；由，得e213，e2(舍負)故選D.2(2017·全國卷)設(shè)A，B是橢圓C：1長軸的兩個端點若C上存在點M滿足AMB120°，則m的取值范圍是()A(0,19，) B(0， 9，)C(0,14，) D(0， 4，)解析：選A當0m3時，焦點在x軸上，要使C上存在點M滿足AMB120°，則tan 60°，即，解得0m1.當m3時，焦點在y軸上，要使C上存在點M滿足AMB120°，則tan 60°，即，解得m9.故m的取值范圍為(0,19，)3如圖，拋物線y24x的一條弦AB經(jīng)過焦點F，取線段OB的中點D，延長OA至點C，使|OA|AC|，過點C，D作y軸的垂線，垂足分別為點E，G，則|EG|的最小值為_解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，則y32y1，y4y2，|EG|y4y3y22y1.因為AB為拋物線y24x的焦點弦，所以y1y24，所以|EG|y22×y224，當且僅當y2，即y24時取等號，所以|EG|的最小值為4.答案：4考點(三)圓錐曲線與圓、直線的綜合問題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及圓錐曲線與圓相結(jié)合的問題.典例感悟典例(1)已知直線ykxt與圓x2(y1)21相切且與拋物線C：x24y交于不同的兩點M，N，則實數(shù)t的取值范圍是()A(，3)(0，)B(，2)(0，)C(3,0) D(2,0)(2)已知雙曲線C：mx2ny21(mn<0)的一條漸近線與圓x2y26x2y90相切，則C的離心率為()A. B.C.或 D.或解析(1)因為直線與圓相切，所以1，即k2t22t.將直線方程代入拋物線方程并整理得x24kx4t0，于是16k216t16(t22t)16t>0，解得t>0或t<3.故選A.(2)圓x2y26x2y90的標準方程為(x3)2(y1)21，則圓心為M(3,1)，半徑r1.當m<0，n>0時，由mx2ny21得1，則雙曲線的焦點在y軸上，不妨設(shè)雙曲線與圓相切的漸近線方程為yx，即axby0，則圓心到直線的距離d1，即|3ab|c，平方得9a26abb2c2a2b2，即8a26ab0，則ba，平方得b2a2c2a2，即c2a2，則ca，離心率e；當m>0，n<0時，同理可得e，故選D.答案(1)A(2)D方法技巧處理圓錐曲線與圓相結(jié)合問題的注意點(1)注意圓心、半徑和平面幾何知識的應(yīng)用，如直徑所對的圓周角為直角，構(gòu)成了垂直關(guān)系；弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形等(2)注意圓與特殊線的位置關(guān)系，如圓的直徑與橢圓長軸(短軸)，與雙曲線的實軸(虛軸)的關(guān)系；圓與過定點的直線、雙曲線的漸近線、拋物線的準線的位置關(guān)系等演練沖關(guān)1已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，P是雙曲線C右支上一點，且|PF2|F1F2|，若直線PF1與圓x2y2a2相切，則雙曲線的離心率為()A.B.C2 D3解析：選B取線段PF1的中點為A，連接AF2，又|PF2|F1F2|，則AF2PF1，直線PF1與圓x2y2a2相切，|AF2|2a，|PF2|F1F2|2c，|PF1|2a2c，|PA|·|PF1|ac，則在RtAPF2中，4c2(ac)24a2，化簡得(3c5a)(ac)0，則雙曲線的離心率為.2已知橢圓C：9x2y2m2(m>0)，直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M，則直線OM與直線l的斜率之積為()A9 BC D3解析：選A設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)將ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb，故直線OM的斜率kOM，所以kOM·k9，即直線OM與直線l的斜率之積為9. (一) 主干知識要記牢圓錐曲線的定義、標準方程和性質(zhì)名稱橢圓雙曲線拋物線定義|PF1|PF2|2a(2a>|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2a<|F1F2|)|PF|PM|，點F不在直線l上，PMl于M標準方程1(a>b>0)1(a>0，b>0)y22px(p>0)圖形幾何性質(zhì)軸長軸長2a，短軸長2b實軸長2a，虛軸長2b離心率e (0<e<1)e (e>1)e1漸近線y±x(二) 二級結(jié)論要用好1橢圓焦點三角形的3個規(guī)律設(shè)橢圓方程是1(a>b>0)，焦點F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，點P的坐標是(x0，y0)(1)三角形的三個邊長是|PF1|aex0，|PF2|aex0，|F1F2|2c，e為橢圓的離心率(2)如果PF1F2中F1PF2，則這個三角形的面積SPF1F2c|y0|b2tan .(3)橢圓的離心率e.2雙曲線焦點三角形的2個結(jié)論P(x0，y0)為雙曲線1(a>0，b>0)上的點，PF1F2為焦點三角形(1)面積公式SPF1F2c|y0|r1r2sin (其中|PF1|r1，|PF2|r2，F(xiàn)1PF2)(2)焦半徑若P在右支上，|PF1|ex0a，|PF2|ex0a；若P在左支上，|PF1|ex0a，|PF2|ex0a.3拋物線y22px(p>0)焦點弦AB的4個結(jié)論(1)xA·xB；(2)yA·yBp2；(3)|AB|(是直線AB的傾斜角)；(4)|AB|xAxBp.4圓錐曲線的通徑(1)橢圓通徑長為；(2)雙曲線通徑長為；(3)拋物線通徑長為2p.5圓錐曲線中的最值(1)橢圓上兩點間的最大距離為2a(長軸長)(2)雙曲線上兩點間的最小距離為2a(實軸長)(3)橢圓焦半徑的取值范圍為ac，ac，ac與ac分別表示橢圓焦點到橢圓上的點的最小距離與最大距離(4)拋物線上的點中頂點到拋物線準線的距離最短(三) 易錯易混要明了1利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件如在雙曲線的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a|F1F2|.如果不滿足第一個條件，動點到兩定點的距離之差為常數(shù)，而不是差的絕對值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一支針對練1ABC的頂點A(5,0)，B(5,0)，ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x3上，則頂點C的軌跡方程是_解析：如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為P，過點P作AC，BC的垂線PD，PF，垂足分別為D，F(xiàn)，則|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，|CA|CB|AD|BF|6.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為1(x>3)答案：1(x>3)2解決橢圓、雙曲線、拋物線問題時，要注意其焦點的位置針對練2若橢圓1的離心率為，則k的值為_解析：當焦點在x軸上時，a28k，b29，e2，解得k4.當焦點在y軸上時，a29，b28k，e2，解得k.答案：4或3直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構(gòu)成的方程組有實數(shù)解，消元后得到的方程中要注意：二次項的系數(shù)是否為零，判別式0的限制尤其是在應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題時，必須先有“判別式0”；在解決交點、弦長、中點、斜率、對稱或存在性問題時都應(yīng)在“>0”下進行 A組107提速練一、選擇題1(2018·浙江高考)雙曲線y21的焦點坐標是()A(，0)，(，0)B(2,0)，(2,0)C(0，)，(0，) D(0，2)，(0,2)解析：選B雙曲線方程為y21，a23，b21，且雙曲線的焦點在x軸上，c2，即得該雙曲線的焦點坐標為(2,0)，(2,0)2雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率e，則它的漸近線方程為()Ay±x By±xCy±x Dy±x解析：選A由雙曲線C：1(a>0，b>0)的離心率e，可得，1，可得，故雙曲線的漸近線方程為y±x.3(2017·全國卷)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為()A. B.C. D.解析：選A以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2y2a2，由圓心到直線bxay2ab0的距離da，得a23b2，所以C的離心率e .4(2018·溫州適應(yīng)性測試)已知雙曲線1(a>0，b>0)的離心率e(1,2，則其經(jīng)過第一、三象限的漸近線的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選C因為雙曲線1(a>0，b>0)的離心率e(1,2，所以1<2，所以1<4，又c2a2b2，所以0<3，所以，所以.因為1(a>0，b>0)經(jīng)過第一、三象限的漸近線的方程為yx，設(shè)其傾斜角為，則tan ，又，所以，故選C.5(2017·全國卷)過拋物線C：y24x的焦點F，且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方)，l為C的準線，點N在l上且MNl，則M到直線NF的距離為()A. B2C2 D3解析：選C由題意，得F(1,0)，則直線FM的方程是y(x1)由得x或x3.由M在x軸的上方，得M(3,2)，由MNl，得|MN|MF|314.又NMF等于直線FM的傾斜角，即NMF60°，因此MNF是邊長為4的等邊三角形，所以點M到直線NF的距離為4×2.6已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓