2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 課后綜合提升練 1.2.2 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 文

2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 課后綜合提升練 1.2.2 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 文(40分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.在數(shù)列an中,an+1=2an-1,a3=2,設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn,則S6=()A.B.C.15D.27【解析】選A.因?yàn)閍n+1=2an-1,所以an+1-1=2(an-1),所以an-1是以2為公比的等比數(shù)列,所以an-1=(a1-1)2n-1,因?yàn)閍3=2,所以a1=,所以an=1+2n-3,所以S6=6+=.2.(2018·廣東省化州市二模)已知有窮數(shù)列an中,n=1,2,3,729,且an=(2n-1)(-1)n+1,從數(shù)列an中依次取出a2,a5,a14,構(gòu)成新數(shù)列bn,容易發(fā)現(xiàn)數(shù)列bn是以-3為首項(xiàng),-3為公比的等比數(shù)列,記數(shù)列an的所有項(xiàng)的和為S,數(shù)列bn的所有項(xiàng)的和為T(mén),則()A.S>TB.S=TC.S<TD.S與T的大小關(guān)系不確定【解析】選A.因?yàn)閍n=(2n-1)(-1)n+1,所以an+an+1=(2n-1)(-1)n+1+(2n+1)(-1)n+2=(-1)n+2-(2n-1)+(2n+1)=2(-1)n,所以S=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a728+a729)=1+=729,因?yàn)閍728=-1 455,a729=1 457,又因?yàn)閿?shù)列bn是以-3為首項(xiàng),-3為公比的等比數(shù)列,所以b6=(-3)6=729,所以數(shù)列bn共有6項(xiàng),所以所有項(xiàng)的和為T(mén)=546,所以S>T.3.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a1為函數(shù)f(x)=sin x+cos x(xR)的最大值,且滿足an-anSn+1=-anSn,則數(shù)列an的前2 018項(xiàng)之積A2 018=()A.1B.C.-1D.2【解析】選A.因?yàn)閍1為函數(shù)f(x)=sin x+cos x(xR)的最大值,所以a1=2,因?yàn)閍n-anSn+1=-anSn,所以(Sn+1-Sn)an=an-1,所以an+1=,所以a2=,a3=-1,a4=2所以數(shù)列an是周期數(shù)列,周期為3,所以an的前2018項(xiàng)之積A2018=a1·a2·a3··a2 018=(-1)672×1=1.4.(2018· 河南省六市聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足: an+1+(-1)n+1an=2,則其前100項(xiàng)的和為 ()A.250B.200C.150D.100【解析】選D.因?yàn)閍n+1+(-1)n+1an=2,所以a1+a2=2,a3+a4=2,a5+a6=2,a99+a100=2,所以其前100項(xiàng)和為2×50=100.5.已知數(shù)列an滿足a1=1, an+1-an=4n-2(nN*),則使an163的正整數(shù)n的最小值為()A.8B.10C.12D.14【解析】選B.由題意得an+1-an=4n-2,則當(dāng)n2時(shí),a2-a1=2,a3-a2=6,an-an-1=4n-6,這n-1個(gè)式子相加,就有an-a1=2(n-1)2,即an=2(n-1)2+1=2n2-4n+3,當(dāng)n=1時(shí),a1=1也滿足上式,所以an=2n2-4n+3,由an163得2n2-4n+3163,即n2-2n-800,解得n10或n-8,所以n10,即使an163的正整數(shù)n的最小值為10.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=(nN*),記數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,則在S1,S2,S2 017中,有_個(gè)有理數(shù). 【解析】依題意,an=-,故Sn=a1+a2+an=1-,因?yàn)?4<<45,故n+1=22,32,442,故有43個(gè)有理數(shù).答案:437.(2018·湖北省聯(lián)考試題)“斐波那契數(shù)列”由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契發(fā)現(xiàn),因?yàn)殪巢瞧跻酝米臃敝碁槔佣?故又稱該數(shù)列為“兔子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列an滿足:a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n3,nN*),記其前n項(xiàng)和為Sn,設(shè)a2 018=t(t為常數(shù)),則S2 016+S2 015-S2 014-S2 013=_(用t表示). 【解析】S2 016+S2 015-S2 014-S2 013=a2 016+a2 015+a2 015+a2 014=a2 017+a2 016=a2 018=t.答案:t8.有下列命題:等比數(shù)列an中,前n項(xiàng)和為Sn,公比為q,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍然是等比數(shù)列,其公比為qn;若數(shù)列an是等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,則數(shù)列是等差數(shù)列;若數(shù)列an是正項(xiàng)數(shù)列,且+=n2+3n(nN*),則+=2n2+6n;若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=20n-19,則數(shù)列an是等比數(shù)列.其中正確命題的序號(hào)是_(填序號(hào)). 【解析】錯(cuò),q=-1,n=2,S4-S2=0,不符合等比數(shù)列. 因?yàn)閿?shù)列an是等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,所以Sn=na1+d,所以=a1+(n-1),所以數(shù)列是以a1為首項(xiàng),以為公差的等差數(shù)列.+=n2+3n中n用n-1代替得+=(n-1)2+3(n-1),兩式作差得=2n+2(n2),an=4(n+1)2,a1=16,符合.=4(n+1),所以+=2n2+6n.當(dāng)n=1時(shí), a1=S1=201-19=20-18,當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=20n-19-20n-20=19×20n-20,所以an=,所以數(shù)列an不是等比數(shù)列答案:三、解答題(每小題10分,共30分)9.(2018·亳州市一模)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn=3an-,其中是不為零的常數(shù),nN*.(1)求an的通項(xiàng)公式.(2)若=3,記bn=,求數(shù)列bn·的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)由已知2Sn=3an-可得:2Sn+1=3an+1-兩式相減得:2an+1=3an+1-3an,即an+1=3an因?yàn)?S1=3a1-,所以a1=0,所以an0,所以=3,所以an是首項(xiàng)為,公比為3的等比數(shù)列,從而an=·3n-1.(2)因?yàn)?3,所以an=3n,從而bn=,所以bn·bn+2=2,所以Tn=2=2=3-.10.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且對(duì)任意正整數(shù)n,點(diǎn)(an+1,Sn)都在直線2x+y-2=0上.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)若bn=n,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求證:Tn<.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)(an+1,Sn)在直線2x+y-2=0上,所以2an+1+Sn-2=0,當(dāng)n>1時(shí),2an+Sn-1-2=0,兩式相減得2an+1-2an+Sn-Sn-1=0,即2an+1-2an+an=0,an+1=an,又當(dāng)n=1時(shí),2a2+S1-2=2a2+a1-2=0,a2=a1,所以an是首項(xiàng)a1=1,公比q=的等比數(shù)列,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=.(2)由(1)知,bn=n=,則Tn=1+,Tn=+,兩式相減得Tn=1+-=-=-,所以Tn=-<.11.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,點(diǎn)(an,bn)在函數(shù)f(x)=2x的圖象上(nN*).(1)若a1=-2,點(diǎn)(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.(2)若a1=1,函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2,b2)處的切線在x軸上的截距為2-,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.【解析】(1)點(diǎn)(an,bn)在函數(shù)f(x)=2x的圖象上,所以bn=,又等差數(shù)列an的公差為d,所以=2d,因?yàn)辄c(diǎn)(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上,所以4b7=b8,所以2d=4d=2.又a1=-2,所以 Sn=na1+d=-2n+n2-n=n2-3n.(2)由f(x)=2xf(x)=2xln 2,函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2,b2)處的切線方程為y-b2=(ln 2)(x-a2),所以切線在x軸上的截距為a2-,從而a2-=2-,故a2=2,從而an=n,bn=2n,=,Tn=+,Tn=+,所以Tn=+-=1-=1-,故Tn=2-.(20分鐘20分)1.(10分)設(shè)數(shù)列an滿足a1=0且-=1.(1)求an的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=,記Sn=bk,證明:Sn<1.【解析】(1)由題設(shè)-=1,即是公差為1的等差數(shù)列.又=1,故=n.所以an=1-.(2)由(1)得bn=-,Sn=bk=1-<1.2.(10分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和是Sn,且Sn+an=1(nN*).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=log4(1-Sn+1)(nN*),Tn=+,求使Tn成立的最小的正整數(shù)n的值.【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1,由S1+a1=1a1=,當(dāng)n2時(shí),Sn+an=1,Sn-1+an-1=1,-,得an+an-an-1=0,即an=an-1,所以an是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.故an=3(nN*).(2)由(1)知1-Sn+1=an+1=,bn=log4(1-Sn+1)=log4=-(n+1),=-,Tn=+=+=-,-n2 014,故使Tn成立的最小的正整數(shù)n的值為2 014.