（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三單元 直線與圓學(xué)案 理

第十三單元 直線與圓教材復(fù)習(xí)課“直線與圓”相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)一課過(guò)直線的方程過(guò)雙基1直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角；規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為；范圍：直線l的傾斜角的取值范圍是0，)(2)直線的斜率定義：當(dāng)直線l的傾斜角時(shí)，其傾斜角的正切值tan 叫做這條直線的斜率，斜率通常用小寫(xiě)字母k表示，即ktan_；斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率公式為k.2直線方程的五種形式名稱(chēng)幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率ykxb與x軸不垂直的直線點(diǎn)斜式過(guò)一點(diǎn)、斜率yy0k(xx0)兩點(diǎn)式過(guò)兩點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距1不過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式AxByC0(A2B20)所有直線1已知A(m，2)，B(3,0)，若直線AB的斜率為2，則m的值為()A1B2C1或2 D2解析：選B由直線AB的斜率k2，解得m2.2若經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(5，m)和(m,8)的直線的斜率大于1，則m的取值范圍是()A(5,8) B(8，)C. D.解析：選D由題意知>1，即<0，5<m<.3過(guò)點(diǎn)C(2，1)且與直線xy30垂直的直線是()Axy10 Bxy10Cxy30 Dxy10解析：選C設(shè)所求直線斜率為k，直線xy30的斜率為1，且所求直線與直線xy30垂直，k1.又直線過(guò)點(diǎn)C(2，1)，所求直線方程為y1x2，即xy30.4已知直線l：axy2a0在x軸和y軸上的截距相等，則a的值是()A1 B1C2或1 D2或1解析：選D由題意可知a0.當(dāng)x0時(shí)，ya2.當(dāng)y0時(shí)，x.a2，解得a2或a1.5經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,1)，且傾斜角為直線yx1的傾斜角的的直線方程為_(kāi)解析：由題意可知，所求直線方程的傾斜角為45°，即斜率k1，故所求直線方程為y1x4，即xy50.答案：xy50清易錯(cuò)1用直線的點(diǎn)斜式求方程時(shí)，在斜率k不明確的情況下，注意分k存在與不存在討論，否則會(huì)造成失誤2直線的截距式中易忽視截距均不為0這一條件，當(dāng)截距為0時(shí)可用點(diǎn)斜式1過(guò)點(diǎn)(5,10)且到原點(diǎn)的距離是5的直線的方程為_(kāi)解析：當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線方程為x50；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其為k，則所求直線方程為y10k(x5)，即kxy105k0.由點(diǎn)到直線的距離公式，得5，解得k.故所求直線方程為3x4y250.綜上可知，所求直線方程為x50或3x4y250.答案：x50或3x4y2502經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為_(kāi)解析：當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，方程為yx，即xy0；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為xya，把點(diǎn)(1,1)代入直線方程可得a2，故直線方程為xy20.綜上可得所求的直線方程為xy0或xy20.答案：xy0或xy20圓的方程過(guò)雙基1圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2(r0)圓心：(a，b)，半徑：一般方程x2y2DxEyF0，(D2E24F0)圓心：，半徑：2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0a)2(y0b)2r2.1若方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓，則a的取值范圍是()A(，2) B.C(2,0) D.解析：選D由題意知a24a24(2a2a1)>0，解得2<a<.2(2018·天津模擬)若坐標(biāo)原點(diǎn)在圓(xm)2(ym)24的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(1,1) B(，)C(，) D.解析：選C因?yàn)?0,0)在(xm)2(ym)24的內(nèi)部，則有(0m)2(0m)2<4，解得<m<.3(2015·北京高考)圓心為(1,1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22解析：選D圓的半徑r，圓心坐標(biāo)為(1,1)，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)22.4若圓C的圓心在x軸上，且過(guò)點(diǎn)A(1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為_(kāi)解析：設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0)，點(diǎn)A(1,1)和B(1,3)在圓C上，|CA|CB|，即，解得a2，所以圓心為C(2,0)，半徑|CA|，圓C的方程為(x2)2y210.答案：(x2)2y210兩條直線的位置關(guān)系過(guò)雙基1兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行：對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1k2.當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1l2.(2)兩條直線垂直：如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1l2k1·k21.當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1l2.2兩條直線的交點(diǎn)的求法直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解3距離P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)之間的距離|P1P2|點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d平行線AxByC10與AxByC20間距離d1已知直線l1：(3a)x4y53a和直線l2：2x(5a)y8平行，則a()A7或1 B7C7或1 D1解析：選B由題意可得a5，所以，解得a7(a1舍去)2圓x2y26x2y30的圓心到直線xay10的距離為1，則a()A BC. D2解析：選B圓x2y26x2y30可化為(x3)2(y1)27，其圓心(3,1)到直線xay10的距離d1，解得a.3已知直線l1：(m2)xy50與l2：(m3)x(18m)y20垂直，則實(shí)數(shù)m的值為()A2或4 B1或4C1或2 D6或2解析：選D當(dāng)m18時(shí)，兩條直線不垂直，舍去；當(dāng)m18時(shí)，由l1l2，可得(m2)·1，化簡(jiǎn)得(m6)(m2)0，解得m6或2.4若兩條平行直線4x3y60和4x3ya0之間的距離等于2，則實(shí)數(shù)a_.解析：兩條平行直線的方程為4x3y60和4x3ya0，由平行線間的距離公式可得2，即|6a|10，解得a4或16.答案：4或16清易錯(cuò)1在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，易忽視斜率是否存在，兩條直線都有斜率可根據(jù)條件進(jìn)行判斷，若無(wú)斜率，要單獨(dú)考慮2運(yùn)用兩平行直線間的距離公式時(shí)易忽視兩方程中的x，y的系數(shù)分別相等這一條件盲目套用公式導(dǎo)致出錯(cuò)1已知直線l1：x(a2)y20，直線l2：(a2)xay10，則“a1”是“l(fā)1l2”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A法一：(1)當(dāng)直線l1的斜率不存在，即a2時(shí)，有l(wèi)1：x20，l2：2y10，此時(shí)符合l1l2.(2)當(dāng)直線l1的斜率存在，即a2時(shí)，直線l1的斜率k10，若l1l2，則必有直線l2的斜率k2，所以·1，解得a1.綜上所述，l1l2a1或a2.故“a1”是“l(fā)1l2”的充分不必要條件法二：l1l21×(a2)(a2)×a0，解得a1或a2.所以“a1”是“l(fā)1l2”的充分不必要條件2若P，Q分別為直線3x4y120與6x8y50上任意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A. B.C. D.解析：選C因?yàn)?，所以?xún)芍本€平行由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即，所以|PQ|的最小值為.直線與圓的位置關(guān)系過(guò)雙基直線與圓的位置關(guān)系(半徑r，圓心到直線的距離為d)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)000幾何觀點(diǎn)drdrdr1直線yax1與圓x2y22x30的位置關(guān)系是()A相切 B相交C相離 D隨a的變化而變化解析：選B因?yàn)橹本€yax1恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)，又點(diǎn)(0,1)在圓x2y22x30的內(nèi)部，故直線與圓相交2(2018·大連模擬)若a2b22c2(c0)，則直線axbyc0被圓x2y21所截得的弦長(zhǎng)為()A. B1C. D.解析：選D因?yàn)閳A心(0,0)到直線axbyc0的距離d，因此根據(jù)直角三角形的關(guān)系，弦長(zhǎng)的一半就等于 ，所以弦長(zhǎng)為.3已知圓C：x2y26x80，則圓心C的坐標(biāo)為_(kāi)；若直線ykx與圓C相切，且切點(diǎn)在第四象限，則k的值為_(kāi)解析：圓的方程可化為(x3)2y21，故圓心坐標(biāo)為(3,0)；由1，解得k±，由切點(diǎn)在第四象限，可得k.答案：(3,0)圓與圓的位置關(guān)系過(guò)雙基圓與圓的位置關(guān)系(兩圓半徑r1，r2，d|O1O2|)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關(guān)系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|d|r1r2|1若圓x2y21與圓(x4)2(ya)225相切，則實(shí)數(shù)a_.答案：±2或02圓x2y240與圓x2y24x4y120的公共弦長(zhǎng)為_(kāi)解析：由得xy20.又圓x2y24的圓心到直線xy20的距離為.由勾股定理得弦長(zhǎng)的一半為，所以所求弦長(zhǎng)為2.答案：2一、選擇題1直線 xy30的傾斜角為()A.B.C. D.解析：選C直線xy30可化為yx3，直線的斜率為，設(shè)傾斜角為，則tan ，又0<，.2.如圖，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則必有()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2解析：選D由圖可知k10，k20，k30，且k2k3，所以k1k3k2.3經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)，且圓心是兩直線x1與xy2的交點(diǎn)的圓的方程為()A(x1)2y21B(x1)2(y1)21Cx2(y1)21D(x1)2(y1)22解析：選B由得即所求圓的圓心坐標(biāo)為(1,1)，又由該圓過(guò)點(diǎn)(1,0)，得其半徑為1，故圓的方程為(x1)2(y1)21.4過(guò)直線2xy40與xy50的交點(diǎn)，且垂直于直線x2y0的直線方程是()A2xy80 B2xy80C2xy80 D2xy80解析：選A設(shè)過(guò)直線2xy40與xy50的交點(diǎn)的直線方程為2xy4(xy5)0，即(2)x(1)y450，該直線與直線x2y0垂直，k2，解得.所求的直線方程為xy45×0，即2xy80.5已知直線l1：x2yt20和直線l2：2x4y2t30，則當(dāng)l1與l2間的距離最短時(shí)t的值為()A1 B.C. D2解析：選B直線l2：2x4y2t30，即x2y0.l1l2，l1與l2間的距離d，當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)取等號(hào)當(dāng)l1與l2間的距離最短時(shí)t的值為.6已知直線l1：(a3)xy40與直線l2：x(a1)y40垂直，則直線l1在x軸上的截距是()A1 B2C3 D4解析：選B直線l1：(a3)xy40與直線l2：x(a1)y40垂直，a3a10，解得a1，直線l1：2xy40，直線l1在x軸上的截距是2.7一條光線從A處射到點(diǎn)B(0,1)后被y軸反射，則反射光線所在直線的方程為()A2xy10 B2xy10Cx2y10 Dx2y10解析：選B由題意可得點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A在反射光線所在的直線上，又點(diǎn)B(0,1)也在反射光線所在的直線上，則兩點(diǎn)式求得反射光線所在的直線方程為，即2xy10.8若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x3y0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A(x2)221B(x2)2(y1)21C(x2)2(y1)21D.2(y1)21解析：選A由于圓心在第一象限且與x軸相切，故設(shè)圓心為(a,1)(a>0)，又由圓與直線4x3y0相切可得1，解得a2，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2)2(y1)21.二、填空題9已知直線l過(guò)點(diǎn)A(0,2)和B(，3m212m13)(mR)，則直線l的傾斜角的取值范圍為_(kāi)解析：設(shè)此直線的傾斜角為，0<，則tan (m2)2.因?yàn)?，)，所以.答案：10已知點(diǎn)A(1，2)，B(2,3)，若直線l：xyc0與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l在y軸上的截距的取值范圍為_(kāi)解析：如圖，把A(1，2)，B(2,3)分別代入直線l：xyc0，得c的值分別為3,5.故若直線l：xyc0與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l在y軸上的截距的取值范圍為3,5答案：3,511已知直線xy3m0與2xy2m10的交點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)解析：聯(lián)立解得兩直線的交點(diǎn)在第四象限，>0，且<0，解得1<m<，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.答案：12已知圓C：(x1)2(y1)21與x軸切于A點(diǎn)，與y軸切于B點(diǎn)，設(shè)劣弧的中點(diǎn)為M，則過(guò)點(diǎn)M的圓C的切線方程是_解析：因?yàn)閳AC與兩坐標(biāo)軸相切，且M是劣弧的中點(diǎn)，所以直線CM是第二、四象限的角平分線，所以斜率為1，所以過(guò)M的切線的斜率為1.因?yàn)閳A心到原點(diǎn)的距離為，所以|OM|1，所以M，所以切線方程為y1x1，整理得xy20.答案：xy20三、解答題13已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(3,0)，B(2,1)，C(2,3)，求：(1)BC邊所在直線的方程；(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；(3)BC邊的垂直平分線DE的方程解：(1)因?yàn)橹本€BC經(jīng)過(guò)B(2,1)和C(2,3)兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得BC的方程為，即x2y40.(2)設(shè)BC邊的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則x0，y2.BC邊的中線AD過(guò)點(diǎn)A(3,0)，D(0,2)兩點(diǎn)，由截距式得AD所在直線方程為1，即2x3y60.(3)由(1)知，直線BC的斜率k1，則直線BC的垂直平分線DE的斜率k22.由(2)知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2)由點(diǎn)斜式得直線DE的方程為y22(x0)，即2xy20.14已知圓C的方程為x2(y4)21，直線l的方程為2xy0，點(diǎn)P在直線l上，過(guò)點(diǎn)P作圓C的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B.(1)若APB60°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求證：經(jīng)過(guò)A，P，C(其中點(diǎn)C為圓C的圓心)三點(diǎn)的圓必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)解：(1)由條件可得圓C的圓心坐標(biāo)為(0,4)，|PC|2，設(shè)P(a,2a)，則2，解得a2或a，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,4)或.(2)證明：設(shè)P(b,2b)，過(guò)點(diǎn)A，P，C的圓即是以PC為直徑的圓，其方程為x(xb)(y4)(y2b)0，整理得x2y2bx4y2by8b0，即(x2y24y)b(x2y8)0.由解得或所以該圓必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,4)和.高考研究課(一)直線方程命題4角度求方程、判位置、定距離、用對(duì)稱(chēng)全國(guó)卷5年命題分析考點(diǎn)考查頻度考查角度直線方程5年3考多與圓、拋物線結(jié)合考查兩直線位置關(guān)系未考查點(diǎn)到直線的距離5年3考多與圓結(jié)合考查對(duì)稱(chēng)問(wèn)題未考查直線方程的求法典例(1)求過(guò)點(diǎn)A(1,3)，斜率是直線y4x的斜率的的直線方程(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程解(1)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k4×.又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3)，因此所求直線方程為y3(x1)，即4x3y130.(2)當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線方程為1，將(5,2)代入所設(shè)方程，解得a，所以直線方程為x2y10；當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為ykx，則5k2，解得k，所以直線方程為yx，即2x5y0.故所求直線方程為2x5y0或x2y10.方法技巧求直線方程的2個(gè)注意點(diǎn)(1)在求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件(2)對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用(若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)判斷截距是否為零)即時(shí)演練1若直線l過(guò)點(diǎn)A(3,4)，且點(diǎn)B(3,2)到直線l的距離最遠(yuǎn)，則直線l的方程為()A3xy50B3xy50C3xy130 D3xy130解析：選D當(dāng)lAB時(shí)滿(mǎn)足條件kAB，則kl3.直線l的方程為y43(x3)，即3xy130.2已知直線l過(guò)點(diǎn)M(1,1)，且與x軸，y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)|OA|OB|取得最小值時(shí)，直線l的方程為_(kāi)解析：設(shè)A(a,0)，B(0，b)(a0，b0)設(shè)直線l的方程為1，則1，所以|OA|OB|ab(ab)·222·4，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線l的方程為xy20.答案：xy20兩直線的位置關(guān)系典例(1)若直線l1：(m3)x4y3m50與l2：2x(m5)y80平行，則m的值為()A7 B1或7C6 D6或7(2)已知傾斜角為的直線l與直線x2y30垂直，則cos的值為()A. BC1 D解析(1)直線l1的斜率一定存在，因?yàn)閘2：2x(m5)y80，當(dāng)m5時(shí)，l2的斜率不存在，兩直線不平行當(dāng)m5時(shí)，由l1l2，得(m3)(m5)2×40，解得m1或7.當(dāng)m1時(shí)，兩直線重合，故不滿(mǎn)足條件；經(jīng)檢驗(yàn)，m7滿(mǎn)足條件，故選A.(2)由已知得tan 2，則cossin 2.答案(1)A(2)A方法技巧由一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1：A1xB1yC10(AB0)l2：A2xB2yC20(AB0)l1與l2垂直的充要條件A1A2B1B20l1與l2平行的充分條件(A2B2C20)l1與l2相交的充分條件(A2B20)l1與l2重合的充分條件(A2B2C20)提醒在判斷兩直線位置關(guān)系時(shí)，比例式與，的關(guān)系容易記住，在解答選擇、填空題時(shí)，建議多用比例式來(lái)解答即時(shí)演練1過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線x2y20平行的直線方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10解析：選A依題意，設(shè)所求的直線方程為x2ya0，由點(diǎn)(1,0)在所求直線上，得1a0，即a1，則所求的直線方程為x2y10.2若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)，且垂直于直線2xy10，則直線l的方程是_解析：設(shè)垂直于直線2xy10的直線l的方程為x2yc0，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2)，14c0，解得c3，直線l的方程是x2y30.答案：x2y30距離問(wèn)題典例(1)過(guò)直線xy10與 xy0的交點(diǎn)，且與原點(diǎn)的距離等于1的直線有()A0條 B1條C2條 D3條(2)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，5)且與點(diǎn)A(3，2)和點(diǎn)B(1,6)的距離之比為12，求直線l的方程解析(1)解方程組得由于221，則所求直線只有1條答案B(2)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，此時(shí)直線l的方程為x2，點(diǎn)A到直線l的距離為d11，點(diǎn)B到直線l的距離為d23，不符合題意，故直線l的斜率必存在直線l過(guò)點(diǎn)P(2，5)，設(shè)直線l的方程為y5k(x2)即kxy2k50.點(diǎn)A(3，2)到直線l的距離d1，點(diǎn)B(1,6)到直線l的距離d2.d1d212，k218k170，k11，k217.所求直線方程為xy30和17xy290.方法技巧求解距離問(wèn)題的注意點(diǎn)解決與點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的問(wèn)題應(yīng)熟記點(diǎn)到直線的距離公式，若已知點(diǎn)到直線的距離求直線方程，一般考慮待定斜率法，此時(shí)必須討論斜率是否存在即時(shí)演練1已知點(diǎn)A(a,2)到直線l：xy30距離為，則a等于()A1 B±1C3 D1或3解析：選D點(diǎn)A(a,2)到直線l：xy30距離為，a1±2.解得a1或3.2直線l過(guò)點(diǎn)P(1,2)且到點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(4,5)的距離相等，則直線l的方程為_(kāi)解析：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y2k(x1)，即kxyk20.由題意知，即|3k1|3k3|，k.直線l的方程為y2(x1)，即x3y50.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x1，也符合題意答案：x1或x3y50對(duì)稱(chēng)問(wèn)題對(duì)稱(chēng)問(wèn)題是高考?？純?nèi)容之一，也是考查轉(zhuǎn)化能力的一種常見(jiàn)題型常見(jiàn)的命題角度有：(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；(2)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱(chēng)；(3)線關(guān)于線對(duì)稱(chēng)；(4)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的應(yīng)用角度一：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)1已知A，B兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線2xy0和xay0上，且AB線段的中點(diǎn)為P，則線段AB的長(zhǎng)為()A11 B10C9 D8解析：選B依題意a2，P(0,5)，設(shè)A(x,2x)，B(2y，y)，由得A(4,8)，B(4,2)，所以|AB|10.方法技巧點(diǎn)P(x，y)關(guān)于O(a，b)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P(x，y)滿(mǎn)足角度二：點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題2將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)重合，則mn()A. B.C. D.解析：選A由題意可知紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)連線的中垂線，即直線y2x3，它也是點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)連線的中垂線，于是解得故mn方法技巧解決點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題要把握兩點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，則線段MN的中點(diǎn)在直線l上，直線l與直線MN垂直角度三：線關(guān)于線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題3已知直線l：2x3y10，點(diǎn)A(1，2)求：(1)直線m：3x2y60關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)直線m的方程；(2)直線l關(guān)于點(diǎn)A(1，2)對(duì)稱(chēng)的直線l的方程解：(1)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M必在直線m上設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M(a，b)，則解得M.設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N，則由得N(4,3)又m經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4,3)，由兩點(diǎn)式得直線m的方程為9x46y1020.(2)在直線l：2x3y10上任取兩點(diǎn)，如M(1,1)，N(4,3)，則M，N關(guān)于點(diǎn)A(1，2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，N均在直線l上易得M(3，5)，N(6，7)，再由兩點(diǎn)式可得l的方程為2x3y90.方法技巧若直線l1，l2關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，則有如下性質(zhì)：若直線l1與l2相交，則交點(diǎn)在直線l上；若點(diǎn)B在直線l1上，則其關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B在直線l2上角度四：對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的應(yīng)用4已知有條光線從點(diǎn)A(2,1)出發(fā)射向x軸上的B點(diǎn)，經(jīng)過(guò)x軸反射后射向y軸上的C點(diǎn)，再經(jīng)過(guò)y軸反射后到達(dá)點(diǎn)D(2，7)(1)求直線BC的方程；(2)求光線從A點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程解：作出草圖，如圖所示，(1)A(2,1), 點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A(2，1), D(2,7), 點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D(2,7). 由對(duì)稱(chēng)性可得，A，D所在直線方程即為BC所在直線方程， 由兩點(diǎn)式得直線BC的方程為，整理得2xy30. (2)由圖可得，光線從A點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程即為|AD|4.方法技巧解決中心對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的關(guān)鍵在于運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，而解決軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，一般是轉(zhuǎn)化為求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的問(wèn)題，在求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)時(shí)，關(guān)鍵是抓住兩點(diǎn)：一是兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱(chēng)軸垂直；二是兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的中心在對(duì)稱(chēng)軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個(gè)方程，由“平分”列出一個(gè)方程，聯(lián)立求解1(2013·全國(guó)卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)F且與C交于A，B兩點(diǎn)若|AF|3|BF|，則l的方程為()Ayx1或yx1By(x1)或y(x1)Cy(x1)或y(x1)Dy(x1)或y(x1)解析：選C法一：如圖所示，作出拋物線的準(zhǔn)線l1及點(diǎn)A，B到準(zhǔn)線的垂線段AA1，BB1，并設(shè)直線l交準(zhǔn)線于點(diǎn)M.設(shè)|BF|m，由拋物線的定義可知|BB1|m，|AA1|AF|3m.由BB1AA1可知，即，所以|MB|2m，則|MA|6m.故AMA130°，得AFxMAA160°，結(jié)合選項(xiàng)知選C項(xiàng)法二：由|AF|3|BF|可知3，易知F(1,0)，設(shè)B(x0，y0)，則從而可解得A的坐標(biāo)為(43x0，3y0)因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在拋物線上，所以解得x0，y0±，所以kl±.2(2013·全國(guó)卷)已知點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線yaxb(a>0)將ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是()A(0,1) B.C. D. 解析：選B由消去x，得y，當(dāng)a0時(shí)，直線yaxb與x軸交于點(diǎn)，結(jié)合圖形知××，化簡(jiǎn)得(ab)2a(a1)，則a.a0，0，解得b.考慮極限位置，即a0，此時(shí)易得b1，故選B.一、選擇題1如果AB0，BC0，則直線AxByC0不經(jīng)過(guò)的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：選C由AB0，BC0，可得直線AxByC0的斜率為0，直線在y軸上的截距0, 故直線不經(jīng)過(guò)第三象限2直線xsin y20的傾斜角的取值范圍是()A0，) B.C. D.解析：選B直線xsin y20的斜率為ksin ， 1sin 1, 1k1, 直線傾斜角的取值范圍是.3已知點(diǎn)M是直線xy2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P(，1)，則|PM|的最小值為()A. B1C2 D3解析：選B|PM|的最小值即點(diǎn)P(，1)到直線xy2的距離，又1，故|PM|的最小值為1.4(2018·鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè))“a1”是“直線axy10與直線(a2)x3y20垂直”的()A充要條件 B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件解析：選Baxy10與(a2)x3y20垂直，a(a2)30，解得a1或a3.“a1”是兩直線垂直的充分不必要條件5已知點(diǎn)A(1，2)，B(m,2)，若線段AB的垂直平分線的方程是x2y20，則實(shí)數(shù)m的值為()A2 B7C3 D1解析：選CA(1，2)和B(m,2)的中點(diǎn)在直線x2y20上， 2×020，m3.6已知直線l過(guò)點(diǎn)P(1,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)AOB的面積取得最小值時(shí)，直線l的方程為()A2xy40 Bx2y30Cxy30 Dxy10解析：選A由題可知，直線l的斜率k存在，且k<0，則直線l的方程為y2k(x1)A，B(0,2k)，SOAB(2k)4，當(dāng)且僅當(dāng)k2時(shí)取等號(hào)直線l的方程為y22(x1)，即2xy40.7(2018·豫南九校質(zhì)量考評(píng))若直線xay20與以A(3,1)，B(1,2)為端點(diǎn)的線段沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(2,1)B(，2)(1，)C.D(，1)解析：選D直線xay20過(guò)定點(diǎn)C(2,0)，直線CB的斜率kCB2，直線CA的斜率kCA1，所以由題意可得a0且2<<1，解得a<1或a>.8已知P(x0，y0)是直線l：AxByC0外一點(diǎn)，則方程AxByC(Ax0By0C)0表示()A過(guò)點(diǎn)P且與l垂直的直線B過(guò)點(diǎn)P且與l平行的直線C不過(guò)點(diǎn)P且與l垂直的直線D不過(guò)點(diǎn)P且與l平行的直線解析：選D因?yàn)镻(x0，y0)是直線l：AxByC0外一點(diǎn)，所以Ax0By0Ck，k0.若方程AxByC(Ax0By0C)0，則AxByCk0.因?yàn)橹本€AxByCk0和直線l斜率相等，但在y軸上的截距不相等，故直線AxByCk0和直線l平行因?yàn)锳x0By0Ck，且k0，所以Ax0By0Ck0，所以直線AxByCk0不過(guò)點(diǎn)P，故選D.二、填空題9已知點(diǎn)A(3，4)，B(6,3)到直線l：axy10的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)解析：由題意及點(diǎn)到直線的距離公式得，解得a或.答案：或10與直線2x3y50平行，且在兩坐標(biāo)軸上截距的和為6的直線方程是_解析：由平行關(guān)系設(shè)所求直線方程為2x3yc0, 令x0，可得y；令y0，可得x， 6，解得c， 所求直線方程為2x3y0, 化為一般式可得10x15y360.答案：10x15y36011已知直線l1的方程為3x4y70，直線l2的方程為6x8y10，則直線l1與l2的距離為_(kāi)解析：直線l1的方程為3x4y70，直線l2的方程為6x8y10，即3x4y0，直線l1與l2的距離為.答案：12在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P(2,2)，對(duì)于任意不全為零的實(shí)數(shù)a，b，直線l：a(x1)b(y2)0，若點(diǎn)P到直線l的距離為d，則d的取值范圍是_解析：由題意，直線過(guò)定點(diǎn)Q(1，2)，PQl時(shí)，d取得最大值5, 直線l過(guò)點(diǎn)P時(shí)，d取得最小值0, 所以d的取值范圍0,5答案：0,5 三、解答題13已知方程(m22m3)x(2m2m1)y52m0(mR)(1)求方程表示一條直線的條件； (2)當(dāng)m為何值時(shí)，方程表示的直線與x軸垂直；(3)若方程表示的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求實(shí)數(shù)m的值解：(1)由解得m1，方程(m22m3)x(2m2m1)y52m0(mR)表示直線，m22m3,2m2m1不同時(shí)為0，m1.故方程表示一條直線的條件為m1.(2)方程表示的直線與x軸垂直，解得m.(3)當(dāng)52m0，即m時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0；當(dāng)m時(shí)，由，解得m2.故實(shí)數(shù)m的值為或2.14已知直線m：2xy30與直線n：xy30的交點(diǎn)為P.(1)若直線l過(guò)點(diǎn)P，且點(diǎn)A(1,3)和點(diǎn)B(3,2)到直線l的距離相等，求直線l的方程；(2)若直線l1過(guò)點(diǎn)P且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，ABO的面積為4，求直線l1的方程解：(1)由得即交點(diǎn)P(2,1)由直線l與A，B的距離相等可知，lAB或l過(guò)AB的中點(diǎn) 由lAB，得klkAB，所以直線l的方程為y1(x2)，即x2y40，由l過(guò)AB的中點(diǎn)得l的方程為x2，故x2y40或x2為所求(2)法一：由題可知，直線l1的斜率k存在，且k0. 則直線l1的方程為yk(x2)1kx2k1.令x0，得y12k0，令y0，得x>0，SABO×(12k)×4，解得k， 故直線l1的方程為yx2，即x2y40.法二：由題可知，直線l1的橫、縱截距a，b存在，且a0，b0，則l1：1.又l1過(guò)點(diǎn)(2,1)，ABO的面積為4，解得故直線l1的方程為1，即x2y40.1設(shè)mR，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線xmy0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mxym30交于點(diǎn)P(x，y)(點(diǎn)P與點(diǎn)A，B不重合)，則PAB的面積最大值是()A2 B5C. D.解析：選C由題意可知，動(dòng)直線xmy0過(guò)定點(diǎn)A(0,0)動(dòng)直線mxym30m(x1)3y0，因此直線過(guò)定點(diǎn)B(1,3)當(dāng)m0時(shí)，兩條直線分別為x0，y3，交點(diǎn)P(0,3)，SPAB×1×3.當(dāng)m0時(shí)，兩條直線的斜率分別為，m，則·m1，因此兩條直線相互垂直當(dāng)|PA|PB|時(shí)，PAB的面積取得最大值由|PA|AB|，解得|PA|.SPAB|PA|2.綜上可得，PAB的面積最大值是.2已知直線y2x是ABC中C的平分線所在的直線，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(4,2)，(3,1)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()A(2,4) B(2，4)C(2,4) D(2，4)解析：選C設(shè)A(4,2)關(guān)于直線y2x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(x，y)，則解得，即(4，2)直線BC所在方程為y1(x3)，即3xy100.聯(lián)立解得可得C(2,4)3在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是_解析：設(shè)平面上任一點(diǎn)M，因?yàn)閨MA|MC|AC|，當(dāng)且僅當(dāng)A，M，C共線時(shí)取等號(hào)，同理|MB|MD|BD|，當(dāng)且僅當(dāng)B，M，D共線時(shí)取等號(hào)，連接AC，BD交于一點(diǎn)M，若|MA|MC|MB|MD|最小，則點(diǎn)M為所求kAC2，直線AC的方程為y22(x1)，即2xy0.又kBD1，直線BD的方程為y5(x1)，即xy60.由得即M(2,4)答案：(2,4)高考研究課(二)圓的方程命題3角度求方程、算最值、定軌跡全國(guó)卷5年命題分析考點(diǎn)考查頻度考查角度圓的方程5年4考求圓的方程及先求圓的方程再考查應(yīng)用與圓有關(guān)的最值問(wèn)題5年1考求范圍與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題未考查圓的方程圓的方程的求法，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程，一般來(lái)說(shuō)，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法，通過(guò)研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量.(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解.典例求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2)，B(3，2)，且圓心在直線2xy30上的圓的方程解法一：用“幾何法”解題由題意知kAB2，AB的中點(diǎn)為(4,0)，設(shè)圓心為C(a，b)，圓過(guò)A(5,2)，B(3，2)兩點(diǎn)，圓心一定在線段AB的垂直平分線上則解得C(2,1)，r|CA|.所求圓的方程為(x2)2(y1)210.法二：用“代數(shù)法”解題設(shè)圓的方程為(xa)2(yb)2r2，則解得故圓的方程為(x2)2(y1)210.法三：用“代數(shù)法”解題設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，則解得所求圓的方程為x2y24x2y50.方法技巧求圓的方程的方法(1)方程選擇原則若條件中圓心坐標(biāo)明確時(shí)，常設(shè)為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，不明確時(shí)，常設(shè)為一般方程(2)求圓的方程的方法和步驟確定圓的方程的主要方法是代數(shù)法，大致步驟如下：根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；解出a，b，r或D，E，F(xiàn)代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程即時(shí)演練根據(jù)下列條件，求圓的方程(1)已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，6)，B(1，5)，且圓心在直線l：xy10上；(2)圓心在直線y4x上，且與直線l：xy10相切于點(diǎn)P(3，2)解：(1)法一：設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0(D2E24F>0)，則圓心坐標(biāo)為.由題意可得解得所以圓的方程為x2y26x4y120.法二：因?yàn)锳(0，6)，B(1，5)，所以線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為，直線AB的斜率kAB1，因此線段AB的垂直平分線的方程是y，即xy50.則圓心C的坐標(biāo)是方程組的解，解得所以圓心C的坐標(biāo)是(3，2)圓的半徑長(zhǎng)r|AC|5，所以圓的方程為(x3)2(y2)225.(2)法一：如圖，設(shè)圓心坐標(biāo)為(x0，4x0)，依題意得1，x01，即圓心坐標(biāo)為(1，4)，半徑r2，故圓的方程為(x1)2(y4)28.法二：設(shè)所求方程為(xx0)2(yy0)2r2，根據(jù)已知條件得解得因此所求圓的方程為(x1)2(y4)28.與圓有關(guān)的最值問(wèn)題與圓有關(guān)的最值問(wèn)題是命題的熱點(diǎn)內(nèi)容，它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想常見(jiàn)的命題角度有：(1)斜率型最值問(wèn)題；(2)截距型最值問(wèn)題；(3)距離型最值問(wèn)題；(4)距離和(差)的最值問(wèn)題；(5)三角形的面積的最值問(wèn)題角度一：斜率型最值問(wèn)題1已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足方程x2y24x10，求的最大值和最小值解：原方程可化為(x2)2y23，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)k，即ykx.當(dāng)直線ykx與圓相切時(shí)(如圖)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)，解得k±.所以的最大值為，最小值為.角度二：截距型最值問(wèn)題2在角度一條件下求yx的最大值和最小值解：yx可看作是直線yxb在y軸上的截距，如圖所示，當(dāng)直線yxb與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)，解得b2±.所以yx的最大值為2，最小值為2.角度三：距離型最值問(wèn)題3設(shè)P(x，y)是圓(x2)2y21上的任意一點(diǎn)，則(x5)2(y4)2的最大值為()A6B25C26 D36解析：選D(x5)2(y4)2表示點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)(5，4)的距離的平方，又點(diǎn)(5，4)到圓心(2,0)的距離d5，則點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)(5，4)的距離最大值為6，從而(x5)2(y4)2的最大值為36.角度四：距離和(差)的最值問(wèn)題4已知圓C1：(x2)2(y3)21，圓C2：(x3)2(y4)29，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|PN|的最小值為()A54B.1C62 D.解析：選A圓心C1(2,3)，C2(3,4)，作C1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C1(2，3)，連接C1C2與x軸交于點(diǎn)P，此時(shí)|PM|PN|取得最小值，為|C1C2|1354.角度五：三角形的面積的最值問(wèn)題5已知兩點(diǎn)A(1,0)，B(0,2)，點(diǎn)P是圓(x1)2y21上任意一點(diǎn)，則PAB面積的最大值與最小值分別是()A2，(4) B.(4)，(4)C.，4 D.(2)，(2)解析：選B直線AB的方程為1，即2xy20，圓心(1,0)到直線AB的距離d，則點(diǎn)P到直線AB的距離最大值為1，最小值為1，又|AB|，則(SPAB)max××(4)，(SPAB)min××(4)，故選B.方法技巧求解與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的2大規(guī)律(1)借助幾何性質(zhì)求最值處理與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，應(yīng)充分考慮圓的幾何性質(zhì)，并根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用基本不等式法、參數(shù)法、配方法、判別式法等，利用基本不等式求最值是比較常用的與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題典例已知圓x2y24上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若PBQ90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程解(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x2,2y)因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2y2xy10.方法技巧求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的4種常用方法直接法直接根據(jù)題目提供的條件列出方程定義法根據(jù)圓、直線等定義列方程幾何法利用圓的幾何性質(zhì)列方程代入法找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿(mǎn)足的關(guān)系式等即時(shí)演練1(2018·唐山調(diào)研)點(diǎn)P(4，2)與圓x2y24上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21解析：選A設(shè)圓上任意一點(diǎn)為(x1，y1)，中點(diǎn)為(x，y)，則即代入x2y24，得(2x4)2(2y2)24.化簡(jiǎn)得(x2)2(y1)21.2設(shè)點(diǎn)A為圓(x1)2y21上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|1，則點(diǎn)P的軌跡方程為()Ay22x B(x1)2y24Cy22x D(x1)2y22解析：選D設(shè)P(x，y)，則由題意知，圓(x1)2y21的圓心為C(1,0)、半徑為1，PA是圓的切線，且|PA